Ako nájsť determinant matice 3X3?

Vzorec pre determinant je pre každú maticu odlišný, ale pre 3x3 je veľmi ťažké napísať ho.

Determinant matice sa často používa v kalkule, lineárnej algebre a rozšírenej geometrii. Nájdenie determinantu matice môže byť spočiatku mätúce, ale keď to urobíte niekoľkokrát, bude to jednoduchšie.

Časť 1 z 2: nájdenie determinantu

1
Napíšte maticu 3 x 3. Začneme maticou 3 x 3 A a pokúsime sa nájsť jej determinant | A |. Tu je všeobecný zápis matice, ktorý budeme používať, a náš príklad matice:
- $M = {\ begin {pmatrix} a _ {{11}} anda _ {{12}} anda _ {{13}} \\ a _ {{21}} anda _ {{22}} anda _ {{23}} \\ a_ { {31}} anda _ {{32}} anda _ {{33}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1and5and3 \\ 2and4and7 \\ 4and6and2 \ end {pmatrix}}$
2
Vyberte jeden riadok alebo stĺpec. Toto bude referenčný riadok alebo stĺpec. Rovnakú odpoveď dostanete bez ohľadu na to, ktorý si vyberiete. Zatiaľ si vyberte prvý riadok. Neskôr poskytneme niekoľko rád, ako zvoliť najľahšiu možnosť výpočtu.
- Vyberme prvý riadok našej vzorovej matice A. Zakrúžkujte 1 5 3. Obecne povedané, krúžok a ₁₁ a ₁₂ a ₁₃.
3
Prečiarknite riadok a stĺpec prvého prvku. Pozrite sa na riadok alebo stĺpec, ktorý ste zakrúžkovali, a vyberte prvý prvok. Čerpať z línie prostredníctvom svojho riadku a stĺpca. Mali by vám zostať štyri čísla. Budeme s nimi zaobchádzať ako s maticou 2 x 2.
- V našom prípade je náš referenčný riadok 1 5 3. Prvý prvok je v riadku 1 a stĺpci 1. Škrtnite všetky riadky 1 a stĺpce 1. Zostávajúce prvky napíšte ako maticu 2 x 2:
- ~~1 5 3~~
  2 4 1
  4 6 2
Ak sú všetky prvky riadka alebo stĺpca 0, determinant tejto matice je 0.
4
Nájdite determinant matice 2 x 2. Nezabudnite, že matica (abcd) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & d \ end {pmatrix}}}} ${\ begin {pmatrix} aandb \\ candd \ end {pmatrix}}$ má determinant ad - bc. Možno ste sa to naučili nakreslením X cez maticu 2 x 2. Vynásobte dve čísla prepojené \ na X. Potom odpočítajte súčin dvoch čísel spojených na /. Tento vzorec použite na výpočet determinátu matice, ktorú ste práve našli.
- V našom prípade determinant matice ${\ begin {pmatrix} 4and7 \\ 6and2 \ end {pmatrix}}$ = 4 * 2 - 7 * 6 = -34.
- Tento determinant sa nazýva moll prvku, ktorý sme vybrali v našej pôvodnej matici. V tomto prípade sme práve našli maloletú z ₁₁.
5
Odpoveď vynásobte zvoleným prvkom. Pamätajte si, že ste vybrali prvok z referenčného riadka (alebo stĺpca), keď ste sa rozhodli, ktorý riadok a stĺpec sa prečiarkne. Tento prvok vynásobte determinantom, ktorý ste práve vypočítali pre maticu 2x2.
- V našom prípade sme vybrali ₁₁, ktorá mala hodnotu 1. Vynásobte to -34 (determinant 2x2), aby ste dostali 1*-34 = -34.
6
Určte znamienko svojej odpovede. Ďalej svoju odpoveď znásobíte buď 1 alebo -1, aby ste získali kofaktor zvoleného prvku. To, ktoré použijete, závisí od toho, kde bol prvok umiestnený v matici 3x3. Zapamätajte si tento jednoduchý tabuľkový diagram a sledujte, ktorý prvok spôsobuje:
- + - +
  + - +
- Keďže sme vybrali ₁₁ označenú +, vynásobíme číslo +1. (Inými slovami, nechajte to tak.) Odpoveď je stále -34.
- Prípadne môžete nájsť znamienko so vzorcom (-1) ^i+j, kde i a j sú riadky a stĺpce prvku.
7
Tento postup zopakujte pre druhý prvok vo vašom referenčnom riadku alebo stĺpci. Vráťte sa k pôvodnej matici 3x3 s riadkom alebo stĺpcom, ktoré ste predtým zakrúžkovali. Opakujte rovnaký postup s týmto prvkom:
- Prečiarknite riadok a stĺpec tohto prvku. V našom prípade vyberte prvok a ₁₂ (s hodnotou 5). Škrtnite prvý riadok (1 5 3) a druhý stĺpec ${\ begin {pmatrix} 5 \\ 4 \\ 6 \ end {pmatrix}}$ .
- Zaobchádzajte so zvyšnými prvkami ako s maticou 2x2. V našom prípade je matica ${\ begin {pmatrix} 2and7 \\ 4and2 \ end {pmatrix}}$
- Nájdite determinant tejto matice 2x2. Použite vzorec ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)
- Vynásobte zvoleným prvkom matice 3x3. -24 * 5 = -120
- Určte, či sa má vynásobiť -1. Použite tabuľku znakov alebo vzorec (-1) ^ij. Vybrali sme prvok ₁₂, ktorý je - na značkovej schéme. Znak našej odpovede musíme zmeniť: (-1)*(-120) = 120.
Determinant matice sa často používa v kalkule, lineárnej algebre a rozšírenej geometrii.
8
Opakujte s tretím prvkom. Musíte nájsť ešte jedného kofaktora. Vypočítajte i pre tretí výraz vo vašom referenčnom riadku alebo stĺpci. Tu je rýchly prehľad toho, ako by ste vypočítali kofaktor ₁₃ v našom prípade:
- Škrtnutím riadka 1 a stĺpca 3 získate ${\ begin {pmatrix} 2and4 \\ 4and6 \ end {pmatrix}}$
- Jeho determinant je 2*6 - 4*4 = -4.
- Vynásobte prvkom a ₁₃: -4 * 3 = -12.
- Prvok a ₁₃ je na znamienku +, takže odpoveď je -12.
9
Pridajte svoje tri výsledky dohromady. Toto je posledný krok. Vypočítali ste tri kofaktory, jeden pre každý prvok v jednom riadku alebo stĺpci. Sčítajte ich a nájdete determinant matice 3x3.
- V našom prípade je determinant -34 + 120 + -12 = 74.

Časť 2 z 2: uľahčenie problému

1
Vyberte referenciu s najväčším počtom núl. Nezabudnite, že ako referenciu si môžete vybrať ľubovoľný riadok alebo stĺpec. Dostanete rovnakú odpoveď bez ohľadu na to, ktorú si vyberiete. Ak vyberiete riadok alebo stĺpec s nulami, stačí vypočítať kofaktor pre nenulové prvky. Tu je dôvod, prečo:
- Povedzme, že vyberiete riadok 2 s prvkami ₂₁, ₂₂ a ₂₃. Na vyriešenie tohto problému sa pozrieme na tri rôzne matice 2x2. Poďme výzva ne ₂₁, A ₂₂ a A ₂₃.
- Determinant matice 3x3 je ₂₁ | A ₂₁ | - a ₂₂ | A ₂₂ | + a ₂₃ | A ₂₃ |.
- Ak sú výrazy ₂₂ a a ₂₃ obe 0, náš vzorec sa stane ₂₁ | A ₂₁ | - 0*| A ₂₂ | + 0*| A ₂₃ | = a ₂₁ | A ₂₁ | - 0 + 0 = a ₂₁ | A ₂₁ |. Teraz musíme vypočítať iba kofaktor jedného prvku.
2
Na zjednodušenie matice použite sčítanie riadkov. Ak vezmete hodnoty jedného riadka a pridáte ich do iného riadka, determinant matice sa nezmení. To isté platí pre stĺpce. Môžete to urobiť opakovane - alebo pred sčítaním hodnoty vynásobiť konštantou, aby ste v matici získali čo najviac núl. To vám môže ušetriť veľa času.
- Povedzme napríklad, že máte maticu 3 x 3: ${\ begin {pmatrix} 9and-1and2 \\ 3and1and0 \\ 7and5and-2 \ end {pmatrix}}$
- Aby sme zrušili 9 na pozícii a ₁₁, môžeme vynásobiť druhý riadok -3 a výsledok pripočítať k prvému. Nový prvý riadok je [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
- Nová matice je ${\ begin {pmatrix} 0and-4and2 \\ 3and1and0 \\ 7and5and-2 \ end {pmatrix}}$ služieb použiť rovnaký trik sa stĺpy otočiť ₁₂ aj na 0.
Adjoint štvorcovej matice je transpozícia matice Cij (kofaktor pôvodnej matice).
3
Naučte sa skratku pre trojuholníkové matice. V týchto špeciálnych prípadoch je determinant jednoducho súčinom prvkov pozdĺž hlavnej uhlopriečky, od ₁₁ v ľavom hornom rohu po ₃₃ v dolnom pravom rohu. Stále hovoríme o maticiach 3x3, ale „trojuholníkové“ majú špeciálne vzorce nenulových hodnôt:
- Horná trojuholníková matica: Všetky nenulové prvky sú na hlavnej diagonále alebo nad ňou. Všetko nižšie je nula.
- Dolná trojuholníková matica: Všetky nenulové prvky sú na alebo pod hlavnou uhlopriečkou.
- Diagonálna matica: Všetky nenulové prvky sú na hlavnej uhlopriečke. (Podskupina vyššie uvedených.)

Tipy

Ak sú všetky prvky riadka alebo stĺpca 0, determinant tejto matice je 0.
Táto metóda sa rozširuje na štvorcové matice akejkoľvek veľkosti. Napríklad, ak používate to pre 4x4 maticu, vaše "škrtnutím" necháva vás s 3x3 matice, pre ktorú vypočítala na určitý ako je popísané vyššie. Upozorňujeme, že to začína byť ručne veľmi namáhavé!

Prečítajte si tiež: Ako vytvoriť pascalov trojuholník?

Ako nájsť determinant matice 3X3?

Kroky

Časť 1 z 2: nájdenie determinantu

Časť 2 z 2: uľahčenie problému

Tipy

Otázky a odpovede

Komentáre (30)

Prečítajte si tiež: