Ako ukázať, že Phi je kvadratický?

Že phi je kvadratické číslo — Toto je kvadratická rovnica, čo znamená, že phi je kvadratické číslo.

Zlatý rez, reprezentovaný gréckym písmenom phi ( $\ phi$ ), má dlhú históriu v umení a matematike, ktorá siaha až do starovekého Egypta. Vďaka svojmu vnútornému vzťahu s Fibonacciho sekvenciou sa prejavuje aj v prírode; spôsob, akým sa semená špirálovito šíria v slnečnicovej hlave alebo listoch rastú okolo stonky rastliny, sa všetko viaže späť k phi - božskému pomeru. Táto príručka vám ukáže, ako sa algebricky dokázať, že toto číslo $\ phi$ je kvadratický.

Kroky

1
Zvážte, čo to znamená byť „kvadratický “. V matematike je číslo kvadratické, ak je riešením kvadratickej rovnice s racionálnymi koeficientmi. Inými slovami, množstvo x {\ displaystyle x} $X$ je kvadratický, ak spĺňa rovnice v tvare AX2 + bx + c = 0 {\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0} $Ax^{2}+bx+c = 0$ , s a {\ displaystyle a} $A$ , b {\ Displaystyle b} $B$ a c {\ Displaystyle c} $C.$ sú racionálne čísla a a {\ Displaystyle a} $A$ nie sú rovné nule.
- Ak $A$ rovnali nule, rovnica by bola ${\ Displaystyle 0x^{2}+bx+c = 0}$ , čo sa zmenší na ${\ displaystyle bx+c = 0}$ . Toto už nie je kvadratická rovnica, pretože nemá žiadny výraz. $X^{2}$
2

Zvážte, ako je definovaný phi. Vo svojej knihe prvky Euklides definovaná zlatý pomer nasledovne:
" priamka sa hovorí, že boli znížené v extrémnej a stredné pomer, keď, ako je celá linka je väčšia segmentu, takže je väčšie na menšie. " „extrémny a priemerný pomer“ tu označuje zlatý rez. Ak je linka rez do väčšieho kusu $a {\ displaystyle a}$ a menšia časť $b {\ displaystyle b}$ , potom pomer $a {\ displaystyle a}$ až $b {\ displaystyle b}$ je rovný phi ak
$A$ $B$ $A$ $B$ ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {a+b} {a}}}$ .
3

Trochu preusporiadajte túto definíciu phi. ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {a+b} {a}} = {\ frac {a} {a}}+{\ frac {b} {a}} = 1 +{\ frac {b} {a}}}$
4

Náhradník ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = \ phi}$ do ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = 1+{\ frac {b} {a}}}$ . Výsledkom je ${\ displaystyle \ phi = 1+{\ frac {1} {\ phi}}}$ .

V matematike je číslo kvadratické, ak je riešením kvadratickej rovnice s racionálnymi koeficientmi.
5

Zbavte sa phi v menovateli na pravej strane vynásobením celej rovnice phi. ${\ Displaystyle \ phi ^{2} = \ phi +1}$ .
6

Uveďte všetko na ľavú stranu rovnice. ${\ Displaystyle \ phi ^{2} -\ phi -1 = 0}$ . Toto je kvadratická rovnica, čo znamená, že phi je kvadratické číslo.
7

Riešiť pre phi. Pomocou kvadratického vzorca môžete vypočítať, že phi sa rovná ${\ displaystyle {\ frac {1 \ pm {\ sqrt {5}}} {2}}}$ . ${\ displaystyle {\ frac {1+{\ sqrt {5}}} {2}} = 1,61803398875}$ , a ${\ displaystyle {\ frac {1-{\ sqrt {5}}} {2}} =-0,61803398875}$ . Problém, ktorý teraz zostáva, je, že sme získali dve možné hodnoty pre phi. Je to prirodzené, pretože kvadratické rovnice majú vždy dve riešenia. Ak sa však pozriete späť na to, ako Euclid definoval Phi, je zrejmé, že pozitívnym riešením je hodnota phi. Euclid skutočne definoval phi ako pomer dĺžok úsečiek, a keďže dĺžky sú vždy kladné, pomer a teda phi budú tiež kladné.

Prečítajte si tiež: Ako používať newtonovu kolísku?