Ako nájsť inverziu matice 3x3?
Ak chcete nájsť inverziu matice 3x3, najskôr vypočítajte determinant matice. Ak je determinant 0, matica nemá žiadnu inverziu. Ďalej transponujte maticu prepísaním prvého riadka ako prvého stĺpca, stredného riadku ako stredného stĺpca a tretieho riadka ako tretieho stĺpca. Nájdite determinant každej z menších matíc 2x2 a potom vytvorte maticu kofaktorov podľa výsledkov predchádzajúceho kroku. Vydeľte každý člen pomocnej matice determinantom, aby ste získali inverznú hodnotu. Ak sa chcete dozvedieť, ako nájsť inverznú funkciu pomocou funkcií na vedeckej kalkulačke, pokračujte v čítaní článku!
Ak chcete nájsť inverziu matice 3x3, najskôr vypočítajte determinant matice.
Inverzné operácie sa v algebre bežne používajú na zjednodušenie toho, čo by inak mohlo byť náročné. Ak napríklad problém vyžaduje delenie zlomkom, môžete ho násobiť jednoduchšie. Ide o inverznú operáciu. Podobne, pretože pre matice neexistuje žiadny operátor delenia, musíte vynásobiť inverznou maticou. Ručný výpočet inverznej hodnoty matice 3x3 je únavná práca, ale stojí za to ju preskúmať. Inverznú hodnotu môžete nájsť aj pomocou pokročilej grafickej kalkulačky.
Metóda 1 z 3: Vytvorenie pomocnej matice na nájdenie inverznej matice
- 1Skontrolujte determinant matice. Ako počiatočný krok musíte vypočítať determinant matice. Ak je determinant 0, vaša práca je dokončená, pretože matica nemá žiadnu inverznú hodnotu. Determinant matice M môže byť reprezentovaný symbolicky ako det (M).
- V prípade matice 3x3 najskôr nájdite determinant
- Ak chcete preskúmať nájdenie determinantu matice, pozrite sa na tému Nájdenie determinantu matice 3x3.
- 2Transponujte pôvodnú maticu. Transpozícia znamená odrážanie matice okolo hlavnej uhlopriečky alebo ekvivalentné prehodenie (i, j) th prvku a (j, i) th. Keď transponujete termíny matice, mali by ste vidieť, že hlavná uhlopriečka (z ľavého horného rohu do pravého dolného rohu) je nezmenená.
- Ďalší spôsob uvažovania o transpozícii je ten, že prvý riadok prepíšete ako prvý stĺpec, stredný riadok sa stane stredným stĺpcom a tretí riadok sa stane tretím stĺpcom. Všimnite si farebné prvky na obrázku vyššie a zistite, kde sa čísla zmenili.
- 3Nájdite determinant každej z 2x2 menších matíc. Každá položka novo transponovanej matice 3x3 je priradená k zodpovedajúcej 2x2 „vedľajšej“ matici. Ak chcete nájsť správnu vedľajšiu maticu pre každý výraz, najskôr zvýraznite riadok a stĺpec výrazu, s ktorým začínate. Malo by to zahŕňať päť pojmov matice. Zostávajúce štyri výrazy tvoria vedľajšiu maticu.
- V prípade uvedenom vyššie, ak chcete vedľajšiu maticu výrazu v druhom riadku, prvom stĺpci, zvýraznite päť výrazov, ktoré sú v druhom riadku a prvom stĺpci. Zostávajúce štyri výrazy sú zodpovedajúcou vedľajšou maticou.
- Nájdite determinant každej menšej matice krížovým vynásobením uhlopriečok a odčítaním, ako je znázornené.
- Viac informácií o menších maticiach a ich použití nájdete v časti Pochopenie základov matíc.
- 4Vytvorte maticu kofaktorov. Výsledky z predchádzajúceho kroku umiestnite do novej matice kofaktorov zarovnaním každého determinantu vedľajšej matice so zodpovedajúcou pozíciou v pôvodnej matici. Determinant, ktorý ste vypočítali z položky (11) pôvodnej matice, teda prejde do polohy (11). Potom musíte obrátiť znamienko striedajúcich sa výrazov tejto novej matice podľa zobrazeného vzoru „šachovnice“.
- Pri prideľovaní znakov si prvý prvok prvého radu zachováva pôvodné znamienko. Druhý prvok je obrátený. Tretí prvok si zachováva svoje pôvodné znamenie. Pokračujte týmto spôsobom so zvyškom matice. Upozorňujeme, že znamienka (+) alebo (-) v šachovnicovom diagrame nenaznačujú, že by konečný výraz mal byť kladný alebo záporný. Sú to ukazovatele zachovania (+) alebo obrátenia (-) akéhokoľvek znaku, ktorý číslo pôvodne malo.
- Prehľad kofaktorov nájdete v časti Pochopenie základov matíc.
- Konečný výsledok tohto kroku sa nazýva pomocná matica originálu. Niekedy sa to nazýva aj pomocná matica. Matica adjugátu je označená ako Adj (M).
- 5Rozdeľte každý člen matice pomocných látok determinantom. Pripomeňte si determinant M, ktorý ste vypočítali v prvom kroku (aby ste skontrolovali, či je možná inverzná funkcia). Teraz vydeľte každý člen matice touto hodnotou. Výsledok každého výpočtu umiestnite na miesto pôvodného výrazu. Výsledkom je inverzná funkcia k pôvodnej matici.
- Pre maticu vzorky ukázanú na diagrame je determinant 1. Preto delenie každého pojmu matice pomocnej matice má za následok samotnú maticu pomocných látok. (Nie vždy budete mať také šťastie.)
- Niektoré zdroje namiesto delenia predstavujú tento krok ako vynásobenie každého členu M hodnotou 1/det (M). Matematicky sú tieto ekvivalenty.
Ak chcete preskúmať nájdenie determinantu matice, pozrite sa na tému Nájdenie determinantu matice 3x3.
Metóda 2 z 3: Použitie lineárnej redukcie riadkov na nájdenie inverznej matice
- 1Pripojte maticu identity k pôvodnej matici. Napíšte pôvodnú maticu M, napravo od nej nakreslite zvislú čiaru a potom napravo napíšte maticu identity. Teraz by ste mali mať to, čo sa javí ako matica s tromi radmi po šiestich stĺpcoch.
- Pripomeňme, že matica identity je špeciálna matica s 1 s v každej polohe hlavnej uhlopriečky od ľavého horného rohu do pravého dolného rohu a 0 s vo všetkých ostatných polohách. Prehľad matice identity a jej vlastností nájdete v časti Pochopenie základov matíc.
- 2Vykonajte operácie lineárneho zmenšovania. Vaším cieľom je vytvoriť maticu identity na ľavej strane tejto novo rozšírenej matice. Pri vykonávaní krokov na zníženie riadkov vľavo musíte dôsledne vykonávať rovnaké operácie vpravo, ktoré začali ako vaša matica identity.
- Pamätajte si, že zmenšovanie riadkov sa vykonáva ako kombinácia skalárneho násobenia a sčítania alebo odčítania riadkov, aby sa izolovali jednotlivé pojmy matice. Úplnejší prehľad nájdete v téme Matice na zníženie počtu riadkov.
- 3Pokračujte, kým nevytvoríte maticu identity. Udržujte opakovanie lineárnych operácií redukujúcich riadok do ľavej časti rozšírenými displejov matrice matice identity (diagonálne 1S, s ďalšími podmienkami 0). Keď dosiahnete tento bod, pravá strana vášho vertikálneho rozdeľovača bude inverzná k vašej pôvodnej matici.
- 4Napíšte inverznú maticu. Skopírujte prvky, ktoré sa teraz zobrazujú na pravej strane zvislého oddeľovača, ako inverznú maticu.
Ako môžem vytvoriť maticu 3x3 bez zlomkov v pôvodnej a inverznej forme?
Metóda 3 z 3: Použitie kalkulačky na nájdenie inverznej matice
- 1Vyberte kalkulačku s možnosťami matice. Jednoduché 4-funkčné kalkulačky vám nepomôžu priamo nájsť inverznú hodnotu. Vzhľadom na opakujúcu sa povahu výpočtov však pokročilá grafická kalkulačka, ako napríklad Texas Instruments TI-83 alebo TI-86, môže prácu výrazne obmedziť.
- 2Zadajte svoju maticu do kalkulačky. Najprv zadajte funkciu matice kalkulačky stlačením klávesu Matrix, ak ho máte. Na kalkulačkách Texas Instruments budete možno musieť stlačiť 2. maticu.
- 3Vyberte podponuku úprav. V závislosti od rozloženia kalkulačky budete musieť na vstup do podponuky použiť tlačidlá so šípkami alebo zvoliť príslušné funkčné tlačidlo v hornej časti klávesnice kalkulačky.
- 4Vyberte názov matice. Väčšina kalkulačiek je vybavená tak, aby pracovala s kdekoľvek od 3 do 10 matíc, označených písmenami A až J. Typicky stačí zvoliť [A], s ktorým chcete pracovať. Po výbere stlačte kláves Enter.
- 5Zadajte rozmery svojej matice. Tento článok sa zameriava na matice 3x3. Kalkulačka si však poradí s väčšími veľkosťami. Zadajte počet riadkov, potom stlačte kláves Enter, potom počet stĺpcov a kláves Enter.
- 6Zadajte každý prvok matice. Na obrazovke kalkulačky sa zobrazí matica. Ak ste predtým pracovali s funkciou matice, predchádzajúca matica sa zobrazí na obrazovke. Kurzor zvýrazní prvý prvok matice. Zadajte hodnotu matice, ktorú chcete vyriešiť, a potom stlačte kláves Enter. Kurzor sa automaticky presunie na ďalší prvok matice a prepíše všetky predchádzajúce čísla.
- Ak chcete zadať záporné číslo, použite záporné tlačidlo (-) na kalkulačke, nie kláves mínus. Maticová funkcia nebude správne čítať číslo.
- V prípade potreby môžete pomocou klávesov so šípkami na kalkulačke preskakovať po matici.
- 7Ukončite funkciu matice. Potom, čo ste zadali všetky hodnoty matice, stlačte kláves Quit (alebo 2. príkaz Quit, ak je to potrebné). Tým sa opustíte funkciu Matrix a vrátite sa na hlavnú obrazovku kalkulačky.
- 8Pomocou inverzného kľúča nájdite inverznú maticu. Najprv znova otvorte funkciu Matrix a pomocou tlačidla Mená vyberte štítok matice, ktorý ste použili na definovanie matice (pravdepodobne [A]). Potom stlačte inverzné tlačidlo kalkulačky, x − 1 {\ displaystyle x^{-1}}
. V závislosti od kalkulačky to môže vyžadovať použitie 2. tlačidla. Na obrazovke by sa malo zobrazovať A − 1 {\ displaystyle A^{-1}} . Stlačte Enter a na vašej obrazovke by sa mala objaviť inverzná matica.
- Nepoužívajte tlačidlo ^ na kalkulačke na to, aby ste sa pokúšali zadávať A ^ -1 ako samostatné klávesové skratky. Kalkulačka tejto operácii nerozumie.
- Ak sa po zadaní inverzného kľúča zobrazí chybové hlásenie, je pravdepodobné, že pôvodná matica nemá inverzný kód. Možno sa budete chcieť vrátiť a vypočítať determinant, aby ste to zistili.
- 9Premeňte svoju inverznú maticu na presné odpovede. Prvý výpočet, ktorý vám kalkulačka poskytne, je v desatinnej forme. Vo väčšine prípadov sa to nepovažuje za „presné“. Desatinné odpovede by ste mali podľa potreby previesť na zlomkovú formu. (Ak máte veľké šťastie, všetky vaše výsledky budú celé čísla, ale to je zriedkavé.)
- Vaša kalkulačka má pravdepodobne funkciu, ktorá automaticky prevedie desatinné miesta na zlomky. Napríklad pomocou TI-86 zadajte funkciu Math, potom vyberte položku Misc, potom Frac a Enter. Desatinné miesta sa automaticky zobrazia ako zlomky.
- 10Väčšina grafických kalkulačiek má aj klávesy so hranatou zátvorkou (na ti -84 je to 2. + x a 2. + -), pomocou ktorých je možné písať do matice bez použitia funkcie matice. Poznámka: Kalkulačka bude maticu formátovať až po použití klávesu enter/equals (tj. Všetko bude jeden riadok a nebude pekné).
Výsledky z predchádzajúceho kroku vložte do novej matice kofaktorov zarovnaním každého determinantu vedľajšej matice so zodpovedajúcou pozíciou v pôvodnej matici.
- Nasledujúcim spôsobom môžete nájsť inverznú hodnotu matice, ktorá obsahuje nielen čísla, ale aj premenné, neznáme alebo dokonca algebraické výrazy.
- Bez ohľadu na to, ktorú metódu zvolíte, skontrolujte, či je váš výsledok presný, vynásobením M hodnotou M -1. Mali by ste byť schopní overiť, že M *M -1 = M -1 *M = I. I je matica identity, ktorá sa skladá z 1 s pozdĺž hlavnej uhlopriečky a 0 s inde. Ak nie, niekde ste urobili chybu.
- Zapíšte si všetky svoje kroky, pretože je veľmi ťažké nájsť v hlave inverznú maticu 3x3.
- Existujú počítačové programy, ktoré pre vás vypočítajú inverzné matice až do veľkosti matíc 30 x 30.
- Nie všetky matice 3x3 majú inverzné hodnoty. Ak je determinant matice rovný 0, potom nemá inverznú hodnotu. (Všimnite si, že vo vzorci delíme det (M). Delenie nulou nie je definované.)
Prečítajte si tiež: Ako pozorovať experiment s fotosyntézou?
