Ako sčítať alebo odčítať vektory?
Ak potrebujete sčítať alebo odčítať vektory so známymi komponentmi, vyjadrite vektor v premenných. Podľa toho, či je vektor 1, 2 alebo 3-rozmerný, označíte vektor ako x; x a y; alebo x, y a z. Ak chcete pridať 2 vektory, sčítajte všetky súčasti alebo ich odčítajte, ak odčítavate vektory. Napríklad, ak chcete pridať 2-D vektory, stačí pridať obidve x súčasti a obe súčasti y dohromady. Výsledok napíšte ako nový vektor. Pokračujte v čítaní, aby ste sa naučili používať metódu hlava na chvost na sčítanie a odčítanie vektorov!
Ak chcete pridať 2 vektory, sčítajte všetky súčasti alebo ich odčítajte, ak odčítavate vektory.
Mnoho bežných fyzikálnych veličín je často vektormi alebo skalármi. Vektory sú podobné šípkam a pozostávajú z kladnej veľkosti (dĺžky) a dôležitého smeru. na druhej strane skaláry sú len číselné hodnoty, niekedy možno negatívne. Všimnite si toho, že aj keď sú veľkosti vektorov kladné alebo možno nulové, zložky vektorov môžu byť samozrejme záporné, čo naznačuje vektor smerovaný opačne ako súradnicový alebo referenčný smer. Príklady vektorov: sila, rýchlosť, zrýchlenie, posun, hmotnosť, magnetické pole atď. Príklady skalárov: hmotnosť, teplota, rýchlosť, vzdialenosť, energia napätie, elektrický náboj, tlak v kvapaline atď. Zatiaľ čo skaláry je možné pridať priamo ako čísla (napr. 5 kJ práce plus 6 kJ sa rovná 11 kJ; alebo 9 voltov plus mínus 3 volty dáva 6 voltov: +9v plus -3v dáva + 6v), vektory sú na sčítanie alebo odčítanie o niečo komplikovanejšie, aj keď kolineárne vektory sú jednoduché a správajú sa ako sčítanie čísel, ktoré môžu byť záporné. Nižšie nájdete niekoľko spôsobov, ako zvládnuť sčítanie a odčítanie vektorov.
Metóda 1 z 3: sčítanie a odčítanie vektorov so známymi komponentmi
- 1Vyjadrite vektor z hľadiska komponentov v nejakom súradnicovom systéme zvyčajne x, y a možno z v obvyklom 2 alebo 3 dimenzionálnom priestore (vyššia dimenzionalita je možná aj v niektorých matematických situáciách). Tieto súčasti sú zvyčajne vyjadrené zápisom podobným tomu, ktorý sa používa na opis bodov v súradnicovom systéme (napr. <X, y, z> atď.). Ak sú tieto kúsky známe, sčítanie alebo odčítanie vektorov je iba jednoduché sčítanie alebo odčítanie komponentov x, y a z.
- Vektory môžu byť 1, 2 alebo 3-dimenzionálne. Vektory teda môžu mať zložku x, zložku x a y alebo zložku x, y a z.
- Povedzme, že máme dva trojrozmerné vektory, vektor A a vektor B. Tieto vektory môžeme zapísať do komponentov ako A = <Ax, Ay, Az> a B = <Bx, By, Bz>, pričom podľa toho použijeme xyz komponenty.
- 2Ak chcete pridať dva vektory, stačí pridať ich komponenty. Inými slovami, pridajte zložku x prvého vektora k zložke x druhého a podobne pre y a z. Odpovede, ktoré získate pridaním komponentov x, y a z vašich pôvodných vektorov, sú komponenty x, y a z vášho nového vektora.
- Všeobecne platí, že A+b = <Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz>.
- Sčítajme dva vektory A a B. Príklad: A = <5, 9, -10> a B = <17, -3, -2>. A+B = <5+17, 9+-3, -10+-2> alebo <22, 6, -12>.
- 3Ak chcete odčítať dva vektory, odčítajte ich zložky. Všimnite si toho, že odčítanie jedného vektora od iného AB je možné uvažovať o pridaní „reverzu“ tohto druhého A+(-B).
