Ako vyriešiť klasický harmonický oscilátor?

V systéme popisujúcom tlmený harmonický oscilátor existuje ďalšia sila závislá na rýchlosti, ktorej smer je opačný ako smer pohybu.

Vo fyzike je harmonický oscilátor systémom, ktorý zažíva obnovovaciu silu úmernú posunu z rovnováhy. $F = -kx.$ Harmonické oscilátory sú všadeprítomné vo fyzike a inžinierstve, a preto je analýza priamej oscilačný systém, akým je hmotnosť na pružine, poskytuje pohľad na harmonický pohyb v komplikovanejších a neintuitívnych systémoch, ako sú systémy vyskytujúce sa v kvantovej mechanike a elektrodynamike.

V tomto článku sa zaoberáme dvoma prípadmi klasického harmonického pohybu: jednoduchým harmonickým oscilátorom, kde jedinou prítomnou silou je obnovujúca sila; a tlmený harmonický oscilátor, kde je prítomná aj trecia sila závislá od rýchlosti. Je odporúčané, že ste skontrolovať metódy na riešenie homogénny lineárny konštantný koeficient diferenciálnych rovníc pred pokračovaním.

Časť 1 z 2: jednoduchý harmonický oscilátor

1
Nájdite pohybovú rovnicu pre objekt pripevnený k hákovitej pružine. Tento objekt spočíva na podlahe bez trenia a pružina sa riadi Hookeovým zákonom. $F = -kx.$
- Newtonov druhý zákon hovorí, že veľkosť sily je úmerná zrýchleniu objektu. $F = ma.$ Keď je pružina vytiahnutá do vzrušeného stavu, tj. Mimo rovnováhy, predmet zažije obnovovaciu silu to má tendenciu vrátiť ju do rovnováhy. V okamihu, keď pružina dosiahne svoj rovnovážny bod, objekt sa pohybuje svojou najväčšou rýchlosťou. Pružina preto prechádza oscilačným pohybom, a pretože predpokladáme, že podlaha je bez trenia (bez tlmenia), prejavuje jednoduchý harmonický pohyb.
- Newtonov zákon iba nepriamo spája polohu objektu so silou, ktorá naň pôsobí prostredníctvom druhej derivácie, pretože $A = {\ frac {{\ mathrm {d}}^{{2}} x} {{\ mathrm {d}} t^{{2}}}}.$
- Pri práci s časovými derivátmi fyzici často používajú Newtonovu notáciu pre deriváty, kde počet bodiek zodpovedá počtu časových derivácií. Napríklad $A = {\ ddot x}.$
2

Nastavte diferenciálnu rovnicu pre jednoduchý harmonický pohyb. Rovnica je lineárna diferenciálna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi. V našom systéme sa sily pôsobiace kolmo na smer pohybu predmetu (hmotnosť predmetu a zodpovedajúca normálová sila) rušia. Preto je jediná sila pôsobiaca na predmet, keď je pružina excitovaná, obnovovacia sila. To znamená, že ich spojíme a získame $F = ma = -kx.$

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice tlmenej harmonickej oscilácie je preto nasledovné, kde vylúčime a.
3
Prepíšte zrýchlenie z hľadiska polohy a zmeňte usporiadanie tak, aby bola rovnica nastavená na 0.
- $M {\ ddot x}+kx = 0$
4
Riešenie pre pohybovú rovnicu.
- Zostavte charakteristickú rovnicu.
  - $Pán^{{2}}+k = 0$
- Nájdite korene charakteristickej rovnice.
  - $R = \ pm {\ sqrt {{\ frac {k} {m}}}} i$
- Potom je riešenie diferenciálnej rovnice nasledujúce.
  - $X (t) = c _ {{1}} \ cos \ left ({\ sqrt {{\ frac {k} {m}}}} \, t \ right)+c _ {{2}} \ sin \ left ({\ sqrt {{\ frac {k} {m}}}} \, t \ right)$
5
Zjednodušiť. Aj keď je vyššie uvedený výraz pravdivý, je trochu objemný, keď je riešenie napísané z hľadiska dvoch trigonometrických funkcií.
- Najprv si uvedomíme, že druhá odmocnina je uhlová frekvencia systému, takže môžeme takto označiť ω0 {\ displaystyle \ omega _ {0}} $\ omega _ {{0}}$ .
  - $\ omega _ {{0}} = {\ sqrt {{\ frac {k} {m}}}}$
- To znamená, že diferenciálnu rovnicu je možné prepísať pomocou uhlovej frekvencie.
  - ${\ ddot x}+\ omega _ {{0}}^{{2}} x = 0$
- Ďalej je A {\ Displaystyle A} $A$ amplitúda oscilácie a ϕ {\ Displaystyle \ phi} $\ phi$ je fázový faktor, oba závislé od počiatočných podmienok. V tomto článku nájdete podrobnosti o tom, ako prepísať riešenie z hľadiska fázového faktora.
  - $X (t) = a \ cos (\ omega _ {{0}} t+\ phi)$

Časť 2 z 2: Tlmený harmonický oscilátor

1

Zahrňte treciu silu závislú od rýchlosti. V systéme popisujúcom tlmený harmonický oscilátor existuje ďalšia sila závislá na rýchlosti, ktorej smer je opačný ako smer pohybu. Túto silu možno zapísať ako $F = -bv,$ kde $B$ je experimentálne určená konštanta. S touto dodatočnou silou dáva analýza síl silu $Ma = -kx-bv.$

Z predchádzajúcich výsledkov teda môžeme zapísať pohybovú rovnicu tlmeného harmonického oscilátora nasledovne, kde je počiatočná amplitúda a fázový faktor, oba závislé od počiatočných podmienok.
2
Prepíšte zrýchlenie a rýchlosť z hľadiska polohy a zmeňte usporiadanie, aby sa rovnica nastavila na 0.
- $M {\ dtot x}+b {\ dot x}+kx = 0$
- Toto je stále rovnica lineárneho konštantného koeficientu druhého rádu, preto používame obvyklé metódy.
3
Riešenie pre pohybovú rovnicu.
- Zostavte charakteristickú rovnicu.
  - $Mr^{{2}}+br+k = 0$
- Vyriešte charakteristickú rovnicu. Použite kvadratický vzorec.
  - $R = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b^{{2}}-4mk}}} {2m}}$
- Preto všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice tlmenej harmonickej oscilácie je nasledujúce, kde vylúčime a e − b2mt. {\ Displaystyle e^{{\ frac {-b} {2m}} t}.} $E^{{{\ frac {-b} {2m}} t}}.$
  - $X (t) = e^{{{\ frac {-b} {2m}} t}} \ left (c _ {{1}} e^{{{\ frac {{\ sqrt {b^{{2} } -4mk}}} {2m}} t}}+c _ {{2}} e^{{{\ \ frac {-{\ sqrt {b^{{2}}-4mk}}} {2m}} t }}\správny)$
4
Prejdite si tri prípady. Tri prípady závisia od hodnoty hodnoty v exponente, ktorá zase závisí od diskriminačného faktora. $B^{{2}}-4 mil.$
- b2−4mk> 0 {\ displaystyle b^{2} -4mk> 0} $B^{{2}}-4 mil.> 0$
  - Keď je diskriminant kladný, potom je riešením jednoducho súčet dvoch klesajúcich exponenciálnych funkcií. Tomu sa hovorí prehnaný systém. Pretože to nepopisuje harmonický oscilátor, tento prípad nás nezaujíma.
- b2−4mk = 0 {\ displaystyle b^{2} -4mk = 0} $B^{{2}}-4mk = 0$
  - Keď je diskriminant 0, potom je riešením klesajúca exponenciálna funkcia $(c _ {{1}} t+c _ {{2}}) e^{{{\ frac {-b} {2m}} t}}.$ Toto sa nazýva kriticky tlmený systém. Hmota na pružine v kriticky tlmenom systéme sa čo najrýchlejšie vracia do rovnováhy a neosciluje, takže nás ani tento prípad nezaujíma.
- b2−4mk <0 {\ displaystyle b^{2} -4mk <0} $B^{{2}}-4 mil. <0$
  - Keď je diskriminant negatívny, riešenie zahŕňa imaginárne exponenty. Toto sa nazýva podtlmený systém a hmotnosť osciluje.
Časť 1 z 2: jednoduchý harmonický oscilátor.
5
Zjednodušiť. Pretože v podtlumenom prípade sú korene komplexné čísla, môžeme na napísanie riešenia pomocou sínusov a kosínusov použiť Eulerov vzorec. Všimnite si zmeny znamienka v odmocnine.
- $X (t) = e^{{-b/2m}} \ left (c _ {{1}} \ cos \ left ({\ frac {{\ sqrt {4mk-b^{{2}}}}} { 2m}} \, t \ right)+c _ {{2}} \ sin \ left ({\ frac {{\ sqrt {4mk-b^{{2}}}}} {2m}} \, t \ right)\správny)$
6
Prepíšte riešenie z hľadiska času rozpadu τ {\ Displaystyle \ tau} $\ tau$ a tlmenej uhlovej frekvencie ωd {\ displaystyle \ omega _ {d}} $\ omega _ {{d}}$ .
- Čas rozpadu $\ tau = 2 m/b$ je čas, ktorý trvá, kým sa amplitúda systému rozpadne na $1/e$ počiatočnej amplitúdy.
- Tlmené uhlová frekvencia sa vzťahuje na oba uhlové frekvencie (z zodpovedajúce netlumeným oscilátora) a doby dozvuku v nasledujúcom spôsobom, kde sa doviesť 2m {\ displaystyle 2m} $2 m$ vnútri odmocniny.
  - ${\ begin {zarovnaný} \ omega _ {{d}} a = {\ sqrt {{\ frac {4mk-b^{{2}}} {4m^{{2}}}}}} \\ a = {\ sqrt {\ omega _ {{0}} ^{{2}}-{\ frac {1} {\ tau ^{{2}}}}}} \ end {zarovnaný}}$
- Z predchádzajúcich výsledkov teda môžeme zapísať pohybovú rovnicu tlmeného harmonického oscilátora ako nasledujúcu, kde A {\ Displaystyle A} $A$ je počiatočná amplitúda a {{\ Displaystyle \ phi} $\ phi$ je fázový faktor, oba závislé od počiatočných podmienok.
  - $X (t) = ae^{{-t/\ tau}} \ cos (\ omega _ {{d}} t+\ phi)$
- Tu vidíme, že pohybová rovnica popisuje oscilačný systém, ktorého obal je klesajúcou exponenciálnou funkciou. Rýchlosť, ktorou funkcia klesá, a frekvencia, ktorou kmitá, závisia od parametrov systému a musia byť stanovené experimentálne.