Ako vypočítať okamžitú rýchlosť?

Nájdite okamžitú rýchlosť pri t = 4 vzhľadom na rovnicu posunu s = 5t3 - 3t2 + 2t + 9.

Rýchlosť je definovaná ako rýchlosť objektu v danom smere. V mnohých bežných situáciách na nájdenie rýchlosti používame rovnicu v = s/t, kde v je rýchlosť, s sa rovná celkovému posunu z počiatočnej polohy objektu a t sa rovná uplynutému času. To však technicky dáva iba priemernú rýchlosť objektu po jeho dráhe. Pomocou počtu je možné vypočítať rýchlosť objektu v každom okamihu jeho dráhy. Toto sa nazýva okamžitá rýchlosť a je definované rovnicou v = (ds)/(dt), alebo inými slovami, deriváciou rovnice priemernej rýchlosti objektu.

Časť 1 z 3: Výpočet okamžitej rýchlosti

1
Začnite s rovnicou rýchlosti z hľadiska posunu. Aby sme získali okamžitú rýchlosť objektu, musíme najskôr mať rovnicu, ktorá nám hovorí o jeho polohe (v zmysle posunu) v určitom časovom bode. To znamená, že rovnica musí mať premennú s na jednej strane sama osebe t na druhej strane (ale nie nevyhnutne sama o sebe), takto:

s = -1,5t ² + 10t + 4
- V tejto rovnici sú tieto premenné:
  
  Posun = s. Vzdialenosť, ktorú predmet prešiel z počiatočnej polohy. Ak napríklad predmet prejde 10 metrov dopredu a 7 metrov dozadu, jeho celkový výtlak je 10 - 7 = 3 metre (nie 10 + 7 = 17 metrov).
  
  Čas = t. Samovysvetľujúce. Obvykle sa meria v sekundách.
2
Vezmite deriváciu rovnice. Derivácia rovnice je iba odlišná rovnica, ktorá vám povie jej sklon v ktoromkoľvek časovom bode. Ak chcete nájsť deriváciu vzorca pre posun, derivujte funkciu podľa tohto všeobecného pravidla pre hľadanie derivácií: Ak y = a*x ⁿ, derivácia = a*n*x ^n-1. Toto pravidlo sa uplatňuje na každý výraz na t „strana rovnice.
- Inými slovami, začnite tým, že prejdete stranou „t“ svojej rovnice zľava doprava. Zakaždým, keď dosiahnete „t“, odpočítajte 1 od exponentu a vynásobte celý výraz pôvodným exponentom. Všetky konštantné výrazy (výrazy, ktoré neobsahujú „t“) zmiznú, pretože sú vynásobené číslom 0. Tento proces nie je v skutočnosti taký náročný, ako to znie - odvodme si rovnicu v predchádzajúcom kroku ako príklad:
  
  s = -1,5t ² + 10t + 4
  (2) -1,5t ^(2-1) + (1) 10t ^{1 -1} + (0) 4t ⁰
  -3t ¹ + 10t ⁰
  -3t + 10
3
Nahraďte „s“ „ds/dt.“ Aby sme ukázali, že naša nová rovnica je derivátom prvej, nahradíme „s“ zápisom „ds/dt“. Technicky tento zápis znamená „derivát s vzhľadom na t.“ Jednoduchší spôsob, ako o tom uvažovať, je, že ds/dt je iba sklon akéhokoľvek bodu v prvej rovnici. Napríklad, aby sme našli sklon čiary vytvorený s = -1,5t ² + 10t + 4 pri t = 5, jednoducho by sme do t v jeho deriváte zapojili „5“.
- V našom bežiacom príklade by naša hotová rovnica mala teraz vyzerať takto:
  
  ds/dt = -3t + 10
4
Pripojte hodnotu pre svoju novú rovnicu a zistite okamžitú rýchlosť. Teraz, keď máte svoju derivačnú rovnicu, je ľahké nájsť okamžitú rýchlosť v ľubovoľnom časovom bode. Všetko, čo musíte urobiť, je vybrať hodnotu t a zapojiť ju do derivačnej rovnice. Napríklad, ak chceme nájsť okamžitú rýchlosť pri t = 5, nahradíme t „5“ za t v deriváte ds/dt = -3 + 10. Potom by sme rovnicu vyriešili takto:

ds/dt = -3t + 10
ds/dt = -3 (5) + 10
ds/dt = -15 + 10 = -5 metrov/sekundu
- Upozorňujeme, že vyššie používame označenie „metre/sekundu“. Pretože sa zaoberáme výtlakom v metroch a časom v sekundách a rýchlosť je vo všeobecnosti len posunutie v priebehu času, je toto označenie vhodné.