- Všeobecne platí, že Ab = <Ax-Bx, Ay-By, Az-Bz>
- Odpočítajme dva vektory A a B. A = <18, 5, 3> a B = <10, 9, -10>. A-B = <18-10, 5-9, 3-(-10)> alebo <8, -4, 13>.
Ak potrebujete sčítať alebo odčítať vektory so známymi komponentmi, vyjadrite vektor v premenných.
Metóda 2 z 3: Vizuálne sčítanie a odčítanie pomocou metódy hlava - chvost
- 1Vektory reprezentujte vizuálne tak, že ich nakreslíte hlavou a chvostom. Pretože vektory majú veľkosť a smer, sú prirovnané k šípom s chvostom a hlavou a dĺžkou. O vektoroch sa dá povedať, že majú „počiatočný bod“ a „koncový bod“. „Ostrý hrot“ šípky je hlava vektora a „základňa“ šípky je chvost.
- Pri kreslení vektora v mierke musíte dbať na presné meranie a vykreslenie všetkých uhlov. Nesprávne nakreslené uhly povedú k zlým odpovediam.
- 2Ak chcete pridať 2 vektory, nakreslite druhý vektor B tak, aby sa jeho chvost stretol s hlavou prvého A. Toto sa označuje ako spojenie vašich vektorov „od hlavy k chvostu“. Ak pridávate iba dva vektory, to je všetko, čo musíte urobiť, než nájdete výsledný vektor A+B. Vektor B možno bude potrebné posunúť do polohy bez zmeny jeho orientácie, nazýva sa to paralelný transport.
- Poradie, v ktorom sa spojíte s vektormi, nie je dôležité. Vektor A + Vektor B = Vektor B + Vektor A
- 3Ak chcete odčítať, pridajte „negatív“ vektora. Odčítanie vektorov vizuálne je pomerne jednoduché. Jednoducho otočte smer vektora, ale ponechajte jeho veľkosť na rovnakej úrovni a pridajte ho do vektora od hlavy po chvost ako obvykle. Inými slovami, na odčítanie vektora otočte vektor o 180 o a pridajte ho.
- 4Ak sčítate alebo odčítate viac ako dva vektory, spojte všetky ostatné vektory od seba po poradí. V skutočnosti poradie, v ktorom ste pripojili vektorov nezáleží. Túto metódu je možné použiť pre ľubovoľný počet vektorov.
- 5Ak chcete získať výsledok: Nakreslite nový vektor od chvosta prvého vektora po hlavu posledného. Či už sčítate/odčítate dva vektory alebo stovku, vektor tiahnuci sa od pôvodného počiatočného bodu (chvost vášho prvého vektora) po koncový bod vášho konečného pridaného vektora (hlava vášho posledného vektora) je výsledný vektor, alebo súčet všetkých vašich vektorov. Všimnite si toho, že tento vektor je identický s vektorom získaným pridaním zložiek x, y a možno z všetkých vektorov oddelene.
- Ak ste nakreslili všetky svoje vektory na mierku a presne zmerali všetky uhly, veľkosť výsledného vektora nájdete tak, že zmeriate jeho dĺžku. Môžete tiež zmerať uhol, ktorý výsledník zviera, buď so zadaným vektorom, alebo s horizontálnym/vertikálnym, atď., Aby ste našli jeho smer.
- Ak ste nevykreslili všetky vektory v mierke, pravdepodobne budete musieť vypočítať veľkosť výslednice pomocou goniometrie. Tu môže byť nápomocné pravidlo Sínus a Kosínus. Ak sčítavate viac ako dva vektory, je vhodné najskôr pridať dva, potom ich výsledné číslo pridať k tretiemu vektoru atď. Ďalšie informácie nájdete v nasledujúcej časti.
- 6Reprezentujte svoj výsledný vektor prostredníctvom jeho veľkosti a smeru. Vektory sú definované ich dĺžkou a smerom. Ako je uvedené vyššie, za predpokladu, že ste nakreslili svoje vektory presne, veľkosť vášho nového vektora je jeho dĺžka a jeho smer je jeho uhol vzhľadom na zvislý, vodorovný atď. Na výber jednotiek pre výsledné vektory použite jednotky pridaných alebo odčítaných vektorov. rozsah.
- Ak napríklad vektory, ktoré sme pridali, predstavovali rýchlosti v ms -1, mohli by sme náš výsledný vektor definovať ako „rýchlosť x ms -1 pri y o horizontále“.
Napríklad, ak chcete pridať 2-D vektory, stačí pridať obidve x súčasti a obe y súčasti.
Metóda 3 z 3: sčítanie a odčítanie vektorov vyhľadaním komponentov
- 1Na nájdenie komponentov vektora použite trigonometriu. Na nájdenie komponentov vektora je zvyčajne potrebné poznať jeho veľkosť a smer vzhľadom na horizontálu alebo vertikálu a mať dostatočné znalosti o trigonometrii. Vezmite najskôr 2-D vektor: nastavte alebo si predstavte svoj vektor ako preponu pravouhlého trojuholníka, ktorého ďalšie dve strany sú rovnobežné s osami x a y. Tieto dve strany môžu byť myslené ako komponentné vektory od hlavy k chvostu, ktoré pridávajú k vytvoreniu vášho pôvodného vektora.
- Dĺžky oboch strán sú rovnaké ako veľkosti zložiek x a y vášho vektora a je ich možné vypočítať pomocou trigonometrie. Ak x je veľkosť vektora, strana susediaca s uhlom vektora (vzhľadom na horizontálny, vertikálny atď.) Je xcos (θ), zatiaľ čo opačná strana je xsin (θ).
- Je tiež dôležité poznamenať si smer vašich komponentov. Ak komponent smeruje do záporného smeru jednej z vašich osí, je mu priradené záporné znamienko. Napríklad v 2-D rovine, ak komponent smeruje doľava alebo nadol, je mu priradené záporné znamienko.
- Povedzme napríklad, že máme vektor s magnitúdou 3 a smerom 135 o vzhľadom na horizontálu. Na základe týchto informácií môžeme určiť, že jeho zložka x je 3cos (135) = -2,12 a jeho zložka y je 3sin (135) = 2,12
- 2Sčítajte alebo odčítajte dva alebo viac zodpovedajúcich komponentov vektora. Akonáhle nájdete zložky všetkých vašich vektorov, jednoducho sčítajte ich veľkosti a nájdite zložky svojho výsledného vektora. Najprv spojte všetky veľkosti horizontálnych komponentov (rovnobežných s osou x). Samostatne pridajte všetky veľkosti zvislých komponentov (rovnobežných s osou y). Ak má komponent záporné znamienko (-), jeho veľkosť sa odpočíta, nie pridá. Odpovede, ktoré získate, sú zložkami vášho výsledného vektora.
- Povedzme napríklad, že náš vektor z predchádzajúceho kroku <-2,12, 2,12> sa pridáva do vektora <5,78, -9>. V tomto prípade by náš výsledný vektor bol <-2,12+5,78, 2,12-9> alebo <3,66, -6,88>.
- 3Vypočítajte veľkosť výsledného vektora pomocou Pytagorovej vety. Pytagorova veta, c 2 = a 2 + b 2, rieši pre bočné dĺžky o pravouhlé trojuholníky. Pretože trojuholník tvorený naším výsledným vektorom a jeho súčasťami je pravouhlý trojuholník, môžeme ho použiť na nájdenie dĺžky nášho vektora a tým aj jeho veľkosti. S c ako veľkosť výsledného vektora, pre ktorý riešite, nastavte a ako veľkosť jeho zložky x a b ako veľkosť jeho komponentov y. Riešiť pomocou algebry.
- Na nájdenie veľkosti vektora, ktorého zložky sme našli v predchádzajúcom kroku, <3,66, -6,88>, použime Pytagorovu vetu. Vyriešte nasledovne:
- c 2 = (3,66) 2 +(-6,88) 2
- c 2 = 13,40+47,33
- c = √ 60,73 = 7,79
- Na nájdenie veľkosti vektora, ktorého zložky sme našli v predchádzajúcom kroku, <3,66, -6,88>, použime Pytagorovu vetu. Vyriešte nasledovne:
- 4Vypočítajte smer výslednice pomocou dotykovej funkcie. Nakoniec nájdite smer výsledného vektora. Použite vzorec θ = tan -1 (b/a), kde θ je uhol, ktorý výsledník zviera s osou x alebo horizontálou, b je veľkosť zložky y a a je veľkosť zložky x.
- Na nájdenie smeru nášho vzorového vektora použijeme θ = tan -1 (b/a).
- θ = tan -1 (-6,82,67,66)
- θ = tan -1 (-1,88)
- θ = -61,99 o
- Na nájdenie smeru nášho vzorového vektora použijeme θ = tan -1 (b/a).
- 5Reprezentujte svoj výsledný vektor prostredníctvom jeho veľkosti a smeru. Ako je uvedené vyššie, vektory sú definované svojou veľkosťou a smerom. Uistite sa, že pre veľkosť vektora používate správne jednotky.
- Ak napríklad náš príkladový vektor predstavoval silu (v Newtonoch), potom by sme ho mohli zapísať ako „silu 7,79 N pri -61,99 o k horizontále“.
Odpovede, ktoré získate pridaním komponentov x, y a z vašich pôvodných vektorov, sú komponenty x, y a z vášho nového vektora.
- Stĺpcové vektory je možné sčítať alebo odčítať jednoduchým pripočítaním alebo odčítaním hodnôt v každom riadku.
- Vektory reprezentované v tvare x i + y j + z k je možné sčítať alebo odčítať jednoduchým pripočítaním alebo odčítaním koeficientov troch jednotkových vektorov. Odpoveď bude tiež vo forme i, j, k.
- Vektory si nemožno zamieňať s veličinami.
- Veľkosť vektora nájdete v troch dimenziách pomocou vzorca a 2 = b 2 +c 2 +d 2, kde a je veľkosť vektora a b, c a d sú zložky v každom smere.
- Vektory v rovnakom smere je možné sčítať alebo odčítať pridaním alebo odčítaním ich veličín. Ak sčítate dva vektory v opačných smeroch, ich veľkosti sa odpočítajú, nie sčítajú.
Prečítajte si tiež: Ako študovať kinetiku chemických reakcií?
Otázky a odpovede
- Myslel som si, že jedným z procesov pridávania vektorov je krížové násobenie?Krížový výrobok je typom násobenia, nie sčítania, ktoré sa týka tohto článku.
- Ako môžem nájsť výslednicu, ak nie sú uvedené uhly a sú uvedené iba veľkosti?Ak sú to vektory a nemáte žiadne ďalšie informácie o ich smere, nemôžete! Pretože nepoznáte uhly (alebo relatívne vzájomné zarovnanie) medzi nimi, je možné, že sa vektory môžu presne zoradiť (v takom prípade má výsledná hodnota veľkosť rovnajúcu sa súčtu ich veličín), alebo môžu smerovať opačne. smery (v takom prípade má výslednica veľkosť rovnajúcu sa rozdielu medzi ich veľkosťami) alebo kdekoľvek medzi nimi. Ak ste dostali takýto problém, nie je to úplne špecifikované.
- Ako môžem pridať šesť alebo viac ako šesť vektorov?Pridanie n vektorov je jednoduché, pretože vektory sa riadia princípom superpozície. Jednoducho pridajte ich komponenty.
- Ak chcete odčítať vektor metódou hlava - chvost, zmením v rovnici iba prvý vektor alebo oba?Len druhý. Používate ab = a + (-b), aby ste na a a (-b) mohli použiť doplnkovú verziu metódy hlava-chvost. Tu je a nezmenené a (-b) je rovnaký vektor ako b, ibaže jeho hlava a chvost sú prehodené.
- Po zmene druhého smeru vektora potom sčítam tieto dve zložky alebo ich odčítam?Ak ste obrátili druhý vektor, môžete teraz pridať komponenty prvého vektora a obráteného druhého vektora, aby ste získali rozdiel. Je to podobné tomu, ako je pridanie záporného čísla rovnaké ako odčítanie kladnej verzie tohto čísla, napr. 2 - 1 = 2 + (-1) = 1.
Komentáre (3)
- Obrázky sú viac než nápomocné a veľmi jasne prinášajú zmysel pre presne tie informácie, ktoré potrebujete.
- Hladké vysvetlenie ho urobilo ľahko zrozumiteľným.
- Veľmi užitočné pri riešení vektorov.
