Ako predbehnúť svetlo v špeciálnej relativite?

V zmysle druhej menovanej veličiny sa často vyskytuje v špeciálnej relativite — Pomocou hyperbolických goniometrických identít je možné prepísať a v zmysle druhej menovanej veličiny sa často vyskytuje v špeciálnej relativite.

Na rozdiel od všeobecného presvedčenia je špeciálna relativita schopná zvládnuť zrýchlenie a zrýchlenie referenčných rámcov (aj keď tieto platia iba lokálne - pozri tipy). Zaujímavým dôsledkom objektu, ktorý podlieha konštantnému zrýchleniu, je to, že dokáže predbehnúť určité svetelné lúče, pokiaľ sa objekt stále zrýchľuje. Inými slovami, môžete vytvoriť horizont udalostí.

V častiach 1 až 3 sú načrtnuté pojmy nevyhnutné pre pochopenie derivácie. Ak chcete pokračovať k samotnému odvodeniu, prejdite na časť 4.

Časť 1 zo 4: lorentzove transformácie

1
Pripomeňme si lorentzové transformácie. Uistite sa, že ste oboznámení s týmito transformáciami, ktoré tvoria základ špeciálnej relativity, a tiež s zahrnutými premennými. Nasledujú transformácie v rozmeroch 1+1.
- ${\ begin {zarovnaný} ct^{{\ prime}} a = \ gamma (ct- \ beta x) \\ x^{{\ prime}} a = \ gamma (x- \ beta ct) \ end {zarovnané }}$
- Tu $\ beta = {\ frac {v} {c}}$ a $\ gamma = {\ frac {1} {{\ sqrt {1-{\ frac {v^{{2}}} {c^{{2}}}}}}}},$ Lorentzov faktor.
2
Pochopte, ako manipulovať s faktorom lorentz. Gama môže byť napísané mnohými rôznymi spôsobmi, z ktorých niektoré sú uvedené nižšie. Je dôležité byť schopný rozpoznať Lorentzov faktor bez ohľadu na to, ako je napísaný.
- $\ gamma = {\ frac {{\ mathrm {d}} t} {{\ mathrm {d}} \ tau}} = {\ frac {1} {{\ sqrt {1- \ beta ^{{2}} }}}}$

Ktorý je základom špeciálnej relativity — Metrika je tenzor, ktorý je základom špeciálnej relativity.

Časť 2 zo 4: rýchlosť

1
Pochopte koncept rýchlosti. Rýchlosť ξ {\ Displaystyle \ xi} $\ xi$ je bezrozmerná veličina, ktorá súvisí s rýchlosťou β. {\ Displaystyle \ beta.} $\ beta.$
- V špeciálnej relativite je rýchlosť prirodzenejšou veličinou, s ktorou sa pracuje, pretože na rozdiel od rýchlosti je rýchlosť lineárne aditívna prostredníctvom $\ tanh ^{{-1}} \ beta _ {{3}} = \ tanh ^{{-1}} \ beta _ {{1}}+\ tanh ^{{-1}} \ beta _ {{ 2}},$ kde $\ xi = \ tanh ^{{-1}} \ beta.$
2
Vizualizujte si hyperbolické funkcie. Graficky znázornite $\ xi = \ tanh ^{{-1}} \ beta,$ funkciu ξ = tanh − 1⁡β, {\ displaystyle \ xi = \ tanh ^{-1} \ beta,}, pretože zobrazuje niektoré dôležité vlastnosti rýchlosti.
- Po prvé, keď $| \ beta | \ ll 1, \ tanh ^{{-1}} \ beta \ cca \ beta.$ Inými slovami, rýchlosť sa znižuje na Newtonova rýchlosť pri každodenných rýchlostiach. To potvrdzuje, že naša definícia rýchlosti je kompatibilná s newtonovskou mechanikou.
- Za druhé, $\ tanh ^{{-1}} \ beta$ má doménu $(-11),$ ale rozsah $(-\ infty, \ infty).$ Keď sa približujete k rýchlosti svetla, rýchlosť sa začína zvyšovať rýchlejšie a rýchlejšie, až sa stane rýchlosťou svetla nekonečnou.
3
Bežné parametre prepíšte z hľadiska rýchlosti. Použitie hyperbolických goniometrické identity, možno prepísať γ {\ displaystyle \ gamma} $\ gama$ a βγ {\ displaystyle \ p \ y} $\ beta \ gama$ , pokiaľ ide o £. {\ Displaystyle \ xi.} $\ xi.$ Tá množstvo je často vidieť v špeciálnej relativitu. Všetky tri základné hyperbolické funkcie sú uvedené nižšie.
- $\ beta = \ tanh \ xi$
- $\ gamma = \ cosh \ xi$
- $\ beta \ gamma = \ sinh \ xi$
4
Prepíšte transformácie lorentzu z hľadiska rýchlosti. Relatívna jednoduchosť hyperbolických derivátov robí túto parametrizáciu atraktívnou.
- ${\ begin {aligned} ct^{{\ prime}} a = ct \ cosh \ xi -x \ sinh \ xi \\ x^{{\ prime}} a = x \ cosh \ xi -ct \ sinh \ xi \ end {zarovnaný}}$

Prečítajte si tiež: Ako sčítať alebo odčítať vektory?

Časť 3 zo 4: 4-vektory

1
Pochopte koncept 4-vektorov. 4-vektory sú objekty, ktoré sú užitočné v špeciálnej relativite, pretože sa transformujú lineárne podľa Lorentzových transformácií. Sú to minkowského priestorové analógy pravidelných vektorov v euklidovskom priestore.
- V špeciálnej relativite existujú dva typy 4-vektorov: kontravariantný a kovariantný. Kontravariantné vektory sú to, čo bežne považujeme za vektory - inverzne sa menia pod zmenou referenčných osí (zmena základu), aby sa zachovali ich vlastnosti nezávislé od súradníc, ako je napríklad ich veľkosť. 4-polohová a 4-rýchlosť sú protikladné 4-vektory. V indexe notáciu, exponent indexy naznačujú prítomnosť kontravariance.
- Kovariančné vektory sa menia rovnako pri zmene základu a sú označené indexmi dolného indexu. Príkladom kovariantného vektora by bol gradient. Môžeme tiež definovať kovariantnú formu kontravariantného vektora použitím príslušného metrického tenzora na zníženie indexu. V krokoch 4 a 7 normalizujeme 4 vektory tak, že to urobíme presne.
2
Pochopte metódu minkowski. Metrika je tenzor, ktorý je základom špeciálnej relativity. Táto metrika bude použitá v tejto časti na manipuláciu so 4 vektormi. V nižšie uvedenej definícii sú μ {\ Displaystyle \ mu} $\ mu$ a ν {\ Displaystyle \ nu} $\ nu$ indexy od 0 do 3.
- $\ eta _ {{\ mu \ nu}} = {\ begin {pmatrix} 1and0and0and0 \\ 0and-1and0and0 \\ 0and0and-1and0 \\ 0and0and0and-1 \\\ end {pmatrix}}.$
- Toto je časová Minkowského metrika, ktorá poskytuje pozitívny časopriestorový interval pre časovo podobné udalosti (pozri krok 4). Niektorí autori definujú priestorovú metriku, ktorá znamienka neguje.
- V 3-rozmernom euklidovskom priestore vyzerá zodpovedajúca metrika identicky s maticou identity 3x3. Pri vykonávaní transformácií v euklidovskom priestore v skutočnosti týmto procesom násobíte.
3
Definujte 4-pozíciu. 4-pozícia je 4-vektor, ktorý popisuje súradnice v priestore aj čase, nazývaný udalosti.
- $X^{{\ mu}} = (ct, x, y, z)$
4
Normalizujte 4-pozíciu. Keď je poloha 4 normalizovaná, výsledný Lorentzov skalár opisuje časopriestorový interval, invariantnú veličinu - takú, ktorá sa pri zmenách referenčných rámcov nemení. Časopriestorový interval je Minkowského priestorový analóg veľkosti vektora v euklidovskom priestore.
- ${\ begin {aligned} x^{{\ mu}} x _ {{\ mu}} a = x^{{\ mu}} x^{{\ nu}} \ eta _ {{\ mu \ nu}} \\ (c \ tau)^{{2}} a = (ct)^{{2}}-x^{{2}}-y^{{2}}-z^{{2}} \ end {zarovnané}}$
- V dôsledku našej definície Minkowského metriky, keď $(c \ tau)^{{2}}> 0,$ sa časopriestorový interval považuje za časový. Keď $(c \ tau)^{{2}} <0,$ sa hovorí, že je spacelike. Nakoniec, keď je $(c \ tau)^{{2}} = 0,$ interval údajne svetlý alebo nulový.
5
Definujte 4-rýchlosť. V newtonovskej mechanike je rýchlosť ľahko definovateľná ako časová rýchlosť zmeny polohy, pretože čas je nezávislý na referenčnom rámci. Špeciálna relativita však nepredpokladá absolútny čas. Toto obídeme tak, že vezmeme rýchlosť zmeny 4-polohy vzhľadom na správny čas, pretože časopriestorový interval zapísaný v zmysle správneho času je nemenný. Tu vezmeme derivát vzhľadom na cdτ {\ Displaystyle c \ mathrm {d} \ tau} $C {\ mathrm {d}} \ tau$ na konverziu na bezrozmerné jednotky, aj keď 4-rýchlosť je zvyčajne definovaná bez 1c {\ Displaystyle {\ frac {1} {c }}} ${\ frac {1} {c}}$ faktor.
- $V^{{\ mu}} = {\ frac {{\ mathrm {d}} x^{{\ mu}}} {c {\ mathrm {d}} \ tau}}$
6
Prepíšte 4-rýchlosť z hľadiska rýchlosti. Vzhľadom na to, že čas je relatívny, nie je okamžite zrejmé, ako by sa to malo prepisovať.
- Pomocou reťazcového pravidla prepíšte deriváty vzhľadom na čas súradníc. T. {\ Displaystyle t.} $T.$
  - ${\ begin {aligned} {\ frac {{\ mathrm {d}} x^{{\ mu}}} {c {\ mathrm {d}} \ tau}} a = \ left (c {\ frac {{ \ mathrm {d}} t} {c {\ mathrm {d}} \ tau}}, {\ frac {{\ mathrm {d}} x} {c {\ mathrm {d}} \ tau}}, { \ frac {{\ mathrm {d}} y} {c {\ mathrm {d}} \ tau}}, {\ frac {{\ mathrm {d}} z} {c {\ mathrm {d}} \ tau }} \ right) \\ a = \ left ({\ frac {{\ mathrm {d}} t} {{\ mathrm {d}} \ tau}}, {\ frac {{\ mathrm {d}} x } {{\ mathrm {d}} t}} {\ frac {{\ mathrm {d}} t} {c {\ mathrm {d}} \ tau}}, {\ frac {{\ mathrm {d}} y} {{\ mathrm {d}} t}} {\ frac {{\ mathrm {d}} t} {c {\ mathrm {d}} \ tau}}, {\ frac {{\ mathrm {d} } z} {{\ mathrm {d}} t}} {\ frac {{\ mathrm {d}} t} {c {\ mathrm {d}} \ tau}} \ right) \ end {zarovnaný}}$
- Pripomeňme si, že β = vc {\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}}} $\ beta = {\ frac {v} {c}}$ a γ = dtdτ. {\ Displaystyle \ gamma = {\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} \ tau}}.} $\ gamma = {\ frac {{\ mathrm {d}} t} {{\ mathrm {d}} \ tau}}.$
  - ${\ begin {aligned} {\ frac {{\ mathrm {d}} x^{{\ mu}}} {c {\ mathrm {d}} \ tau}} a = (\ gamma, \ beta _ {{ x}} \ gamma, \ beta _ {{y}} \ gamma, \ beta _ {{z}} \ gamma) \\ a = (\ gamma, \ beta \ gamma) \ end {zarovnané}}$
- V poslednom kroku sme skomprimovali priestorové zložky 4-vektora. Znovu si všimnite, že naša definícia vytvára bezrozmernú 4-rýchlosť. Toto pohodlie bude vidieť pri odvodzovaní.
7
Normalizujte 4-rýchlosť.
- ${\ begin {aligned} v^{{\ mu}} v _ {{\ mu}} a = v^{{\ mu}} v^{{\ nu}} \ eta _ {{\ mu \ nu}} \\ a = \ gamma ^{{2}}-(\ beta \ gamma) ^{{2}} \\ a = \ gamma ^{{2}} (1- \ beta ^{{2}}) \ koniec {zarovnaný}}$
- Pripomeňme si, že γ2 = 11 − β2. {\ Displaystyle \ gamma ^{2} = {\ frac {1} {1- \ beta ^{2}}}.} $\ gamma ^{{2}} = {\ frac {1} {1- \ beta ^{{2}}}}.$ Je to vynikajúce, pretože uznávame, že 4-rýchlosť je automaticky normalizovaný.
  - $VμVνημν = 1 {\ Displaystyle V^{\ mu} V^{\ nu} \ eta _ {\ mu \ nu} = 1}$
- Ak by sme definovali 4-rýchlosť v jednotkách rýchlosti, Lorentzov skalár by bol $C^{{2}}.$ Teraz sme pripravení začať deriváciu.

Na rozdiel od všeobecného presvedčenia je špeciálna relativita schopná zvládnuť zrýchlenie a zrýchlenie referenčných rámcov (aj keď tieto platia iba lokálne - pozri tipy).

Časť 4 zo 4: odvodenie konštantného zrýchlenia

1
Z hľadiska rýchlosti upravte 4-rýchlosť. Pre jednoduchosť budeme pracovať v rozmeroch 1+1.
- $V^{{\ mu}} = \ vľavo ({\ begin {matrix} \ gamma \\\ beta \ gamma \ end {matrix}} \ right) = \ left ({\ begin {matrix} \ cosh \ xi \ \\ sinh \ xi \ end {matrix}} \ vpravo)$
- Tu je ľahké pochopiť, prečo sa 4 $-rýchlosť$ automaticky normalizuje, pretože $\ cosh ^{{2}} \ xi -\ sinh ^{{2}} \ xi = 1.$
2
Vezmite správny časový derivát. Všimnite si použitia reťazového pravidla.
- ${\ frac {{\ mathrm {d}} v^{{\ mu}}} {{\ mathrm {d}} \ tau}} = \ left ({\ begin {matrix} \ sinh \ xi {\ frac { {\ mathrm {d}} \ xi} {{\ mathrm {d}} \ tau}} \\\ cosh \ xi {\ frac {{\ mathrm {d}} \ xi} {{\ mathrm {d}} \ tau}} \ end {matrix}} \ right) = \ left ({\ begin {matrix} \ sinh \ xi \\\ cosh \ xi \ end {matrix}} \ right) {\ frac {{\ mathrm { d}} \ xi} {{\ mathrm {d}} \ tau}}$
3
V okamžite sa otáčajúcom rámci dosiahnite správne zrýchlenie. Pohybujúci sa rámec je na určitý čas zotrvačný vzhľadom na objekt. Všetko, čo musíme urobiť, je použiť Lorentzovu transformáciu na posilnenie tohto rámca.
- $\ left ({\ begin {matrix} \ cosh \ xi and- \ sinh \ xi \\-\ sinh \ xi and \ cosh \ xi \ end {matrix}} \ right) \ left ({\ begin {matrix} \ sinh \ xi \\\ cosh \ xi \ end {matrix}} \ right) {\ frac {{\ mathrm {d}} \ xi} {{\ mathrm {d}} \ tau}} = \ left ({\ začať {matrix} 0 \\ 1 \ end {matrix}} \ right) {\ frac {{\ mathrm {d}} \ xi} {{\ mathrm {d}} \ tau}}$
- To potvrdzuje, že správne zrýchlenie je jednoducho rýchlosť zmeny rýchlosti vzhľadom na správny čas. Posilnenie do kombinovaných rámcov je spôsob, akým sa vysporiadame so zrýchlením v špeciálnej relativite.
- Môžete skontrolovať, či tento proces funguje, použitím Lorentzovej transformácie na 4-rýchlosť. Výsledné množstvo $\ left ({\ begin {matrix} 1 \\ 0 \ end {matrix}} \ right)$ jednoducho uvádza, že objektu 4-rýchlosť v comoving ráme - je pohybujúce sa v čase, ale nie vo vesmíre, ako by sme očakávali.
4
Opravte parametre z hľadiska správneho času.
- Ak je ${\ frac {{\ mathrm {d}} \ xi} {{\ mathrm {d}} \ tau}}$ konštantný, dá sa rozmerovo zapísať ako ${\ frac {{\ mathrm {d}} \ xi} {{\ mathrm {d}} \ tau}} = {\ frac {1} {\ tau _ {{0}}}}.$
- Potom oddelenie premenných a integrácia poskytne $\ xi = {\ frac {\ tau} {\ tau _ {{0}}}},$ takže 4-rýchlosť sa stane $\ left ({\ begin {matrix} \ cosh {\ frac {\ tau} {\ tau _ {{0}}}} \\\ sinh {\ frac {\ tau} {\ tau _ {{0}}} } \ end {matrix}} \ vpravo).$
5
Integrujte 4-rýchlosť s ohľadom na správny čas. Integrácia generuje konštanty, ktoré nemožno ignorovať. Uvedomte si, že od tej doby sme definovali 4-rýchlosť s extra c {\ displaystyle c} $C.$ faktor, musíme dodať, že ako integrovať.
- $\ left ({\ begin {matrix} ct \\ x \ end {matrix}} \ right) = \ left ({\ begin {matrix} c \ tau _ {{0}} \ sinh {\ frac {\ tau} {\ tau _ {{0}}}} \\ c \ tau _ {{0}} \ cosh {\ frac {\ tau} {\ tau _ {{0}}}} \ end {matrix}} \ right)$
6
Vytvorte graf výslednej parametrizácie. Riešením konštantného zrýchlenia je hyperbolický pohyb, ako ho rozpoznávajú hyperbolické funkcie, analogický s parabolickým pohybom v newtonovskej mechanike.
- ${\ begin {aligned} ctand = c \ tau _ {{0}} \ sinh {\ frac {\ tau} {\ tau _ {{0}}}} \\ xand = c \ tau _ {{0}} \ cosh {\ frac {\ tau} {\ tau _ {{0}}}} \ end {zarovnaný}}$
- Ak $\ tau \ geq 0,$ potom rovnice popisujú hyperbolu v prvom kvadrante na časopriestorovom diagrame. V súradnicových osiach hyperbola začína v bode $(0, c \ tau _ {{0}}),$ zobrazenom ako zelená bodka. Keď je diagram zmenšený na $Ct$ tak, že časová os má jednotky vzdialenosti, svetelné lúče sú vykreslené ako červené bodkované čiary so sklonom 1. Svetelný lúč vyžarovaný v $T = 0$ je zobrazený ako červená bodka a generuje svetelný kužeľ.
- Pretože hyperbola má tieto čiary ako asymptoty, svetelný lúč a trajektória objektu sa nikdy navzájom nepretnú. Navyše, v súradnicovom rámci sa k objektu nikdy nedostane ani žiadne svetlo, ktoré vyžaruje potom, čo svetelný lúč vyžaruje pri $T = 0$ .
- Objekt preto nemôže byť týmito svetelnými lúčmi žiadnym spôsobom ovplyvnený, čím sa vytvorí zdanlivý horizont udalostí. Objekt v obmedzenom zmysle je schopný „predbehnúť“ svetlo, pokiaľ sa stále zrýchľuje.

Ktorá súvisí s rýchlosťou V špeciálnej relativite je rýchlosť prirodzenejšou veličinou — Rýchlosť je bezrozmerná veličina, ktorá súvisí s rýchlosťou V špeciálnej relativite je rýchlosť prirodzenejšou veličinou, s ktorou sa pracuje, pretože na rozdiel od rýchlosti je rýchlosť lineárne aditívna, kde.

Tipy

Ako už bolo spomenuté v úvode, akceleračné rámce vo forme okamžite sa spájajúcich rámcov nemožno predlžovať na neurčito.
- Aby ste pochopili, prečo je to tak, nakreslite dve udalosti na hyperbolickú krivku a spojte dve bodky so začiatkom. Výsledné osi sú priestorové osi v zosilnených rámcoch a keďže sa pohybujúce sa rámce pohybujú rôznymi rýchlosťami, osi sa nakoniec pretnú na začiatku.
- Táto križovatka však znamená, že k tretej udalosti na začiatku došlo súčasne pre obe časové udalosti. Je to nemožné, takže nemôžete spájajúce sa rámce predĺžiť na neurčito, bez toho, aby to viedlo k problémom.