Ako odvodiť vzorec pre kinetickú energiu?
Ako vypočítam potenciálnu a kinetickú energiu zahŕňajúcu projektil gule bez danej hmotnosti?
Keď neexistujú žiadne protichodné sily, pohybujúce sa teleso má tendenciu pokračovať v pohybe stabilnou rýchlosťou, ako to poznáme z prvého Newtonovho zákona pohybu. Ak sa však výsledná sila robí pôsobí na pohybujúceho sa telesa v smere jeho pohybu, potom to bude zrýchľovať na druhého Newtonovho zákona F = ma. {\ Displaystyle \ mathbf {F} = m \ mathbf {a}.} práca vykonaná silou sa v tele premení na zvýšenú kinetickú energiu. Z týchto základných princípov odvodzujeme výraz pre kinetickú energiu.
Metóda 1 z 2: Derivácia pomocou počtu
- 1Začnite vetou o práci a energii. Práca, ktorá sa vykonáva na objekte, súvisí so zmenou jeho kinetickej energie.
- ΔK = W {\ displaystyle \ Delta K = W}
- 2Prepísať prácu ako integrál. Konečným cieľom je prepísať integrál z hľadiska rozdielu rýchlosti.
- ΔK = ∫F⋅dr {\ displaystyle \ Delta K = \ int \ mathbf {F} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r}}
- 3Prepíšte silu z hľadiska rýchlosti. Všimnite si, že hmotnosť je skalárna, a preto môže byť započítaná.
- ΔK = ∫ma⋅dr = m∫dvdt⋅dr {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Delta K & = \ int m \ mathbf {a} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} \\ & = m \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {\ mathrm {d} t}} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {r} \ end {zarovnaný}}}
- 4Prepíšte integrál z hľadiska rozdielu rýchlosti. Tu je to triviálne, pretože bodové výrobky dochádzajú. Pripomeňme si tiež definíciu rýchlosti.
- ΔK = m∫drdt⋅dv = m∫v⋅dv {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Delta K & = m \ int {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {v} \\ & = m \ int \ mathbf {v} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {v} \ end {zarovnaný}}}
- 5Integrujte nad zmenou rýchlosti. Typicky, počiatočná rýchlosť v0 {\ displaystyle V_ {0}} je nastavená na 0.
- ΔK = 12mv2−12mv02 = 12mv2 {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ Delta K & = {\ frac {1} {2}} mv^{2}-{\ frac {1} {2}} mv_ {0} ^{2} \\ & = {\ frac {1} {2}} mv^{2} \ end {zarovnaný}}}
Ako vypočítam kinetickú energiu pomocou pohybových rovníc?
Metóda 2 z 2: Derivácia pomocou algebry
- 1Začnite vetou o pracovnej energii. Práca, ktorá sa vykonáva na objekte, súvisí so zmenou jeho kinetickej energie.
- ΔK = W {\ displaystyle \ Delta K = W}
- 2Prepíšte prácu z hľadiska zrýchlenia. Všimnite si toho, že použitie algebry v tejto derivácii nás obmedzuje na konštantné zrýchlenie.
- ΔK = FΔx = maΔx {\ Displaystyle {\ begin {zarovnaný} \ Delta K & = F \ Delta x \\ & = ma \ Delta x \ end {zarovnaný}}}
- Tu je posunutie Δx {\ Displaystyle \ Delta x} .
- 3Vzťahujte k rýchlosti, zrýchleniu a výtlaku. Existuje niekoľko kinematických rovníc s konštantným zrýchlením, ktoré sa týkajú času, posunu, rýchlosti a zrýchlenia. „Nadčasová“ rovnica, ktorá neobsahuje čas, je uvedená nižšie.
- v2 = v02+2aΔx {\ displaystyle v^{2} = v_ {0}^{2}+2a \ Delta x}
- Keď objekt začne odpočívať, v0 = 0. {\ Displaystyle v_ {0} = 0.}
- 4Riešenie pre zrýchlenie. Nezabudnite, že počiatočná rýchlosť je 0.
- a = v22Δx {\ displaystyle a = {\ frac {v^{2}} {2 \ Delta x}}}
- 5Náhradu zrýchlenia za pôvodnú rovnicu a zjednodušenie.
- ΔK = m (v22Δx) Δx = 12mv2 {\ displaystyle {\ begin {zarovnaný} \ Delta K & = m \ left ({\ frac {v^{2}} {2 \ Delta x}} \ right) \ Delta x \ \ & = {\ frac {1} {2}} mv^{2} \ end {zarovnaný}}}
Prečítajte si tiež: Ako riešiť matice?
Otázky a odpovede
- Ako by táto derivácia vyzerala, keby hmotnosť nebola konštantná?Toto je koncept limitu. Hmotnosť nemôže byť nikdy konštantná, ale zmena je veľmi zanedbateľná, a preto má tendenciu sa nemeniť. Nebolo by možné vypočítať, keby hmotnosť nebola konštantná. Teraz to bude závisieť od času, keď sa hmotnosť vypočítava, pretože nie je konštantná.
- Prečo používame nadčasovú rovnicu?Používame nadčasovú rovnicu, pretože vieme, že kinetická energia niečoho by nemala závisieť od času. Použitím tejto rovnice teda môžeme dospieť k odpovedi najjednoduchším možným spôsobom. V opačnom prípade by sme museli nájsť spôsob, ako zrušiť zavedenú časovú premennú.
- Ako vypočítam jednotku únikovej rýchlosti v míľach za sekundu?Úniková rýchlosť (bez ohľadu na trenie vzduchu) z povrchu Zeme je asi 7 míľ za sekundu alebo 25000 míľ za hodinu. Vzhľadom na túto počiatočnú rýchlosť nepotrebuje predmet žiadnu dodatočnú silu, aby úplne unikol gravitácii Zeme.
- Ako vypočítam kinetickú energiu pomocou pohybových rovníc?K = 0,5 mv^2. Môžete vziať akúkoľvek pohybovú rovnicu, vyriešiť pre v a potom nahradiť vo vyššie uvedenej rovnici. Ak by ste uviedli konkrétnu rovnicu, mohol by som poskytnúť väčšiu pomoc.
- Ako vypočítam potenciálnu a kinetickú energiu zahŕňajúcu projektil gule bez danej hmotnosti?Nemôžete, pretože energia je funkciou hmotnosti aj rýchlosti. Ak poznáte rýchlosť, ale nie hmotnosť, môžete ju zmeniť na funkciu hmotnosti, pretože rýchlosť sa stáva konštantou; mohli by ste mať K = 7 m, kde m je hmotnosť. Nezabudnite na svoje jednotky.
