Ako nájsť inverziu matice 3x3?

Ak chcete nájsť inverziu matice 3x3, najskôr vypočítajte determinant matice.

Inverzné operácie sa v algebre bežne používajú na zjednodušenie toho, čo by inak mohlo byť náročné. Ak napríklad problém vyžaduje delenie zlomkom, môžete ho násobiť jednoduchšie. Ide o inverznú operáciu. Podobne, pretože pre matice neexistuje žiadny operátor delenia, musíte vynásobiť inverznou maticou. Ručný výpočet inverznej hodnoty matice 3x3 je únavná práca, ale stojí za to ju preskúmať. Inverznú hodnotu môžete nájsť aj pomocou pokročilej grafickej kalkulačky.

Metóda 1 z 3: Vytvorenie pomocnej matice na nájdenie inverznej matice

1
Skontrolujte determinant matice. Ako počiatočný krok musíte vypočítať determinant matice. Ak je determinant 0, vaša práca je dokončená, pretože matica nemá žiadnu inverznú hodnotu. Determinant matice M môže byť reprezentovaný symbolicky ako det (M).
- V prípade matice 3x3 najskôr nájdite determinant
- Ak chcete preskúmať nájdenie determinantu matice, pozrite sa na tému Nájdenie determinantu matice 3x3.
2
Transponujte pôvodnú maticu. Transpozícia znamená odrážanie matice okolo hlavnej uhlopriečky alebo ekvivalentné prehodenie (i, j) th prvku a (j, i) th. Keď transponujete termíny matice, mali by ste vidieť, že hlavná uhlopriečka (z ľavého horného rohu do pravého dolného rohu) je nezmenená.
- Ďalší spôsob uvažovania o transpozícii je ten, že prvý riadok prepíšete ako prvý stĺpec, stredný riadok sa stane stredným stĺpcom a tretí riadok sa stane tretím stĺpcom. Všimnite si farebné prvky na obrázku vyššie a zistite, kde sa čísla zmenili.
3
Nájdite determinant každej z 2x2 menších matíc. Každá položka novo transponovanej matice 3x3 je priradená k zodpovedajúcej 2x2 „vedľajšej“ matici. Ak chcete nájsť správnu vedľajšiu maticu pre každý výraz, najskôr zvýraznite riadok a stĺpec výrazu, s ktorým začínate. Malo by to zahŕňať päť pojmov matice. Zostávajúce štyri výrazy tvoria vedľajšiu maticu.
- V prípade uvedenom vyššie, ak chcete vedľajšiu maticu výrazu v druhom riadku, prvom stĺpci, zvýraznite päť výrazov, ktoré sú v druhom riadku a prvom stĺpci. Zostávajúce štyri výrazy sú zodpovedajúcou vedľajšou maticou.
- Nájdite determinant každej menšej matice krížovým vynásobením uhlopriečok a odčítaním, ako je znázornené.
- Viac informácií o menších maticiach a ich použití nájdete v časti Pochopenie základov matíc.
4
Vytvorte maticu kofaktorov. Výsledky z predchádzajúceho kroku umiestnite do novej matice kofaktorov zarovnaním každého determinantu vedľajšej matice so zodpovedajúcou pozíciou v pôvodnej matici. Determinant, ktorý ste vypočítali z položky (11) pôvodnej matice, teda prejde do polohy (11). Potom musíte obrátiť znamienko striedajúcich sa výrazov tejto novej matice podľa zobrazeného vzoru „šachovnice“.
- Pri prideľovaní znakov si prvý prvok prvého radu zachováva pôvodné znamienko. Druhý prvok je obrátený. Tretí prvok si zachováva svoje pôvodné znamenie. Pokračujte týmto spôsobom so zvyškom matice. Upozorňujeme, že znamienka (+) alebo (-) v šachovnicovom diagrame nenaznačujú, že by konečný výraz mal byť kladný alebo záporný. Sú to ukazovatele zachovania (+) alebo obrátenia (-) akéhokoľvek znaku, ktorý číslo pôvodne malo.
- Prehľad kofaktorov nájdete v časti Pochopenie základov matíc.
- Konečný výsledok tohto kroku sa nazýva pomocná matica originálu. Niekedy sa to nazýva aj pomocná matica. Matica adjugátu je označená ako Adj (M).
5
Rozdeľte každý člen matice pomocných látok determinantom. Pripomeňte si determinant M, ktorý ste vypočítali v prvom kroku (aby ste skontrolovali, či je možná inverzná funkcia). Teraz vydeľte každý člen matice touto hodnotou. Výsledok každého výpočtu umiestnite na miesto pôvodného výrazu. Výsledkom je inverzná funkcia k pôvodnej matici.
- Pre maticu vzorky ukázanú na diagrame je determinant 1. Preto delenie každého pojmu matice pomocnej matice má za následok samotnú maticu pomocných látok. (Nie vždy budete mať také šťastie.)
- Niektoré zdroje namiesto delenia predstavujú tento krok ako vynásobenie každého členu M hodnotou 1/det (M). Matematicky sú tieto ekvivalenty.

Pozrite sa na tému Nájdenie determinantu matice 3x3 — Ak chcete preskúmať nájdenie determinantu matice, pozrite sa na tému Nájdenie determinantu matice 3x3.

Metóda 2 z 3: Použitie lineárnej redukcie riadkov na nájdenie inverznej matice

1
Pripojte maticu identity k pôvodnej matici. Napíšte pôvodnú maticu M, napravo od nej nakreslite zvislú čiaru a potom napravo napíšte maticu identity. Teraz by ste mali mať to, čo sa javí ako matica s tromi radmi po šiestich stĺpcoch.
- Pripomeňme, že matica identity je špeciálna matica s 1 s v každej polohe hlavnej uhlopriečky od ľavého horného rohu do pravého dolného rohu a 0 s vo všetkých ostatných polohách. Prehľad matice identity a jej vlastností nájdete v časti Pochopenie základov matíc.
2
Vykonajte operácie lineárneho zmenšovania. Vaším cieľom je vytvoriť maticu identity na ľavej strane tejto novo rozšírenej matice. Pri vykonávaní krokov na zníženie riadkov vľavo musíte dôsledne vykonávať rovnaké operácie vpravo, ktoré začali ako vaša matica identity.
- Pamätajte si, že zmenšovanie riadkov sa vykonáva ako kombinácia skalárneho násobenia a sčítania alebo odčítania riadkov, aby sa izolovali jednotlivé pojmy matice. Úplnejší prehľad nájdete v téme Matice na zníženie počtu riadkov.
3

Pokračujte, kým nevytvoríte maticu identity. Udržujte opakovanie lineárnych operácií redukujúcich riadok do ľavej časti rozšírenými displejov matrice matice identity (diagonálne 1S, s ďalšími podmienkami 0). Keď dosiahnete tento bod, pravá strana vášho vertikálneho rozdeľovača bude inverzná k vašej pôvodnej matici.
4

Napíšte inverznú maticu. Skopírujte prvky, ktoré sa teraz zobrazujú na pravej strane zvislého oddeľovača, ako inverznú maticu.

Ako môžem vytvoriť maticu 3x3 bez zlomkov v pôvodnej a inverznej forme?

Metóda 3 z 3: Použitie kalkulačky na nájdenie inverznej matice

1

Vyberte kalkulačku s možnosťami matice. Jednoduché 4-funkčné kalkulačky vám nepomôžu priamo nájsť inverznú hodnotu. Vzhľadom na opakujúcu sa povahu výpočtov však pokročilá grafická kalkulačka, ako napríklad Texas Instruments TI-83 alebo TI-86, môže prácu výrazne obmedziť.
2

Zadajte svoju maticu do kalkulačky. Najprv zadajte funkciu matice kalkulačky stlačením klávesu Matrix, ak ho máte. Na kalkulačkách Texas Instruments budete možno musieť stlačiť ^2. maticu.
3

Vyberte podponuku úprav. V závislosti od rozloženia kalkulačky budete musieť na vstup do podponuky použiť tlačidlá so šípkami alebo zvoliť príslušné funkčné tlačidlo v hornej časti klávesnice kalkulačky.
4

Vyberte názov matice. Väčšina kalkulačiek je vybavená tak, aby pracovala s kdekoľvek od 3 do 10 matíc, označených písmenami A až J. Typicky stačí zvoliť [A], s ktorým chcete pracovať. Po výbere stlačte kláves Enter.
5

Zadajte rozmery svojej matice. Tento článok sa zameriava na matice 3x3. Kalkulačka si však poradí s väčšími veľkosťami. Zadajte počet riadkov, potom stlačte kláves Enter, potom počet stĺpcov a kláves Enter.
6
Zadajte každý prvok matice. Na obrazovke kalkulačky sa zobrazí matica. Ak ste predtým pracovali s funkciou matice, predchádzajúca matica sa zobrazí na obrazovke. Kurzor zvýrazní prvý prvok matice. Zadajte hodnotu matice, ktorú chcete vyriešiť, a potom stlačte kláves Enter. Kurzor sa automaticky presunie na ďalší prvok matice a prepíše všetky predchádzajúce čísla.
- Ak chcete zadať záporné číslo, použite záporné tlačidlo (-) na kalkulačke, nie kláves mínus. Maticová funkcia nebude správne čítať číslo.
- V prípade potreby môžete pomocou klávesov so šípkami na kalkulačke preskakovať po matici.
7

Ukončite funkciu matice. Potom, čo ste zadali všetky hodnoty matice, stlačte kláves Quit (alebo 2. ^príkaz Quit, ak je to potrebné). Tým sa opustíte funkciu Matrix a vrátite sa na hlavnú obrazovku kalkulačky.
8
Pomocou inverzného kľúča nájdite inverznú maticu. Najprv znova otvorte funkciu Matrix a pomocou tlačidla Mená vyberte štítok matice, ktorý ste použili na definovanie matice (pravdepodobne [A]). Potom stlačte inverzné tlačidlo kalkulačky, x − 1 {\ displaystyle x^{-1}} . V závislosti od kalkulačky to môže vyžadovať použitie ^2. tlačidla. Na obrazovke by sa malo zobrazovať A − 1 {\ displaystyle A^{-1}} $A^{{-1}}$ . Stlačte Enter a na vašej obrazovke by sa mala objaviť inverzná matica.
- Nepoužívajte tlačidlo ^ na kalkulačke na to, aby ste sa pokúšali zadávať A ^ -1 ako samostatné klávesové skratky. Kalkulačka tejto operácii nerozumie.
- Ak sa po zadaní inverzného kľúča zobrazí chybové hlásenie, je pravdepodobné, že pôvodná matica nemá inverzný kód. Možno sa budete chcieť vrátiť a vypočítať determinant, aby ste to zistili.
9
Premeňte svoju inverznú maticu na presné odpovede. Prvý výpočet, ktorý vám kalkulačka poskytne, je v desatinnej forme. Vo väčšine prípadov sa to nepovažuje za „presné“. Desatinné odpovede by ste mali podľa potreby previesť na zlomkovú formu. (Ak máte veľké šťastie, všetky vaše výsledky budú celé čísla, ale to je zriedkavé.)
- Vaša kalkulačka má pravdepodobne funkciu, ktorá automaticky prevedie desatinné miesta na zlomky. Napríklad pomocou TI-86 zadajte funkciu Math, potom vyberte položku Misc, potom Frac a Enter. Desatinné miesta sa automaticky zobrazia ako zlomky.
10

Väčšina grafických kalkulačiek má aj klávesy so hranatou zátvorkou (na ti -84 je to 2. + x a 2. + -), pomocou ktorých je možné písať do matice bez použitia funkcie matice. Poznámka: Kalkulačka bude maticu formátovať až po použití klávesu enter/equals (tj. Všetko bude jeden riadok a nebude pekné).

Výsledky z predchádzajúceho kroku vložte do novej matice kofaktorov zarovnaním každého determinantu vedľajšej matice so zodpovedajúcou pozíciou v pôvodnej matici.

Tipy

Nasledujúcim spôsobom môžete nájsť inverznú hodnotu matice, ktorá obsahuje nielen čísla, ale aj premenné, neznáme alebo dokonca algebraické výrazy.
Bez ohľadu na to, ktorú metódu zvolíte, skontrolujte, či je váš výsledok presný, vynásobením M hodnotou M ^-1. Mali by ste byť schopní overiť, že M *M ^-1 = M ^-1 *M = I. I je matica identity, ktorá sa skladá z 1 s pozdĺž hlavnej uhlopriečky a 0 s inde. Ak nie, niekde ste urobili chybu.
Zapíšte si všetky svoje kroky, pretože je veľmi ťažké nájsť v hlave inverznú maticu 3x3.
Existujú počítačové programy, ktoré pre vás vypočítajú inverzné matice až do veľkosti matíc 30 x 30.

Varovania

Nie všetky matice 3x3 majú inverzné hodnoty. Ak je determinant matice rovný 0, potom nemá inverznú hodnotu. (Všimnite si, že vo vzorci delíme det (M). Delenie nulou nie je definované.)

Prečítajte si tiež: Ako dokázať, že hrdzavenie prebieha vo vlhkom vzduchu?

Ako nájsť inverziu matice 3x3?

Kroky

Metóda 1 z 3: Vytvorenie pomocnej matice na nájdenie inverznej matice

Metóda 2 z 3: Použitie lineárnej redukcie riadkov na nájdenie inverznej matice

Metóda 3 z 3: Použitie kalkulačky na nájdenie inverznej matice

Tipy

Varovania

Otázky a odpovede

Komentáre (26)

Prečítajte si tiež: