Ako integrovať gaussovské funkcie?

Gustáv Mojžiš
Gustáv Mojžiš
• 14 min čítanie
Gaussova funkcia je jednou z najdôležitejších funkcií v matematike
Gaussova funkcia je jednou z najdôležitejších funkcií v matematike a vedách.

Gaussovské funkcia f (x) = e-x2 {\ displaystyle f (x) = e ^ {- x ^ {2}}} je jednou z najdôležitejších funkcií v matematike a vedách. Jeho charakteristický zvonovitý graf pochádza všade od normálnej distribúcie v štatistikách po pakety polohových vĺn častice v kvantovej mechanike.

Ako vypočítať Fourierovu transformáciu Gaussovej funkcie
Už sme videli, ako vypočítať Fourierovu transformáciu Gaussovej funkcie.

Integrácia tejto funkcie do všetkých x {\ Displaystyle x} je mimoriadne bežná úloha, ale odoláva technikám elementárneho počtu. Žiadna zmena premenných, integrácia po častiach, trigonometrická substitúcia atď. Integrál nezjednoduší. Antiderivatívum Gaussovej, chybovej funkcie, v skutočnosti nemožno písať z hľadiska elementárnych funkcií. Napriek tomu existuje presné riešenie určitého integrálu, ktoré nachádzame v tomto článku. Tiež zovšeobecňujeme Gaussov integrál, aby sme získali niekoľko zaujímavejších výsledkov. Tieto zovšeobecnenia vyžadujú ďalšie techniky, ako napríklad diferenciáciu podľa integrálu a znalosti funkcie gama.

Časť 1 z 3: Gaussov integrál

  1. 1
    Začnite integrálom.
    • ∫ − ∞∞e − x2dx {\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ mathrm {d} x}
  2. 2
    Zoberme si štvorec integrálu. Tento integrál rozširujeme do roviny xy {\ Displaystyle xy} . Ide o to, zmeniť tento problém na dvojitý integrál, pre ktorý ho môžeme ľahko vyriešiť, a potom vziať odmocninu.
    • ∫ − ∞∞dxe − x2∫ − ∞∞dye − y2 {\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ mathrm {d} xe^{-x^{2}} \ int _ {- \ infty}^{\ infty} \ mathrm {d} ye^{-y^{2}}}
  3. 3
    Previesť na polárne súradnice. Pripomeňme, že oblasť integrál polárneho obdĺžnika má tvar rdrdθ, {\ displaystyle r \ mathrm {d} r \ mathrm {d} \ theta,} sa navyše r {\ displaystyle r} tam, aby sa mierka uhla na jednotky dĺžky. Táto extra r {\ displaystyle r} robí integrály triviálne, pretože je možné identifikovať R2 = x2 + Y2. {\ Displaystyle r ^ {2} = x ^ {2} + y ^ {2}.}
    • ∫ − ∞∞dxe − x2∫ − ∞∞dye − y2 = ∫ − ∞∞dx∫ − ∞∞dye− (x2+y2) = ∫0∞rdr∫02πdθe − r2 {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ mathrm {d} xe^{-x^{2}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ mathrm {d} ye^{-y ^{2}} & = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ mathrm {d} x \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ mathrm {d} ye^{-(x ^{2}+y^{2})} \\ & = \ int _ {0}^{\ infty} r \ mathrm {d} r \ int _ {0}^{2 \ pi} \ mathrm {d } \ theta e^{-r^{2}} \ end {zarovnaný}}}
  4. 4
    Vyhodnoťte pomocou u-substitúcie. Nech u = r2. {\ Displaystyle u = r^{2}.} Potom diferenciál du = 2rdr {\ displaystyle \ mathrm {d} u = 2r \ mathrm {d} r} zruší extra r {\ Displaystyle r}, ktoré sme dostali zo zmeny na polárnu. Vzhľadom k tomu, integrand nemá t Vstup {\ displaystyle \ theta} závislosť, môžeme vyhodnotiť t Vstup {\ displaystyle \ theta} neoddeliteľnou okamžite.
    • ∫0∞rdr∫02πdθe − r2 = 2π∫0∞re − r2dr, u = r2 = π∫0∞e − udu = π (−e − ∞+e0) = π {\ Displaystyle {\ begin {zarovnaný} \ int _ {0}^{\ infty} r \ mathrm {d} r \ int _ {0}^{2 \ pi} \ mathrm {d} \ theta e^{-r^{2}} & = 2 \ pi \ int _ {0}^{\ infty} re^{-r^{2}} \ mathrm {d} r, \ quad u = r^{2} \\ & = \ pi \ int _ {0} ^{\ infty} e^{-u} \ mathrm {d} u \\ & = \ pi (-e^{-\ infty}+e^{0}) \\ & = \ pi \ end {zarovnaný} }}
  5. 5
    Príďte k integrálu gaussiána. Pretože sme hodnotili druhú mocninu integrálu, vezmeme druhú odmocninu nášho výsledku.
    • ∫ − ∞∞e − x2dx = π {\ Displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ mathrm {d} x = {\ sqrt {\ pi}} }
    • Čo je dôležité, Gaussova funkcia je rovnomerná.
      • ∫ − ∞∞e − x2dx = 2∫0∞e − x2dx = 2⋅π2 {\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ mathrm {d} x = 2 \ int _ {0}^{\ infty} e^{-x^{2}} \ mathrm {d} x = 2 \ cdot {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}}}
  6. 6
    Uvažujme o integrále všeobecnej gaussovskej funkcie. Táto funkcia je určená parametrami a {\ Displaystyle a} a σ, {\ displaystyle \ sigma,} kde {\ displaystyle a} je (normalizačná) konštanta, ktorá určuje výšku zvonovej krivky, a σ {\ Displaystyle \ sigma} je štandardná odchýlka, ktorá určuje šírku krivky.
    • f (x) = ae − x22σ2 {\ displaystyle f (x) = ae^{-{\ frac {x^{2}} {2 \ sigma^{2}}}}}
    • Na overenie tohto integrálu postupujte podľa vyššie uvedených krokov.
      • ∫ − ∞∞ae − x22σ2dx = aσ2π {\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} ae^{-{\ frac {x^{2}} {2 \ sigma^{2}}}} \ mathrm {d} x = a \ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}
    • Ďalší spôsob, ako formulovať problém, je, ak máme Gaussov v tvare e − αx2. {\ Displaystyle e^{-\ alpha x^{2}}.} Overte aj tento integrál.
      • ∫ − ∞∞e − αx2dx = πα {\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-\ alpha x^{2}} \ mathrm {d} x = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}}}
  7. 7
    (Voliteľné) Normalizujte oblasť, aby ste našli normalizačnú konštantu a {\ Displaystyle a} . V mnohých aplikáciách je žiaduce, aby bola oblasť Gaussa nastavená na jednotu. V tomto prípade sme si stanovili aσ2π = 1 {\ displaystyle a \ sigma {\ sqrt {2 \ pi}} = 1} a riešenia pre a. {\ Displaystyle a.}
    • a = 1σ2π {\ displaystyle a = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}}}}
    • Tu sa dostávame k normalizovanému gaussovskému, tak žiadanému v takých aplikáciách, ako je teória pravdepodobnosti a kvantová mechanika.
      • f (x) = 1σ2πe − x22σ2 {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} e^{-{\ frac {x^{2}} {2 \ sigma ^{2}}}}}
Ktorý možno použiť na nájdenie mnohých príbuzných integrálov
Gaussov integrál je výsledok, ktorý možno použiť na nájdenie mnohých príbuzných integrálov.

Časť 2 z 3: zovšeobecnenie

  1. 1
    Zvážte integrál nižšie. Gaussova integrálne ∫0∞e-αx2dx = 12πα {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- \ a-x ^ {2}} \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}}} je výsledok, ktorý možno použiť na nájdenie mnohých súvisiacich integrálov. Nasledujúce sa nazývajú momenty Gaussa. Nižšie je n {\ displaystyle n} kladné číslo.
    • ∫0∞xne − x2dx {\ displaystyle \ int _ {0}^{\ infty} x^{n} e^{-x^{2}} \ mathrm {d} x}
  2. 2
    Ak je n {\ Displaystyle n} párny, zvážte príslušný integrál (napísaný nižšie) a odlíšte ho pod integrálom. Výsledkom diferenciácie pod integrálom je, že sa stratia aj mocniny x {\ Displaystyle x} . Všimnite si, že keď sa integrál neguje, výsledok napravo sa neguje aj kvôli negatívnej sile v α, {\ Displaystyle \ alpha,}, takže odpovede zostanú kladné. Pretože rozlišovanie je oveľa jednoduchšie ako integrácia, mohli by sme to robiť celý deň a uistiť sa, že je nastavenie α = 1 {\ displaystyle \ alpha = 1} vo vhodnom čase. Niektoré z týchto integrálov uvádzame nižšie. Overte si ich sami.
    • ∫0∞e − αx2dx = 12πα {\ displaystyle \ int _ {0}^{\ infty} e^{-\ alpha x^{2}} \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2} } {\ sqrt {\ frac {\ pi} {\ alpha}}}}}
    • ∫0∞x2e − x2dx = −∫0∞∂∂αe − αx2dx = −ddα (12πα) = π4 {\ displaystyle \ int _ {0}^{\ infty} x^{2} e^{-x^{ 2}} \ mathrm {d} x =-\ int _ {0}^{\ infty} {\ frac {\ partial} {\ partial \ alpha}} e^{-\ alpha x^{2}} \ mathrm {d} x =-{\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} \ alpha}} \ left ({\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} { \ alpha}}} \ right) = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {4}}}
    • ∫0∞x4e − x2dx = 3π8 {\ displaystyle \ int _ {0}^{\ infty} x^{4} e^{-x^{2}} \ mathrm {d} x = {\ frac {3 { \ sqrt {\ pi}}} {8}}}
    • ∫0∞x6e − x2dx = 15π16 {\ displaystyle \ int _ {0}^{\ infty} x^{6} e^{-x^{2}} \ mathrm {d} x = {\ frac {15 { \ sqrt {\ pi}}} {16}}}
  3. 3
    Ak n {\ Displaystyle n} nie je rovnomerná, použite u-sub u = x2 {\ displaystyle u = x^{2}} . Potom môžeme použiť funkciu Gamma na ľahké vyhodnotenie. Ďalej uvádzame ako príklady n = 9 {\ displaystyle n = 9} a n = 0,33 {\ displaystyle n = 0,33} .
    • ∫0∞x9e − x2dx = 12∫0∞u4e − udu = 4! 2 = 12 {\ Displaystyle \ int _ {0}^{\ infty} x^{9} e^{-x^{2}} \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0}^{\ infty} u^{4} e^{-u} \ mathrm {d} u = {\ frac {4!} {2}} = 12}
    • ∫0∞x0,33e − x2dx = 12∫0∞u − 0,33e − udu = Γ (0,67) 2 {\ displaystyle \ int _ {0}^{\ infty} x^{0,33} e ^{-x^{2}} \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}} \ int _ {0}^{\ infty} u^{-0,33} e^{-u } \ mathrm {d} u = {\ frac {\ Gamma (0,67)} {2}}}
    • Je zaujímavé poznamenať, že funkciu Gamma sme mohli použiť aj na n {\ Displaystyle n} . Je to všeobecnejšia metóda hodnotenia týchto typov integrálov, ktorá zvyčajne nie je viac zapojená ako diferenciácia podľa integrálu.
  4. 4
    Nastavte α = i {\ displaystyle \ alpha = i} na získanie troch integrálov. Výsledkom je všeobecne dostatočne tak, že α {\ displaystyle \ alpha} si dokonca vziať na komplexné hodnoty, ako dlho ako Re⁡ (α) ≥0. {\ Displaystyle \ operatorname {Re} (\ alpha) \ GEQ 0} Pripomeňme Eulerov vzorec týkajúci sa komplexnej exponenciálnej funkcie s goniometrickými funkciami. Ak vezmeme skutočné a imaginárne časti nášho výsledku, získame zadarmo dva integrály. Žiadny z týchto dvoch skutočných integrálov nemá kladné čísla, ktoré je možné písať v uzavretej forme.
    • e − ix2 = cos⁡x2 − isin⁡x2 {\ displaystyle e^{-ix^{2}} = \ cos x^{2} -i \ sin x^{2}}
    • ∫0∞e − ix2dx = 12πi = π2e − iπ/4 = π22 (1 − i) {\ displaystyle \ int _ {0}^{\ infty} e^{-ix^{2}} \ mathrm {d} x = {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ frac {\ pi} {i}}} = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} e^{-i \ pi /4} = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2 {\ sqrt {2}}}} (1-i)}
    • ∫0∞cos⁡x2dx = ∫0∞sin⁡x2dx = π22 {\ displaystyle \ int _ {0}^{\ infty} \ cos x^{2} \ mathrm {d} x = \ int _ {0}^ {\ infty} \ sin x^{2} \ mathrm {d} x = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2 {\ sqrt {2}}}}}
    • Tieto dva integrály sú špeciálnymi prípadmi Fresnelových integrálov, kde sú dôležité pri štúdiu optiky.
    • Ak nie ste veľmi dobre oboznámení s komplexných čísel, počet i {\ displaystyle i} môže byť prepísané v polárnom tvare ako eiπ / 2, {\ displaystyle e ^ {i \ pi / 2},} pretože imaginárny exponentmi sú rotácie v komplexná rovina - v tomto prípade o uhol π /2. {\ Displaystyle \ pi /2.} Polárna forma zjednodušuje takmer všetko, čo je spojené s komplexnými číslami, takže môžeme ľahko vziať odmocninu.
  5. 5
    Vypočítajte Fourierovu transformáciu gaussovej funkcie vyplnením štvorca. Výpočet Fourierovej transformácie je výpočtovo veľmi jednoduchý, vyžaduje si však malú úpravu. Rozhodli sme sa dokončiť štvorec, pretože rozpoznávame vlastnosť, že integrál je nezávislý od posunu (pozri diskusiu). Pretože musíme pridať 0, aby sme nezmenili integrand, musíme to kompenzovať pridaním výrazu −ω24 {\ displaystyle -{\ frac {\ omega ^{2}} {4}}} . Sledujte značky - môžu byť náročné.
    • F {e − t2} = ∫ − ∞∞e − t2e − iωtdt = ∫ − ∞∞e− (t2+iωt − ω0,5+ω0,5) dt = e − ω0,5∫ − ∞∞e− (t+iω/2) 2dt = πe − ω0,5 {\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ mathcal {F}} \ {e^{-t^{2}} \} & = \ int _ {- \ infty}^{\ infty} e^{-t^{2}} e^{-i \ omega t} \ mathrm {d} t \\ & = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-(t^{2}+i \ omega t- \ omega^{2}/4+\ omega^{2}/4)} \ mathrm {d} t \\ & = e^{-\ omega^{2} /4} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-(t+i \ omega /2)^{2}} \ mathrm {d} t \\ & = { \ sqrt {\ pi}} e ^{-\ omega ^{2}/4} \ end {zarovnaný}}}
    • Je zaujímavé, že Fourierova transformácia Gaussa je ďalšou (zmenšenou) gaussovskou vlastnosťou, ktorú má niekoľko ďalších funkcií (hyperbolický secant, ktorého funkcia je tiež tvarovaná ako zvonová krivka, je tiež jeho vlastnou Fourierovou transformáciou).
    • Túto techniku dokončenia štvorca je možné použiť aj na nájdenie integrálov, ako sú uvedené nižšie. Overte si to zvážením „komplexného“ výrazu eiαx/β {\ displaystyle e^{i \ alpha x/\ beta}} a potom vezmite skutočnú časť výsledku.
      • ∫ − ∞∞cos⁡αxβe − x2dx = πe − α0,5β2 {\ displaystyle \ int _ {-\ infty}^{\ infty} \ cos {\ frac {\ alpha x} {\ beta}} e^{- x ^{2}} \ mathrm {d} x = {\ sqrt {\ pi}} e ^{-\ alpha ^{2}/4 \ beta ^{2}}}
Chybovej funkcie
Antiderivatívum Gaussovej, chybovej funkcie, v skutočnosti nemožno písať z hľadiska elementárnych funkcií.

Časť 3 z 3: chybová funkcia

  1. 1
    Definujte chybovú funkciu. Často sa stáva, že Gaussov integrál je potrebné vyhodnotiť na skutočnej línii. Mnoho ďalších aplikácií, napríklad v oblasti difúzie a štatistiky, však vyžaduje všeobecnejší vzťah.
    • Pretože gaussovská funkcia nemá primitívnu funkciu, ktorú je možné zapísať z hľadiska elementárnych funkcií, definujeme chybovú funkciu erf⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {erf} (x)} ako antideriváciu gaussovskej funkcie. Je to špeciálna funkcia, konvenčne definovaná s normalizačným faktorom, ktorý zaisťuje rozsah x∈ (−11). {\ Displaystyle x \ in (-11).} Má sigmoidný tvar podobný forme ako logistická funkcia.
      • erf⁡ (x) = 2π∫0xe − t2dt {\ displaystyle \ operatorname {erf} (x) = {\ frac {2} {\ sqrt {\ pi}}} \ int _ {0}^{x} e^ {-t^{2}} \ mathrm {d} t}
    • Je tiež vhodné definovať aj komplementárnu chybovú funkciu.
      • erfc⁡ (x) = 1 − erf⁡ (x) {\ displaystyle \ operatorname {erfc} (x) = 1- \ operatorname {erf} (x)}
    • Je potrebné poznamenať, že akt definície tejto špeciálnej funkcie neposkytuje nové poznatky ani zásadné vpády do matematiky. Je to len definícia funkcie, s ktorou sa stretávame dostatočne často na to, aby dostala svoje vlastné meno.
  2. 2
    Vyriešte jednorozmernú tepelnú rovnicu za daných počiatočných podmienok. Ako príklad aplikácie vyžadujúcej použitie chybovej funkcie riešime tepelnú rovnicu pomocou Fourierových transformácií, pričom počiatočné podmienky sú obdĺžniková funkcia. Nižšie je α {\ Displaystyle \ alpha} známy ako difúzny koeficient.
    • ∂u∂t − α∂2u∂x2 = 0 {\ Displaystyle {\ frac {\ částečný u} {\ čiastočný t}}-\ alpha {\ frac {\ čiastkový ^{2} u} {\ čiastkový x ^{ 2}}} = 0}
    • u (x, 0) = u0 (x) = {1 | x | ≤0,50 | x |> 0,5 {\ displaystyle u (x, 0) = u_ {0} (x) = {\ begin { prípady} 1 & | x | \ leq 0,5 \\ 0 & | x |> 0,5 \ koniec {prípadov}}}
  3. 3
    Nájdite zásadné riešenie. Zásadný roztok U (x, t), {\ displaystyle U (x, t)} je riešením rovnice vedenia tepla dané počiatočné podmienky bodového zdroja, delta funkcie Diracova. Základné riešenie je v tejto súvislosti známe aj ako tepelné jadro.
    • Vykonáme Fourierovu transformáciu, aby sme konvertovali z reálneho priestoru na priestor a získali obyčajnú diferenciálnu rovnicu v . Then {\ Displaystyle \ xi} . Potom jednoducho vyriešime u^(ξ, t). {\ Displaystyle {\ hat {u}} (\ xi, t).} užitočný vlastností Fourierovej transformácie, že využijeme je, že Fourierova transformácia derivát, aby n {\ displaystyle n} odpovedá na množenie (iξ) n {\ displaystyle (i \ xi)^{n}} v priestore ξ {\ displaystyle \ xi}.
      • ∂u^∂t+αξ2u^= 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ hat {u}}} {\ partial t}}+\ alpha \ xi^{2} {\ hat {u}} = 0}
    • Ďalšie konštanta jednoducho odpovedá na počiatočné podmienky.
      • u^(ξ, t) = u^0 (ξ) e − αξ2t {\ displaystyle {\ hat {u}} (\ xi, t) = {\ hat {u}} _ {0} (\ xi) e ^{-\ alpha \ xi ^{2} t}}
    • Teraz sa musíme transformovať späť do skutočného priestoru. To je výhodné pre nás, pretože množenie v £ {\ displaystyle \ xi} priestor odpovedá na konvolúcie v reálnom priestore. Základným riešením je potom jednoducho inverzná Fourierova transformácia exponenciálneho členu, znázornená nižšie. Považuje sa to za zásadné riešenie, pretože funkcia delta je operátorom konvolucie identity: δ (x) ∗ U (x, t) = U (x, t). {\ Displaystyle \ delta (x)*U (x, t) = U (x, t).}
      • u (x, t) = u0 (x) ∗ F − 1 {e − αξ2t} {\ Displaystyle u (x, t) = u_ {0} (x)*{\ mathcal {F}}^{-1} \ left \ {e ^{-\ alpha \ xi ^{2} t} \ right \}}
    • Už sme videli, ako vypočítať Fourierovu transformáciu Gaussovej funkcie. Aj tu uplatňujeme techniku dokončovania námestia.
    • U (x, t) = F − 1 {e − αξ2t} = 12π∫ − ∞∞e − αξ2teixξdξ = 12π∫ − ∞∞e − αt (ξ2−2ixξ2αt − x24α2t2) e − x0,5αtdξ = 12πe − x0, 5αt∫ − ∞∞e − αt (ξ − ix2αt) 2dξ = 14παte − x0,5αt {\ Displaystyle {\ begin {zarovnaný} U (x, t) & = {\ mathcal {F}}^{-1} \ vľavo \ {e^{-\ alpha \ xi^{2} t} \ vpravo \} \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-\ alpha \ xi^{2} t} e^{ix \ xi} \ mathrm {d} \ xi \\ & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-\ alpha t \ left (\ xi^{2} -2 {\ frac {ix \ xi} {2 \ alpha t}}-{\ frac {x^{2} } {4 \ alpha^{2} t^{2}}} \ right)} e^{-x^{2}/4 \ alpha t} \ mathrm {d} \ xi \\ & = {\ frac { 1} {2 \ pi}} e^{-x^{2}/4 \ alpha t} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} e^{-\ alpha t \ left (\ xi-{ \ frac {ix} {2 \ alpha t}} \ right)^{2}} \ mathrm {d} \ xi \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi \ alpha t}}} e^{-x^{2}/4 \ alpha t} \ end {zarovnaný}}}
  4. 4
    Rieši pre u (x, t) {\ displaystyle u (x, t)} uvedených počiatočných podmienok. Teraz, keď máme naše zásadné riešenie , môžeme vziať konvolúciu s U0 x, t), {\ displaystyle U (x, t),} x). {\ Displaystyle u_ {0} (x).}
    • u (x, t) = u0 (x) ∗ U (x, t) = ∫ − ∞∞u0 (y) U (x − y, t) dy = 14παt∫ − 0,50,5e− (x − y) 0,5αtdy = 14παt∫ − 0,5 − x0,5 − xe− (z4αt) 2dz = 12 [erf⁡ (0,5 − x4αt) −erf⁡ (−0,5 − x4αt)] {\ displaystyle {\ začať {zarovnané} u (x, t) & = u_ {0} (x)*U (x, t) = \ int _ {-\ infty}^{\ infty} u_ {0} (y) U (xy, t) \ mathrm {d} y \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi \ alpha t}}} \ int _ {-0,5}^{0,5} e^{ -(xy)^{2}/4 \ alpha t} \ mathrm {d} y \\ & = {\ frac {1} {\ sqrt {4 \ pi \ alpha t}}} \ int _ {-0, 5-x}^{0,5-x} e^{-\ left ({\ frac {z} {\ sqrt {4 \ alpha t}}} \ right)^{2}} \ mathrm {d} z \\ & = {\ frac {1} {2}} \ left [\ operatorname {erf} \ left ({\ frac {0,5-x} {\ sqrt {4 \ alpha t}}} \ right)- \ operatorname {erf} \ left ({\ frac {-0,5-x} {\ sqrt {4 \ alpha t}}} \ right) \ right] \ end {zarovnaný}}}
    • V poslednom kroku využívame skutočnosť, že ∫e − x2dx = π2erf⁡ (x). {\ Displaystyle \ int e^{-x^{2}} \ mathrm {d} x = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2}} \ operatorname {erf} (x).}
    • Graf tejto funkcie v priebehu času ukazuje, že „ostrosť“ funkcie sa v priebehu času znižuje, prípadne smeruje k rovnovážnemu riešeniu. Počiatočné podmienky sú vykreslené modrou farbou, zatiaľ čo u (x, t) {\ displaystyle u (x, t)} sa vykresľuje pre hodnoty t = 0,005, {\ displaystyle t = 0,005,} t = 0,1, {\ Displaystyle t = 0,1,} a t = 0,3, {\ Displaystyle t = 0,3,} pre oranžové, zelené a červené grafy.
    • Z grafu vidíme, že funkcia je ostro naklonená blízko k x = ± 0,5, {\ Displaystyle x = \ pm 0,5,} o ktorú sa stará chybová funkcia. Chybová funkcia je však stále spojitá a dobre vychovaná funkcia, takže toto riešenie nemôže v súčasnosti existovať. T = 0, {\ Displaystyle t = 0,} keď sa argument vo vnútri chybovej funkcie stane singulárnym a keď sa funkcia priblíži k nespojité u0 (x) {\ displaystyle u_ {0} (x)} definované skôr.
Vypočítajte Fourierovu transformáciu gaussovej funkcie vyplnením štvorca
Vypočítajte Fourierovu transformáciu gaussovej funkcie vyplnením štvorca.

Diskusia

  • Ukazuje sa, že Gaussova definícia v kroku 6 časti 1 nie je najobecnejšou formou. Ako je vidieť na obrázku, je možné tiež posunúť na Gaussovu niektoré jednotky u, {\ displaystyle \ mu,} tak, že x2 {\ displaystyle x ^ {2}} zmení na (x-u) 2 {\ displaystyle (x -\ mu)^{2}} v exponente. Je však zrejmé, že na preklade nezáleží, keď integrujeme všetky prvky , a preto dokončenie štvorca pri výpočte Fourierovej transformácie funguje. Napriek tomu všeobecná forma normalizovaného Gaussiana vyzerá takto.
    • f (x) = 1σ2πe− (x − μ) 22σ2 {\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} e^{-{\ frac {(x- \ mu) ^{2}} {2 \ sigma ^{2}}}}}
Prečítajte si tiež: Ako urobiť koktail z perlového prístavu?
Súvisiace články
  1. Ako previesť MPG na litre na 100 km?Gustáv Mojžiš
  2. Ako vychovávať deti k bohatstvu?Gustáv Mojžiš
  3. Ako si vyrobiť kokteil Tom Collins?Gustáv Mojžiš
  4. Ako urobiť severného špióna?Gustáv Mojžiš
  5. Ako pripraviť barbadosový vánok?Gustáv Mojžiš
  6. Ako namiešať kokteil 666?Gustáv Mojžiš
FacebookTwitterInstagramPinterestLinkedInGoogle+YoutubeRedditDribbbleBehanceGithubCodePenWhatsappEmail