Ako integrovať spúšťacie funkcie?

Terézia Nemcová
Terézia Nemcová
• 9 min čítanie
Cieľom tu je získať výraz definovaný identitou trig
Cieľom tu je získať výraz definovaný identitou trig.

V tomto článku sa naučíte metódy a techniky na riešenie integrálov s rôznymi kombináciami goniometrických funkcií. Je dôležité, aby spomenúť, že postupy popisované v tomto článku sú orientačné pravidlá; nemali by byť považovaní za dogmu. Predpokladá sa kompetencia základných pravidiel diferenciácie a integrácie. Pretože substitučná technika je v integrácii široko používaná; uistite sa, že viete, ako sa integrovať substitúciou.

Časť 1 zo 7: prípravné zápasy

  1. 1
    Zoznámte sa s príslušnými spúšťacími identitami. Užitočné informácie o týchto spúšťacích identitách môžu byť.
    • Pytagorove identity (PI):
      • sin2⁡ (x)+cos2⁡ (x) = 1 {\ Displaystyle \ sin ^{2} (x)+\ cos ^{2} (x) = 1}
      • sin2⁡ (x) = 1 − cos2⁡ (x) {\ displaystyle \ sin ^{2} (x) = 1- \ cos ^{2} (x)}
      • cos2⁡ (x) = 1 − sin2⁡ (x) {\ displaystyle \ cos ^{2} (x) = 1- \ sin ^{2} (x)}
      • sec2⁡ (x) = tan2⁡ (x) +1 {\ Displaystyle \ sec ^{2} (x) = \ tan ^{2} (x) +1}
      • csc2⁡ (x) = cot2⁡ (x) +1 {\ displaystyle \ csc ^{2} (x) = \ cot ^{2} (x) +1}
    • Dvojité uhlové identity (DAI):
      • sin⁡ (2x) = 2sin⁡ (x) cos⁡ (x) {\ displaystyle \ sin (2x) = 2 \ sin (x) \ cos (x)}
      • cos⁡ (2x) = cos2⁡ (x) −sin2⁡ (x) {\ displaystyle \ cos (2x) = \ cos ^{2} (x)-\ sin ^{2} (x)}
      • cos⁡ (2x) = 1 − sin2⁡ (x) {\ displaystyle \ cos (2x) = 1- \ sin ^{2} (x)}
      • cos2⁡ (x) = 12 (1+cos⁡ (2x)) {\ displaystyle \ cos ^{2} (x) = {\ frac {1} {2}} (1+ \ cos (2x))}
      • sin2⁡ (x) = 12 (1 − cos⁡ (2x)) {\ displaystyle \ sin ^{2} (x) = {\ frac {1} {2}} (1- \ cos (2x))}

Časť 2 zo 7: príklad: sínus zvýšený na nepárnu mocnosť

  1. 1
    Oddeľte sin2⁡ (x) {\ displaystyle \ sin ^{2} (x)} .
  2. 2
    Všetky ostatné prepíšte v zmysle cos⁡ (x) {\ Displaystyle \ cos (x)} a/alebo sin⁡ (x) {\ displaystyle \ sin (x)} pomocou pythagorejských identít.
  3. 3
    Ak je to možné, používajte algebru, substitúciu a triggové identity.
  4. 4
    Vyhodnoťte ∫sin5⁡ (lnx) xdx {\ displaystyle \ int {\ frac {\ sin ^{5} (lnx)} {x}} dx} .
  5. 5
    Urobte u-sub. To sa robí kvôli zjednodušeniu integrandu.
    • Nechajte u = ln⁡ (x) {\ displaystyle u = \ ln (x)} . Potom du = 1xdx {\ displaystyle du = {\ frac {1} {x}} dx} . To sa robí kvôli zjednodušeniu integrandu.
    • Výnosy substitúcie ∫sin5⁡ (u) du {\ displaystyle \ int \ sin ^{5} (u) du}
  6. 6
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Cieľom tu je získať výraz definovaný identitou trig.
    • ∫sin4⁡ (u) sin⁡ (u) du {\ displaystyle \ int \ sin ^{4} (u) \ sin (u) du}
    • ∫ (sin2⁡ (u)) 2sin⁡ (u) du {\ displaystyle \ int {(\ sin ^{2} (u))} ^{2} \ sin (u) du}
  7. 7
    Použite pytagorovu identitu a získajte sin2⁡ (u) {\ displaystyle \ sin ^{2} (u)} z hľadiska kosínusu. Našim cieľom je tu nastaviť integrand pre ďalší u-sub. Preto chceme, aby integrand pozostával z funkcie trig a jej známej derivácie.
    • ∫ (1 − cos2⁡ (u)) 2sin⁡ (u) du {\ displaystyle \ int {(1- \ cos ^{2} (u))} ^{2} \ sin (u) du}
  8. 8
    Urobte u-sub.
    • Nechajte w = cos⁡ (u) {\ displaystyle w = \ cos (u)} . Potom −dw = sin⁡ (u) du {\ displaystyle -dw = \ sin (u) du}
    • Výnosy substitúcie −∫ (1 − w2) 2dw {\ displaystyle -\ int {(1 -w^{2})}^{2} dw}
  9. 9
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Rozdeľte dva binomické údaje. Skombinujte podobné výrazy.
    • −∫1−2w2+w4dw {\ displaystyle -\ int 1-2w^{2}+w^{4} dw}
  10. 10
    Integrovať.
    • -[w − 2w33+w55]+C {\ displaystyle -[w -{\ frac {2w^{3}} {3}}+{\ frac {w^{5}} {5}}]+C}
  11. 11
    Re-sub.
    • w = cos⁡ (u) {\ displaystyle w = \ cos (u)} a u = ln⁡ (x) {\ displaystyle u = \ ln (x)}
    • -[cos⁡ (ln⁡ (x)) -23cos3⁡ (ln⁡ (x))+15cos5⁡ (ln⁡ (x))]+C {\ displaystyle -[\ cos (\ ln (x)) -{ \ frac {2} {3}} \ cos ^{3} (\ ln (x))+{\ frac {1} {5}} \ cos ^{5} (\ ln (x))]+C}
Substitúciu a triggové identity
Ak je to možné, používajte algebru, substitúciu a triggové identity.

Časť 3 zo 7: príklad: sínus zvýšený na rovnomernú silu

  1. 1
    Použite identitu s dvoma uhlami pre sin2⁡ (x) {\ displaystyle \ sin ^{2} (x)} a/alebo cos2⁡ (x) {\ displaystyle \ cos ^{2} (x)}
  2. 2
    Ak je to možné, používajte algebru, substitúciu a triggové identity.
  3. 3
    Vyhodnoťte ∫sin2⁡ (7x) cos2⁡ (7x) dx {\ displaystyle \ int \ sin ^{2} (7x) \ cos ^{2} (7x) dx} .
  4. 4
    Urobte u-sub. To sa robí kvôli zjednodušeniu integrandu.
    • Nechajte u = 7x {\ displaystyle u = 7x} . Potom 17du = dx {\ displaystyle {\ frac {1} {7}} du = dx} .
    • Náhrada prináša 17∫sin2⁡ (u) cos2⁡ (u) du {\ displaystyle {\ frac {1} {7}} \ int \ sin ^{2} (u) \ cos ^{2} (u) du}
  5. 5
    Pre sin2⁡ (u) {\ displaystyle \ sin ^{2} (u)} a cos2⁡ (u) {\ displaystyle \ cos ^{2} (u)} použite dvojitú uhlovú identitu. Cieľom tu je získať integrand z hľadiska jednej spúšťacej funkcie.
    • ∫ [12 (1 − cos⁡ (2u))] [12 (1+cos⁡ (2u))] du {\ displaystyle \ int {[{\ frac {1} {2}} (1- \ cos (2u))] [{\ frac {1} {2}} (1+ \ cos (2u))]} du}
  6. 6
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Zjednodušiť.
    • 128∫ (1 − cos⁡ (2u)) (1+cos⁡ (2u)) du {\ displaystyle {\ frac {1} {28}} \ int {(1- \ cos (2u)) (1+ \ cos (2u))} du}
    • 128∫1 − cos2⁡ (2u) du {\ displaystyle {\ frac {1} {28}} \ int {1- \ cos ^{2} (2u)} du}
  7. 7
    Na cos2⁡ (2u) {\ displaystyle \ cos ^{2} (2u)} použite dvojitú uhlovú identitu. To sa robí, aby bola integrand integrovateľný.
    • 128∫1− (12 (1+cos⁡ (4u))) du {\ displaystyle {\ frac {1} {28}} \ int {1-({\ frac {1} {2}} (1+ \ cos (4u)))} du}
  8. 8
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Distribuujte a kombinujte podobné výrazy.
    • 128∫12−12cos⁡ (4u) du {\ displaystyle {\ frac {1} {28}} \ int {{\ frac {1} {2}}-{\ frac {1} {2}} \ cos (4u)} du}
  9. 9
    Integrujte a znova sub-sub.
    • u = 7x {\ displaystyle u = 7x}
    • 128 [72x − 18sin⁡ (28x)]+C {\ displaystyle {\ frac {1} {28}} [{\ frac {7} {2}} x-{\ frac {1} {8}} \ sin (28x)]+C}

Časť 4 zo 7: príklad: kosínus zvýšený na rovnomernú silu

  1. 1
    Oddeľte sin2⁡ (x) {\ displaystyle \ sin ^{2} (x)} .
  2. 2
    Všetky ostatné prepíšte v zmysle cos⁡ (x) {\ Displaystyle \ cos (x)} a/alebo sin⁡ (x) {\ displaystyle \ sin (x)} pomocou pythagorejských identít.
  3. 3
    Ak je to možné, používajte algebru, substitúciu a triggové identity.
  4. 4
    Vyhodnoťte ∫πcos4⁡x2dx {\ displaystyle \ int _ {0} ^{\ pi} \ cos ^{4} {\ frac {x} {2}} dx} .
  5. 5
    Urobte u-sub. To sa robí kvôli zjednodušeniu integrandu.
    • Nechajte u = x2 {\ displaystyle u = {\ frac {x} {2}}} . Potom 2du = dx {\ displaystyle 2du = dx}
    • Zmeňte hranice integrácie, pretože integrál, ktorý máte k dispozícii, je určitý integrál.
    • Keď x = 0 {\ displaystyle x = 0} , u = 0 {\ displaystyle u = 0}
    • Keď x = π {\ Displaystyle x = \ pi} , u = π2 {\ displaystyle u = {\ frac {\ pi} {2}}}
    • Náhrada prináša 2∫0π2cos4⁡ (u) du {\ displaystyle 2 \ int _ {0} ^{\ frac {\ pi} {2}} \ cos ^{4} (u) du}
  6. 6
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Previesť integrand do takej formy, aby bolo možné použiť identitu.
    • 2∫0π2 (cos2⁡ (u)) 2du {\ displaystyle 2 \ int _ {0}^{\ frac {\ pi} {2}} {(\ cos^{2} (u))}^{2} du}
  7. 7
    Použite dvojúholníkovú identitu pre cos2⁡ (u) {\ displaystyle \ cos ^{2} (u)}
    • 2∫0π2 [12 (1+cos⁡ (2u))] 2du {\ displaystyle 2 \ int _ {0}^{\ frac {\ pi} {2}} {[{\ frac {1} {2}} (1+ \ cos (2u))]}^{2} du}
  8. 8
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Zjednodušiť.
    • 2∫0π212 (1+cos⁡ (2u)+cos2⁡ (2u)) du {\ Displaystyle 2 \ int _ {0}^{\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {1} {2} } (1+ \ cos (2u)+\ cos ^{2} (2u)) du}
  9. 9
    Na cos2⁡ (2u) {\ displaystyle \ cos ^{2} (2u)} použite dvojitú uhlovú identitu. To sa stane, aby sa cos2⁡ (2u) {\ displaystyle \ cos ^{2} (2u)} dostal do výrazu, ktorý môžeme integrovať.
    • 12∫0π21+2cos⁡ (2u) +12 (1+2cos⁡ (4u)) du {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {0}^{\ frac {\ pi} {2 }} 1+2 \ cos (2u)+{\ frac {1} {2}} (1+2 \ cos (4u)) du}
  10. 10
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Zjednodušiť.
    • 12∫0π232+2cos⁡ (2u)+12cos⁡ (4u) du {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {0}^{\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {3} {2}}+2 \ cos (2u)+{\ frac {1} {2}} \ cos (4u) du}
  11. 11
    Integrovať. Keďže boli hranice skonvertované, znova ich nenastavujte.
    • 12 [32u+sin⁡ (2u)+18sin⁡ (4u)] 0π2 {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {[{\ frac {3} {2}} u+\ sin (2u)+{ \ frac {1} {8}} \ sin (4u)]} _ {0}^{\ frac {\ pi} {2}}}
  12. 12
    Vypočítajte integrál.
    • = 3π8 {\ displaystyle = {\ frac {3 \ pi} {8}}}
Že chceme mať spúšťaciu funkciu
Pamätajte si, že chceme mať spúšťaciu funkciu a je to derivát v integrande, ktorý používa u-sub.

Časť 5 zo 7: príklad: dotyčnica zdvihnutá na rovnomernú mocninu

  1. 1
    Oddeľte tan⁡ (x) {\ displaystyle \ tan (x)} .
  2. 2
    Použite pythagorovské identity, aby ste získali všetko ostatné, pokiaľ ide o secant.
  3. 3
    Ak je to možné, používajte algebru, substitúciu a triggové identity.
  4. 4
    Vyhodnoťte ∫tan4⁡yydy {\ displaystyle \ int {\ frac {\ tan ^{4} {\ sqrt {y}}} {\ sqrt {y}}} dy} .
  5. 5
    Urobte u-sub. To sa robí kvôli zjednodušeniu integrandu.
    • Nechajte u = y {\ displaystyle u = {\ sqrt {y}}} . Potom 2du = 1rdy {\ displaystyle 2du = {\ frac {1} {\ sqrt {y}}} dy} .
    • Striedanie prináša 2∫tan4⁡ (u) du {\ Displaystyle 2 \ int \ tan ^{4} (u) du}
  6. 6
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Cieľom tu je získať výraz, ktorý môžeme nahradiť Pythagorovou identitou.
    • 2∫tan2⁡ (u) tan2⁡ (u) du {\ Displaystyle 2 \ int \ tan ^{2} (u) \ tan ^{2} (u) du}
  7. 7
    Na tan2⁡ (x) {\ displaystyle \ tan ^{2} (x)} použite pytagorovu identitu. Nahraďte iba jeden tan2⁡ (u) {\ displaystyle \ tan ^{2} (u)}. To sa urobí kvôli získaniu výrazu a jeho derivátu v integrande; toto je nastavenie pre u-sub.
    • 2∫ (sec2⁡ (u) −1) tan2⁡ (u) du {\ Displaystyle 2 \ int (\ sec ^{2} (u) -1) \ tan ^{2} (u) du}
  8. 8
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Oddeľte integrandu, aby bola diferenciácia jednoduchšia.
    • 2∫tan2⁡ (u) sec2⁡ (u) du − 2∫tan2⁡ (u) du {\ Displaystyle 2 \ int {\ tan ^{2} (u) \ sec ^{2} (u)} du- 2 \ int {\ tan ^{2} (u)} du}
  9. 9
    Urobte u-sub na prvom integrále
    • Nechajte w = tan⁡ (u) {\ displaystyle w = \ tan (u)} . Potom dw = sec2⁡ (u) du {\ displaystyle dw = \ sec ^{2} (u) du}
    • Výnosy zo substitúcie 2∫w2dw+2∫tan2⁡ (u) du {\ displaystyle 2 \ int w ^{2} dw+2 \ int \ tan ^{2} (u) du}
  10. 10
    Na druhom integrále použite pytagorovu identitu.
    • ∫w2dw+∫sec2⁡ (u) −1du {\ displaystyle \ int w ^{2} dw+\ int \ sec ^{2} (u) -1du}
  11. 11
    Integrujte a znova sub-sub.
    • u = y {\ displaystyle u = {\ sqrt {y}}}
    • 23tan3⁡ (y) −2tan⁡ (y) −2y+C {\ displaystyle {\ frac {2} {3}} \ tan ^{3} ({\ sqrt {y}})-2 \ tan ({\ sqrt {y}})-2 {\ sqrt {y}}+C}
Prečítajte si tiež: Ako previesť číslo z desatinného na reprezentáciu s pohyblivou rádovou čiarkou IEEE 754?

Časť 6 zo 7: príklad: dotyčnica zvýšená na nepárnu mocninu

  1. 1
    Oddeľte tan⁡ (x) {\ displaystyle \ tan (x)} .
  2. 2
    Použite pythagorovské identity, aby ste získali všetko ostatné, pokiaľ ide o secant.
  3. 3
    Nahraďte sek⁡ (x) {\ displaystyle \ s (x)} .
  4. 4
    Vyhodnoťte ∫sec4⁡ (1θ) tan3⁡ (1θ) 1θ2dθ {\ displaystyle \ int \ sec ^{4} ({\ frac {1} {\ theta}}) \ tan ^{3} ({\ frac {1} {\ theta}}) {\ frac {1} {\ theta ^{2}}} d \ theta}
  5. 5
    Urobte u-sub.
    • Nechajte u = 1θ {\ displaystyle u = {\ frac {1} {\ theta}}} . Potom −du = 1θ2 {\ displaystyle -du = {\ frac {1} {\ theta ^{2}}}} .
    • Výnosy substitúcie −∫sec4⁡ (u) tan3⁡ (u) du {\ displaystyle -\ int \ sec ^{4} (u) \ tan ^{3} (u) du}
  6. 6
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Usporiadajte ho tak, aby sme mohli nahradiť výraz Pythagorovou identitou. Všimnite si toho, sec⁡ (u) tan⁡ (u) {\ Displaystyle \ sec (u) \ tan (u)} je elementárna derivácia sek⁡ (u) {\ displaystyle \ sec (u)} .
    • −∫sec3⁡ (u) tan2⁡ (u) sec⁡ (u) tan⁡ (u) du {\ Displaystyle -\ int \ sec ^{3} (u) \ tan ^{2} (u) \ sec (u) \ tan (u) du}
  7. 7
    Použiť pytagorovu identitu pre tan2⁡ (u) {\ displaystyle \ tan ^{2} (u)}
    • ∫sec3⁡ (u) (sec2⁡ (u) −1) sec⁡ (u) tan⁡ (u) du {\ displaystyle \ int \ sec ^{3} (u) (\ sec ^{2} (u) -1) \ s (u) \ tan (u) du}
  8. 8
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Udržujte sec⁡ (u) tan⁡ (u) {\ Displaystyle \ sec (u) \ tan (u)} nedotknuté. Pamätajte si, že chceme mať spúšťaciu funkciu a je to derivát v integrande, ktorý používa u-sub.
    • ∫ (sec5⁡ (u) −sec3⁡ (u)) sec⁡ (u) tan⁡ (u) du {\ displaystyle \ int (\ sec ^{5} (u)-\ sec ^{3} (u)) \ sec (u) \ tan (u) du}
  9. 9
    Urobte u-sub.
    • Nechajte w = sec⁡ (u) {\ displaystyle w = \ sec (u)} . Potom dw = sec⁡ (u) tan⁡ (u) du {\ displaystyle dw = \ sec (u) \ tan (u) du}
    • Výnosy substitúcie −∫ (w5 − w3) dw {\ displaystyle -\ int (w^{5} -w^{3}) dw}
  10. 10
    Integrovať.
    • -[w66 − w44]+C {\ displaystyle -[{\ frac {w^{6}} {6}} -{\ frac {w^{4}} {4}}]+C}
  11. 11
    Re-sub.
    • -[sek6⁡ (1θ) 6 − sec4⁡ (1θ) 4]+C {\ displaystyle -[{\ frac {\ sec ^{6} ({\ frac {1} {\ theta}})} {6} }-{\ frac {\ sec ^{4} ({\ frac {1} {\ theta}})} {4}}]+C}
Techniky na riešenie integrálov s rôznymi kombináciami goniometrických funkcií
V tomto článku sa naučíte metódy a techniky na riešenie integrálov s rôznymi kombináciami goniometrických funkcií.

Časť 7 zo 7: príklad: secant zvýšený na rovnomernú mocninu

  1. 1
    Oddeľte s2⁡ (x) {\ displaystyle \ sec ^{2} (x)} .
  2. 2
    Použite pytagorovu identitu, aby ste získali všetko ostatné, čo sa týka dotyčnice.
  3. 3
    Nahradiť tan⁡ (x) {\ displaystyle \ tan (x)} keď použiteľný.
  4. 4
    Vyhodnoťte sectsec4⁡ (t2) dt {\ displaystyle \ int t \ sec ^{4} (t ^{2}) dt}
  5. 5
    Urobte u-sub.
    • Nechajte u = t2 {\ displaystyle u = t^{2}} . Potom du2 = tdt {\ displaystyle {\ frac {du} {2}} = tdt}
    • Striedanie prináša 12∫sec4⁡ (u) du {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int \ sec ^{4} (u) du}
  6. 6
    Manipulujte s integrandom algebraicky. Usporiadajte ich tak, aby sme mohli používať Pytagorovu identitu.
    • 12∫sec2⁡ (u) sec2⁡ (u) du {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int \ sec ^{2} (u) \ sec ^{2} (u) du}
  7. 7
    Na sek2⁡ (u) {\ displaystyle \ sec ^{2} (u)} použite pytagorovu identitu. Nechajte jednu sekundu 2⁡ (u) {\ displaystyle \ sec ^{2} (u)} nedotknutú. Budeme potrebovať u-sub.
    • 12∫ (1+tan2⁡ (u)) sec2⁡ (u) du {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int (1+ \ tan ^{2} (u)) \ sec ^{2 } (u) du}
  8. 8
    Urobte u-sub.
    • Nechajte w = tan⁡ (u) {\ displaystyle w = \ tan (u)} . Potom dw = sec2⁡ (u) {\ displaystyle dw = \ sec ^{2} (u)}
    • Výnosy zo substitúcie 12∫1+w2dw {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int 1+w^{2} dw}
  9. 9
    Integrovať.
    • 12 [w+w33]+C {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} [w+{\ frac {w^{3}} {3}}]+C}
  10. 10
    Re-sub.
    • w = tan⁡ (u) {\ displaystyle w = \ tan (u)} a u = t2 {\ displaystyle u = t^{2}}
    • tan⁡ (t2) 2+tan⁡ (t2) 6+C {\ Displaystyle {\ frac {\ tan (t^{2})} {2}}+{\ frac {\ tan (t^{2}) } {6}}+C}

Prečítajte si tiež:

  1. Ako integrovať gaussovské funkcie?
Súvisiace články
  1. Ako previesť Kelvin na Fahrenheita alebo Celzia?Ľubica Králová
  2. Ako merať gramy?PhMr. Milena Kapustová
  3. Ako previesť gramy na kilogramy?PharmDr. Dobromila Radičová Th
  4. Ako previesť sekundu na minútu?Amália Fingerlandová
  5. Ako previesť gramy na kalórie?Klement Hossa
  6. Ako previesť ľudskú výšku v centimetroch na stopy?Edmund Čaplovič
FacebookTwitterInstagramPinterestLinkedInGoogle+YoutubeRedditDribbbleBehanceGithubCodePenWhatsappEmail