Otázky a odpovede
- Existujú nejaké skratky na nájdenie inverznej hodnoty matice 3x3?Metódy uvedené v článku sú, bohužiaľ, také jednoduché; môžete vykonávať cvičenia a vytvárať si vlastné matice 3x3, aby ste našli opak, aby ste si zapamätali kroky.
- Ako by som vedel, že inverzná matica neexistuje?Transformovali by ste svoju maticu do tvaru riadkového sledu. Akonáhle to urobíte, uvidíte, že ak je matica dokonalou maticou identity, potom existuje inverzia. V opačnom prípade nie.
- Čo je matica?Matica je zovšeobecnenie vektora.
- Je nevyhnutné, aby A = IA pre operáciu elementárnych riadkov, alebo ho možno zapísať ako A = AI?A = AI je zapísaná pre elementárnu operáciu stĺpcov, ale elementárna riadková operácia je vždy zapísaná A = IA.
- Ako môžem vytvoriť maticu 3x3 bez zlomkov v pôvodnej a inverznej forme?Vytvorte maticu 3 x 3, ktorej determinantom je 1 a ktorej prvky sú celé čísla. Priradená inverzná matica bude mať tiež iba celočíselné prvky.
- Môžem vynásobiť riadok v matici -1?Áno, riadok v matici môžete vynásobiť -1, pokiaľ znásobíte všetky čísla v rade.
- Ako vyhodnotím inverznú hodnotu matice {1 2 -4} {0 -2 3} {5 0 4}?Nájdite determinant a potom určte kofaktorovú maticu. Nájdite adj kofaktorovej matice a potom rozdeľte každý výraz determinantom.
- Môžete mi prosím pomôcť nájsť odpoveď na tento problém? "Inverz matice 3x3 | (1 & 1 & 0@1 & 1 & 1@0 & 2 & 1) |"Postupujte podľa krokov; váš determinant by mal byť -2 a vaša matica kofaktorov by mala byť (-1 & 1 & 1@1 & 1 & 1@2 & 2 & 0). Odtiaľ naneste maticu +- a potom vydelte determinantom.
Nezodpovedané otázky
- Môžem vyriešiť rovnice so zlomkami pomocou Cramerovho pravidla?
- Ako nájdem konkrétne čísla v matici 3x3?
Komentáre (26)
- Diagramy boli veľkým pomocníkom pri porozumení. Použitie rôznych farieb bolo dobrým spôsobom, ako túto myšlienku jasne vidieť.
- Ľahký jazyk a pokorné vyučovanie!
- Naozaj mi to pomáha pri zajtrajšej záverečnej skúške. Nech vás Boh žehná za tento článok.
- Fotografie boli tak zrozumiteľné a názorne zobrazené.
- Obrázky veľmi pomohli.
- Kroky boli jasné a priame.
- Je to jednoduché, jednoduché a ľahké.
- Metóda je zrozumiteľná a skutočne obsahuje prvok logiky.
- Pomohlo mi hlavne so vzorcom M^-1. Vďaka.
- Proste to pomohlo.
- Teraz už konečne viem, ako nájsť inverznú hodnotu!
- Nemohol som si spomenúť, čo ma môj stredoškolský učiteľ naučil nájsť inverznú hodnotu matice 3x3, a tak som to dostal od vás. Ďakujem.
- Stačí skontrolovať, či som metóde dobre porozumel a ktorá cesta môže byť rýchlejšia.
- Ďakujem pekne za podrobnú metódu, ktorú ste použili na vyriešenie problému. Uľahčil si mi život.
- Je to dobre vysvetlené.
- Veľmi dobrý článok. Som velmi spokojna Mnohokrat dakujem!
- Kroky je ľahké vykonať, najmä v uvedenom príklade.
- Nevedel som nájsť inverzný. Ale to je teraz všetko v mojej minulosti.
- Pomohla transpozícia a spôsob, ako nájsť inverziu pomocou spôsobu vložky.
- Pomohlo mi to v koncepte Hill Cipher Algorithm.
- Tento článok mi skutočne pomohol. Ďakujem ti veľmi pekne!
- Bolo to veľmi nápomocné.
- Ďakujem mnohokrát. Tento článok je oveľa prehľadnejší ako ostatné články. Ľahko som našiel kroky na zistenie inverznej matice.
- Pomohlo mi to zapamätať si, ako nájsť maticu 3x3.
- Štúdium na CSET v matematike a musím preskúmať matice. Žiadna kalkulačka, ale vďaka takýmto podrobným stránkam to chápem. Vďaka.
- Skvelé obrázky, rozdelené na kroky. Ľahko sledovateľné.