Je ľahké nájsť okamžitú rýchlosť v ľubovoľnom časovom bode — Teraz, keď máte svoju derivačnú rovnicu, je ľahké nájsť okamžitú rýchlosť v ľubovoľnom časovom bode.

Časť 2 z 3: Grafický odhad okamžitej rýchlosti

1
Znázornite si posunutie objektu v priebehu času. V sekcii vyššie sme spomenuli, že deriváty sú iba vzorce, ktoré nám umožňujú nájsť sklon v ľubovoľnom bode pre rovnicu, pre ktorú deriváciu vezmete. V skutočnosti, ak v grafe reprezentujete posunutie objektu čiarou, sklon čiary v ktoromkoľvek danom bode sa rovná okamžitej rýchlosti objektu v tomto bode.
- Na vykreslenie posunu objektu použite os x na zobrazenie času a os y na znázornenie posunu. Potom už len vykreslite body tak, že do posunovacej rovnice zapojíte hodnoty t, zistíte hodnoty s pre svoje odpovede a označíte body t, s (x, y) v grafe.
- Graf sa môže rozprestierať pod osou x. Ak čiara predstavujúca pohyb vášho objektu klesne pod os x, znamená to, že sa váš objekt pohybuje za miestom, kde začal. Váš graf sa spravidla nepresahuje za os y - pri objektoch pohybujúcich sa dozadu v čase často nemeriame rýchlosť!
2
Vyberte jeden bod P a bod Q, ktorý sa nachádza na priamke v jeho blízkosti. Na nájdenie sklonu čiary v jednom bode P používame trik nazývaný „prijatie limitu“. Prijatie limitu znamená vziať dva body (P, plus Q, bod v jeho blízkosti) na zakrivenú čiaru a nájsť sklon čiary, ktorá ich spája znova a znova, keď sa vzdialenosť medzi P a Q zmenšuje.
- Povedzme, že naša posunovacia čiara obsahuje body (13) a (47). V tomto prípade, ak chceme nájsť svahu na (13), môžeme nastaviť (13) = p i (47) = q.
3

Nájdite sklon medzi P a Q. Sklon medzi P a Q je rozdiel v hodnotách y pre P a Q oproti rozdielu v hodnotách x pre P a Q. Inými slovami, H = (y _q -Y _p) /(x _q - X _p), kde H je sklon medzi dvoma bodmi. V našom prípade je sklon medzi P a Q:

H = (y _q - Y _p)/(x _q - X _p)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1,33
4

Opakujte niekoľkokrát, pričom sa pohybujte Q bližšie k P. Vaším cieľom tu je zmenšovať vzdialenosť medzi P a Q stále menej, kým sa nepriblíži k jednému bodu. Čím menšia je vzdialenosť medzi P a Q, tým bližšie bude sklon vašich malých úsečiek k sklonu v bode P. Urobme to niekoľkokrát pre našu rovnicu príkladu pomocou bodov (24,8), (1, 53,95) a (1 253,49) pre Q a náš pôvodný bod z (13) pre P:

Q = (24,8): H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1,8)/(1) = 1,8

Q = (1,53,95): H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (0,95)/(0,5) = 1,9

Q = (1 253,49): H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (0,49)/(0,25) = 1,96
5
Odhadnite sklon na nekonečne malý interval na čiare. Ako sa Q bude stále viac približovať k P, H sa bude v bode P. stále viac približovať k sklonu svahu. Nakoniec v nekonečne malom intervale sa H bude rovnať sklonu v bode P. Pretože nie sme schopní nekonečne merať ani počítať malý interval, odhadujeme sklon na P, akonáhle je to zrejmé z bodov, ktoré sme vyskúšali.
- V našom prípade, keď sme presunuli Q bližšie k P, dostali sme hodnoty 1,8, 1,9 a 1,96 pre H. Pretože sa tieto čísla zdajú byť blízke 2, môžeme povedať, že 2 je dobrý odhad pre svah pri P.
- Nezabudnite, že sklon v danom bode na čiare sa rovná derivácii rovnice čiary v tomto bode. Pretože naša čiara ukazuje posunutie nášho objektu v čase a ako sme videli v sekcii vyššie, okamžitá rýchlosť objektu je derivátom jeho posunu v danom bode, môžeme tiež povedať, že 2 metre za sekundu sú dobrým odhadom okamžitá rýchlosť pri t = 1.

Okamžitá rýchlosť budú rovnaké — Ak sa predmet pohybuje konštantnou rýchlosťou, priemerná rýchlosť a okamžitá rýchlosť budú rovnaké.

Časť 3 z 3: ukážkové problémy

1
Nájdite okamžitú rýchlosť pri t = 4 vzhľadom na rovnicu posunu s = 5t ³ - 3t ² + 2t + 9. Je to rovnako ako náš príklad v prvej časti, okrem toho, že sa zaoberáme kubickou rovnicou a nie kvadratickou rovnicou, aby sme to mohli riesit rovnako.
- Najprv si vezmeme deriváciu našej rovnice:
  
  s = 5t ³ - 3t ² + 2t + 9
  s = (3) 5t ^{(3 - 1)} - (2) 3t ^{(2 - 1)} + (1) 2t ^{(1 - 1) + (0) 9t ^{0 - 1}
  15t ⁽²⁾ - 6t ⁽¹⁾ + 2t ^{(0)
  15t ⁽²⁾ - 6t + 2}}
- Potom zapojíme našu hodnotu pre t (4):
  
  s = 15t ⁽²⁾ - 6t + 2
  15 (4) ⁽²⁾ - 6 (4) + 2
  240 - 24 + 2 = 218 metrov/sekundu
2
Pomocou grafického odhadu nájdite okamžitú rýchlosť na (13) pre rovnicu posunu s = 4t ² - T. Na tento problém použijeme (13) ako bod P, ale budeme musieť nájsť niekoľko ďalších bodov v jeho blízkosti. použiť ako naše Q body. Potom stačí nájsť naše hodnoty H a urobiť odhad.
- Najprv nájdeme Q body na t = 2, 1,5, 1,1 a 1,01.
  
  s = 4t ² - t
  
  t = 2: s = 4 (2) ² - (2)
  4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, takže Q = (214)
  
  t = 1,5: s = 4 (1,5) ² - (1,5)
  4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, takže Q = (1,57,5)
  
  t = 1,1: s = 4 (1,1) ² - (1,1)
  4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, takže Q = (1, 13,74)
  
  t = 1,01: s = 4 (1,01) ² - (1,01)
  4 (1 0201) - 1,01 = 4 0804 - 1,01 = 3 0704, takže Q = (1 013,0704)
- Ďalej získajme hodnoty H:
  
  Q = (214): H = (14 - 3)/(2 - 1)
  H = (11)/(1) = 11
  
  Q = (1,57,5): H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
  H = (4,5)/(0,5) = 9
  
  Q = (1,13,74): H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
  H = (0,74)/(0,1) = 7,3
  
  Q = (1 013,0704): H = (3,0704 - 3)/(1,01 - 1)
  H = (0,0704)/(0,01) = 7,04
- Pretože sa zdá, že sa naše hodnoty H veľmi blížia k 7, môžeme povedať, že 7 metrov za sekundu je dobrý odhad okamžitej rýchlosti pri (13).

Toto sa nazýva okamžitá rýchlosť a je definované rovnicou v = (ds)/(dt), alebo inými slovami, deriváciou rovnice priemernej rýchlosti objektu.

Tipy

Ak chcete nájsť zrýchlenie (zmenu rýchlosti v čase), pomocou metódy v prvej časti získajte derivačnú rovnicu pre svoju funkciu posunu. Potom vezmite inú deriváciu, tentoraz svojej derivačnej rovnice. Získate tak rovnicu na nájdenie zrýchlenia v danom čase - stačí, ak svoju hodnotu zapojíte na čas.
Rovnica, ktorá týka Y (posunutie) k X (čas), môže byť skutočne jednoduchá, napríklad ako Y = 6x + 3. V tomto prípade je sklon konštantný a na nájdenie sklonu nie je potrebné hľadať deriváciu, čo je podľa základného modelu Y = mx + b pre lineárne grafy, 6.
Posun je ako vzdialenosť, ale má nastavený smer, čo znamená, že posunutie je vektor a rýchlosť skalárne. Posun môže byť záporný, zatiaľ čo vzdialenosť bude iba kladná.

Prečítajte si tiež: Ako odvodiť vzorec pre kinetickú energiu?

Ako vypočítať okamžitú rýchlosť?

Kroky

Časť 1 z 3: Výpočet okamžitej rýchlosti

Časť 2 z 3: Grafický odhad okamžitej rýchlosti

Časť 3 z 3: ukážkové problémy

Tipy

Otázky a odpovede

Prečítajte si tiež: