Ako integrovať spúšťacie funkcie?

Terézia Nemcová
Terézia Nemcová
• 9 min čítanie
Cieľom tu je získať výraz definovaný identitou trig
Cieľom tu je získať výraz definovaný identitou trig.

V tomto článku sa naučíte metódy a techniky na riešenie integrálov s rôznymi kombináciami goniometrických funkcií. Je dôležité, aby spomenúť, že postupy popisované v tomto článku sú orientačné pravidlá; nemali by byť považovaní za dogmu. Predpokladá sa kompetencia základných pravidiel diferenciácie a integrácie. Pretože substitučná technika je v integrácii široko používaná; uistite sa, že viete, ako sa integrovať substitúciou.

Časť 1 zo 7: prípravné zápasy

  1. 1
    Zoznámte sa s príslušnými spúšťacími identitami. Užitočné informácie o týchto spúšťacích identitách môžu byť.
    • Pytagorove identity (PI):
      • sin2⁡ (x)+cos2⁡ (x) = 1 {\ Displaystyle \ sin ^{2} (x)+\ cos ^{2} (x) = 1}
      • sin2⁡ (x) = 1 − cos2⁡ (x) {\ displaystyle \ sin ^{2} (x) = 1- \ cos ^{2} (x)}
      • cos2⁡ (x) = 1 − sin2⁡ (x) {\ displaystyle \ cos ^{2} (x) = 1- \ sin ^{2} (x)}
      • sec2⁡ (x) = tan2⁡ (x) +1 {\ Displaystyle \ sec ^{2} (x) = \ tan ^{2} (x) +1}
      • csc2⁡ (x) = cot2⁡ (x) +1 {\ displaystyle \ csc ^{2} (x) = \ cot ^{2} (x) +1}
    • Dvojité uhlové identity (DAI):
      • sin⁡ (2x) = 2sin⁡ (x) cos⁡ (x) {\ displaystyle \ sin (2x) = 2 \ sin (x) \ cos (x)}
      • cos⁡ (2x) = cos2⁡ (x) −sin2⁡ (x) {\ displaystyle \ cos (2x) = \ cos ^{2} (x)-\ sin ^{2} (x)}
      • cos⁡ (2x) = 1 − sin2⁡ (x) {\ displaystyle \ cos (2x) = 1- \ sin ^{2} (x)}
      • cos2⁡ (x) = 12 (1+cos⁡ (2x)) {\ displaystyle \ cos ^{2} (x) = {\ frac {1} {2}} (1+ \ cos (2x))}
      • sin2⁡ (x) = 12 (1 − cos⁡ (2x)) {\ displaystyle \ sin ^{2} (x) = {\ frac {1} {2}} (1- \ cos (2x))}

Časť 2 zo 7: príklad: sínus zvýšený na nepárnu mocnosť

  1. 1
    Oddeľte sin2⁡ (x) {\ displaystyle \ sin ^{2} (x)} .
  2. 2
    Všetky ostatné prepíšte v zmysle cos⁡ (x) {\ Displaystyle \ cos (x)} a/alebo sin⁡ (x) {\ displaystyle \ sin (x)} pomocou pythagorejských identít.
  3. 3
    Ak je to možné, používajte algebru, substitúciu a triggové identity.
  4. 4
    Vyhodnoťte ∫sin5⁡ (lnx) xdx {\ displaystyle \ int {\ frac {\ sin ^{5} (lnx)} {x}} dx} .
  5. 5
    Urobte u-sub. To sa robí kvôli zjednodušeniu integrandu.
    • Nechajte u = ln⁡ (x) {\ displaystyle u = \ ln (x)} . Potom du = 1xdx {\ displaystyle du = {\ frac {1} {x}} dx} . To sa robí kvôli zjednodušeniu integrandu.
    • Výnosy substitúcie ∫sin5⁡ (u) du {\ displaystyle \ int \ sin ^{5} (u) du}
  6. 6
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Cieľom tu je získať výraz definovaný identitou trig.
    • ∫sin4⁡ (u) sin⁡ (u) du {\ displaystyle \ int \ sin ^{4} (u) \ sin (u) du}
    • ∫ (sin2⁡ (u)) 2sin⁡ (u) du {\ displaystyle \ int {(\ sin ^{2} (u))} ^{2} \ sin (u) du}
  7. 7
    Použite pytagorovu identitu a získajte sin2⁡ (u) {\ displaystyle \ sin ^{2} (u)} z hľadiska kosínusu. Našim cieľom je tu nastaviť integrand pre ďalší u-sub. Preto chceme, aby integrand pozostával z funkcie trig a jej známej derivácie.
    • ∫ (1 − cos2⁡ (u)) 2sin⁡ (u) du {\ displaystyle \ int {(1- \ cos ^{2} (u))} ^{2} \ sin (u) du}
  8. 8
    Urobte u-sub.
    • Nechajte w = cos⁡ (u) {\ displaystyle w = \ cos (u)} . Potom −dw = sin⁡ (u) du {\ displaystyle -dw = \ sin (u) du}
    • Výnosy substitúcie −∫ (1 − w2) 2dw {\ displaystyle -\ int {(1 -w^{2})}^{2} dw}
  9. 9
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Rozdeľte dva binomické údaje. Skombinujte podobné výrazy.
    • −∫1−2w2+w4dw {\ displaystyle -\ int 1-2w^{2}+w^{4} dw}
  10. 10
    Integrovať.
    • -[w − 2w33+w55]+C {\ displaystyle -[w -{\ frac {2w^{3}} {3}}+{\ frac {w^{5}} {5}}]+C}
  11. 11
    Re-sub.
    • w = cos⁡ (u) {\ displaystyle w = \ cos (u)} a u = ln⁡ (x) {\ displaystyle u = \ ln (x)}
    • -[cos⁡ (ln⁡ (x)) -23cos3⁡ (ln⁡ (x))+15cos5⁡ (ln⁡ (x))]+C {\ displaystyle -[\ cos (\ ln (x)) -{ \ frac {2} {3}} \ cos ^{3} (\ ln (x))+{\ frac {1} {5}} \ cos ^{5} (\ ln (x))]+C}
Substitúciu a triggové identity
Ak je to možné, používajte algebru, substitúciu a triggové identity.

Časť 3 zo 7: príklad: sínus zvýšený na rovnomernú silu

  1. 1
    Použite identitu s dvoma uhlami pre sin2⁡ (x) {\ displaystyle \ sin ^{2} (x)} a/alebo cos2⁡ (x) {\ displaystyle \ cos ^{2} (x)}
  2. 2
    Ak je to možné, používajte algebru, substitúciu a triggové identity.
  3. 3
    Vyhodnoťte ∫sin2⁡ (7x) cos2⁡ (7x) dx {\ displaystyle \ int \ sin ^{2} (7x) \ cos ^{2} (7x) dx} .
  4. 4
    Urobte u-sub. To sa robí kvôli zjednodušeniu integrandu.
    • Nechajte u = 7x {\ displaystyle u = 7x} . Potom 17du = dx {\ displaystyle {\ frac {1} {7}} du = dx} .
    • Náhrada prináša 17∫sin2⁡ (u) cos2⁡ (u) du {\ displaystyle {\ frac {1} {7}} \ int \ sin ^{2} (u) \ cos ^{2} (u) du}
  5. 5
    Pre sin2⁡ (u) {\ displaystyle \ sin ^{2} (u)} a cos2⁡ (u) {\ displaystyle \ cos ^{2} (u)} použite dvojitú uhlovú identitu. Cieľom tu je získať integrand z hľadiska jednej spúšťacej funkcie.
    • ∫ [12 (1 − cos⁡ (2u))] [12 (1+cos⁡ (2u))] du {\ displaystyle \ int {[{\ frac {1} {2}} (1- \ cos (2u))] [{\ frac {1} {2}} (1+ \ cos (2u))]} du}
  6. 6
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Zjednodušiť.
    • 128∫ (1 − cos⁡ (2u)) (1+cos⁡ (2u)) du {\ displaystyle {\ frac {1} {28}} \ int {(1- \ cos (2u)) (1+ \ cos (2u))} du}
    • 128∫1 − cos2⁡ (2u) du {\ displaystyle {\ frac {1} {28}} \ int {1- \ cos ^{2} (2u)} du}
  7. 7
    Na cos2⁡ (2u) {\ displaystyle \ cos ^{2} (2u)} použite dvojitú uhlovú identitu. To sa robí, aby bola integrand integrovateľný.
    • 128∫1− (12 (1+cos⁡ (4u))) du {\ displaystyle {\ frac {1} {28}} \ int {1-({\ frac {1} {2}} (1+ \ cos (4u)))} du}
  8. 8
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Distribuujte a kombinujte podobné výrazy.
    • 128∫12−12cos⁡ (4u) du {\ displaystyle {\ frac {1} {28}} \ int {{\ frac {1} {2}}-{\ frac {1} {2}} \ cos (4u)} du}
  9. 9
    Integrujte a znova sub-sub.
    • u = 7x {\ displaystyle u = 7x}
    • 128 [72x − 18sin⁡ (28x)]+C {\ displaystyle {\ frac {1} {28}} [{\ frac {7} {2}} x-{\ frac {1} {8}} \ sin (28x)]+C}

Časť 4 zo 7: príklad: kosínus zvýšený na rovnomernú silu

  1. 1
    Oddeľte sin2⁡ (x) {\ displaystyle \ sin ^{2} (x)} .
  2. 2
    Všetky ostatné prepíšte v zmysle cos⁡ (x) {\ Displaystyle \ cos (x)} a/alebo sin⁡ (x) {\ displaystyle \ sin (x)} pomocou pythagorejských identít.
  3. 3
    Ak je to možné, používajte algebru, substitúciu a triggové identity.
  4. 4
    Vyhodnoťte ∫πcos4⁡x2dx {\ displaystyle \ int _ {0} ^{\ pi} \ cos ^{4} {\ frac {x} {2}} dx} .
  5. 5
    Urobte u-sub. To sa robí kvôli zjednodušeniu integrandu.
    • Nechajte u = x2 {\ displaystyle u = {\ frac {x} {2}}} . Potom 2du = dx {\ displaystyle 2du = dx}
    • Zmeňte hranice integrácie, pretože integrál, ktorý máte k dispozícii, je určitý integrál.
    • Keď x = 0 {\ displaystyle x = 0} , u = 0 {\ displaystyle u = 0}
    • Keď x = π {\ Displaystyle x = \ pi} , u = π2 {\ displaystyle u = {\ frac {\ pi} {2}}}
    • Náhrada prináša 2∫0π2cos4⁡ (u) du {\ displaystyle 2 \ int _ {0} ^{\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^{4} (u) du}
  6. 6
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Previesť integrand do takej formy, aby bolo možné použiť identitu.
    • 2∫0π2 (cos2⁡ (u)) 2du {\ displaystyle 2 \ int _ {0}^{\ frac {\ pi} {2}} {(\ cos^{2} (u))}^{2} du}
  7. 7
    Použite dvojúholníkovú identitu pre cos2⁡ (u) {\ displaystyle \ cos ^{2} (u)}
    • 2∫0π2 [12 (1+cos⁡ (2u))] 2du {\ displaystyle 2 \ int _ {0}^{\ frac {\ pi} {2}} {[{\ frac {1} {2}} (1+ \ cos (2u))]}^{2} du}
  8. 8
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Zjednodušiť.
    • 2∫0π212 (1+cos⁡ (2u)+cos2⁡ (2u)) du {\ Displaystyle 2 \ int _ {0}^{\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {1} {2} } (1+ \ cos (2u)+\ cos ^{2} (2u)) du}
  9. 9
    Na cos2⁡ (2u) {\ displaystyle \ cos ^{2} (2u)} použite dvojitú uhlovú identitu. To sa stane, aby sa cos2⁡ (2u) {\ displaystyle \ cos ^{2} (2u)} dostal do výrazu, ktorý môžeme integrovať.
    • 12∫0π21+2cos⁡ (2u) +12 (1+2cos⁡ (4u)) du {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {0}^{\ frac {\ pi} {2 }} 1+2 \ cos (2u)+{\ frac {1} {2}} (1+2 \ cos (4u)) du}
  10. 10
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Zjednodušiť.
    • 12∫0π232+2cos⁡ (2u)+12cos⁡ (4u) du {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {0}^{\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {3} {2}}+2 \ cos (2u)+{\ frac {1} {2}} \ cos (4u) du}
  11. 11
    Integrovať. Keďže boli hranice skonvertované, znova ich nenastavujte.
    • 12 [32u+sin⁡ (2u)+18sin⁡ (4u)] 0π2 {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {[{\ frac {3} {2}} u+\ sin (2u)+{ \ frac {1} {8}} \ sin (4u)]} _ {0}^{\ frac {\ pi} {2}}}
  12. 12
    Vypočítajte integrál.
    • = 3π8 {\ displaystyle = {\ frac {3 \ pi} {8}}}
Že chceme mať spúšťaciu funkciu
Pamätajte si, že chceme mať spúšťaciu funkciu a je to derivát v integrande, ktorý používa u-sub.

Časť 5 zo 7: príklad: dotyčnica zdvihnutá na rovnomernú mocninu

  1. 1
    Oddeľte tan⁡ (x) {\ displaystyle \ tan (x)} .
  2. 2
    Použite pythagorovské identity, aby ste získali všetko ostatné, pokiaľ ide o secant.
  3. 3
    Ak je to možné, používajte algebru, substitúciu a triggové identity.
  4. 4
    Vyhodnoťte ∫tan4⁡yydy {\ displaystyle \ int {\ frac {\ tan ^{4} {\ sqrt {y}}} {\ sqrt {y}}} dy} .
  5. 5
    Urobte u-sub. To sa robí kvôli zjednodušeniu integrandu.
    • Nechajte u = y {\ displaystyle u = {\ sqrt {y}}} . Potom 2du = 1rdy {\ displaystyle 2du = {\ frac {1} {\ sqrt {y}}} dy} .
    • Striedanie prináša 2∫tan4⁡ (u) du {\ Displaystyle 2 \ int \ tan ^{4} (u) du}
  6. 6
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Cieľom tu je získať výraz, ktorý môžeme nahradiť Pythagorovou identitou.
    • 2∫tan2⁡ (u) tan2⁡ (u) du {\ Displaystyle 2 \ int \ tan ^{2} (u) \ tan ^{2} (u) du}
  7. 7
    Na tan2⁡ (x) {\ displaystyle \ tan ^{2} (x)} použite pytagorovu identitu. Nahraďte iba jeden tan2⁡ (u) {\ displaystyle \ tan ^{2} (u)}. To sa urobí kvôli získaniu výrazu a jeho derivátu v integrande; toto je nastavenie pre u-sub.
    • 2∫ (sec2⁡ (u) −1) tan2⁡ (u) du {\ Displaystyle 2 \ int (\ sec ^{2} (u) -1) \ tan ^{2} (u) du}
  8. 8
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Oddeľte integrandu, aby bola diferenciácia jednoduchšia.
    • 2∫tan2⁡ (u) sec2⁡ (u) du − 2∫tan2⁡ (u) du {\ Displaystyle 2 \ int {\ tan ^{2} (u) \ sec ^{2} (u)} du- 2 \ int {\ tan ^{2} (u)} du}
  9. 9
    Urobte u-sub na prvom integrále
    • Nechajte w = tan⁡ (u) {\ displaystyle w = \ tan (u)} . Potom dw = sec2⁡ (u) du {\ displaystyle dw = \ sec ^{2} (u) du}
    • Výnosy zo substitúcie 2∫w2dw+2∫tan2⁡ (u) du {\ displaystyle 2 \ int w ^{2} dw+2 \ int \ tan ^{2} (u) du}
  10. 10
    Na druhom integrále použite pytagorovu identitu.
    • ∫w2dw+∫sec2⁡ (u) −1du {\ displaystyle \ int w ^{2} dw+\ int \ sec ^{2} (u) -1du}
  11. 11
    Integrujte a znova sub-sub.
    • u = y {\ displaystyle u = {\ sqrt {y}}}
    • 23tan3⁡ (y) −2tan⁡ (y) −2y+C {\ displaystyle {\ frac {2} {3}} \ tan ^{3} ({\ sqrt {y}})-2 \ tan ({\ sqrt {y}})-2 {\ sqrt {y}}+C}
Prečítajte si tiež: Ako odčítať binárne čísla?

Časť 6 zo 7: príklad: dotyčnica zvýšená na nepárnu mocninu

  1. 1
    Oddeľte tan⁡ (x) {\ displaystyle \ tan (x)} .
  2. 2
    Použite pythagorovské identity, aby ste získali všetko ostatné, pokiaľ ide o secant.
  3. 3
    Nahraďte sek⁡ (x) {\ displaystyle \ s (x)} .
  4. 4
    Vyhodnoťte ∫sec4⁡ (1θ) tan3⁡ (1θ) 1θ2dθ {\ displaystyle \ int \ sec ^{4} ({\ frac {1} {\ theta}}) \ tan ^{3} ({\ frac {1} {\ theta}}) {\ frac {1} {\ theta ^{2}}} d \ theta}
  5. 5
    Urobte u-sub.
    • Nechajte u = 1θ {\ displaystyle u = {\ frac {1} {\ theta}}} . Potom −du = 1θ2 {\ displaystyle -du = {\ frac {1} {\ theta ^{2}}}} .
    • Výnosy substitúcie −∫sec4⁡ (u) tan3⁡ (u) du {\ displaystyle -\ int \ sec ^{4} (u) \ tan ^{3} (u) du}
  6. 6
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Usporiadajte ho tak, aby sme mohli nahradiť výraz Pythagorovou identitou. Všimnite si toho, sec⁡ (u) tan⁡ (u) {\ Displaystyle \ sec (u) \ tan (u)} je elementárna derivácia sek⁡ (u) {\ displaystyle \ sec (u)} .
    • −∫sec3⁡ (u) tan2⁡ (u) sec⁡ (u) tan⁡ (u) du {\ Displaystyle -\ int \ sec ^{3} (u) \ tan ^{2} (u) \ sec (u) \ tan (u) du}
  7. 7
    Použiť pytagorovu identitu pre tan2⁡ (u) {\ displaystyle \ tan ^{2} (u)}
    • ∫sec3⁡ (u) (sec2⁡ (u) −1) sec⁡ (u) tan⁡ (u) du {\ displaystyle \ int \ sec ^{3} (u) (\ sec ^{2} (u) -1) \ s (u) \ tan (u) du}
  8. 8
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Udržujte sec⁡ (u) tan⁡ (u) {\ Displaystyle \ sec (u) \ tan (u)} nedotknuté. Pamätajte si, že chceme mať spúšťaciu funkciu a je to derivát v integrande, ktorý používa u-sub.
    • ∫ (sec5⁡ (u) −sec3⁡ (u)) sec⁡ (u) tan⁡ (u) du {\ displaystyle \ int (\ sec ^{5} (u)-\ sec ^{3} (u)) \ sec (u) \ tan (u) du}
  9. 9
    Urobte u-sub.
    • Nechajte w = sec⁡ (u) {\ displaystyle w = \ sec (u)} . Potom dw = sec⁡ (u) tan⁡ (u) du {\ displaystyle dw = \ sec (u) \ tan (u) du}
    • Výnosy substitúcie −∫ (w5 − w3) dw {\ displaystyle -\ int (w^{5} -w^{3}) dw}
  10. 10
    Integrovať.
    • -[w66 − w44]+C {\ displaystyle -[{\ frac {w^{6}} {6}} -{\ frac {w^{4}} {4}}]+C}
  11. 11
    Re-sub.
    • -[sek6⁡ (1θ) 6 − sec4⁡ (1θ) 4]+C {\ displaystyle -[{\ frac {\ sec ^{6} ({\ frac {1} {\ theta}})} {6} }-{\ frac {\ sec ^{4} ({\ frac {1} {\ theta}})} {4}}]+C}
Techniky na riešenie integrálov s rôznymi kombináciami goniometrických funkcií
V tomto článku sa naučíte metódy a techniky na riešenie integrálov s rôznymi kombináciami goniometrických funkcií.

Časť 7 zo 7: príklad: secant zvýšený na rovnomernú mocninu

  1. 1
    Oddeľte s2⁡ (x) {\ displaystyle \ sec ^{2} (x)} .
  2. 2
    Použite pytagorovu identitu, aby ste získali všetko ostatné, čo sa týka dotyčnice.
  3. 3
    Nahradiť tan⁡ (x) {\ displaystyle \ tan (x)} keď použiteľný.
  4. 4
    Vyhodnoťte sectsec4⁡ (t2) dt {\ displaystyle \ int t \ sec ^{4} (t ^{2}) dt}
  5. 5
    Urobte u-sub.
    • Nechajte u = t2 {\ displaystyle u = t^{2}} . Potom du2 = tdt {\ displaystyle {\ frac {du} {2}} = tdt}
    • Striedanie prináša 12∫sec4⁡ (u) du {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int \ sec ^{4} (u) du}
  6. 6
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Usporiadajte ich tak, aby sme mohli používať Pytagorovu identitu.
    • 12∫sec2⁡ (u) sec2⁡ (u) du {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int \ sec ^{2} (u) \ sec ^{2} (u) du}
  7. 7
    Na sek2⁡ (u) {\ displaystyle \ sec ^{2} (u)} použite pytagorovu identitu. Nechajte jednu sekundu 2⁡ (u) {\ displaystyle \ sec ^{2} (u)} nedotknutú. Budeme potrebovať u-sub.
    • 12∫ (1+tan2⁡ (u)) sec2⁡ (u) du {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int (1+ \ tan ^{2} (u)) \ sec ^{2 } (u) du}
  8. 8
    Urobte u-sub.
    • Nechajte w = tan⁡ (u) {\ displaystyle w = \ tan (u)} . Potom dw = sec2⁡ (u) {\ displaystyle dw = \ sec ^{2} (u)}
    • Výnosy zo substitúcie 12∫1+w2dw {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int 1+w^{2} dw}
  9. 9
    Integrovať.
    • 12 [w+w33]+C {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} [w+{\ frac {w^{3}} {3}}]+C}
  10. 10
    Re-sub.
    • w = tan⁡ (u) {\ displaystyle w = \ tan (u)} a u = t2 {\ displaystyle u = t^{2}}
    • tan⁡ (t2) 2+tan⁡ (t2) 6+C {\ Displaystyle {\ frac {\ tan (t^{2})} {2}}+{\ frac {\ tan (t^{2}) } {6}}+C}
Súvisiace články
  1. Ako vysvetliť fotosyntézu?PhMr. Milena Kapustová
  2. Ako odovzdať všetky svoje GCSE?Judita Kravjarová
  3. Ako zrevidovať svoje gcsy za jeden mesiac a získať dobré známky?Petra Holubová
  4. Ako zrevidovať svoje úrovne?Viktor Stodola
  5. Ako zložiť skúšky IIT JEE?Petra Holubová
  6. Ako pripraviť zoznam slov pre všeobecný test GRE?JUDr. Hana Kováčová
FacebookTwitterInstagramPinterestLinkedInGoogle+YoutubeRedditDribbbleBehanceGithubCodePenWhatsappEmail