Ako nájsť súčet aritmetickej postupnosti?

Aký je súčet prvého 10 — Ak je tretia aritmetická postupnosť -12 a siedma aritmetická postupnosť 8, aký je súčet prvého 10. členu?

Aritmetická postupnosť je séria čísel, v ktorých sa každý výraz zvyšuje o konštantnú hodnotu. Ak chcete čísla zhrnúť do aritmetickej postupnosti, všetky čísla môžete sčítať ručne. To je však nepraktické, keď sekvencia obsahuje veľké množstvo čísel. Namiesto toho môžete rýchlo nájsť súčet ľubovoľnej aritmetickej postupnosti vynásobením priemeru prvého a posledného výrazu počtom výrazov v sekvencii.

Časť 1 z 3: posúdenie vašej sekvencie

1
Uistite sa, že máte aritmetickú postupnosť. Aritmetická postupnosť je usporiadaná séria čísel, v ktorej je zmena čísel konštantná. Táto metóda funguje iba vtedy, ak je vaša množina čísel aritmetickou postupnosťou.
- Ak chcete zistiť, či máte aritmetickú postupnosť, nájdite rozdiel medzi niekoľkými prvými a poslednými číslami. Zaistite, aby bol rozdiel vždy rovnaký.
- Napríklad séria 10, 15, 20, 25, 30 je aritmetická postupnosť, pretože rozdiel medzi každým výrazom je konštantný (5).
2
Identifikujte počet výrazov vo svojej sekvencii. Každé číslo je termín. Ak je v zozname uvedených iba niekoľko výrazov, môžete ich spočítať. V opačnom prípade, ak poznáte prvý výraz, posledný výraz a spoločný rozdiel (rozdiel medzi každým výrazom), môžete na nájdenie počtu výrazov použiť vzorec. Nech je toto číslo reprezentované premennou n {\ displaystyle n} $N.$ .
- Ak napríklad počítate súčet postupnosti 10, 15, 20, 25, 30, $N = 5$ , pretože v sekvencii je 5 výrazov.
Ak chcete nájsť súčet aritmetickej postupnosti, začnite identifikáciou prvého a posledného čísla v sekvencii.
3
Identifikujte prvý a posledný výraz v poradí. Na výpočet súčtu aritmetickej postupnosti potrebujete vedieť obe tieto čísla. Prvé čísla budú často 1, ale nie vždy. Nech sa premenná a1 {\ displaystyle a_ {1}} $A _ {{1}}$ rovná prvému výrazu v sekvencii a {\ Displaystyle a_ {n}} sa $A _ {{n}}$ rovná poslednému výrazu v poradí.
- Napríklad v poradí 10, 15, 20, 25, 30 $A _ {{1}} = 10$ a $A _ {{n}} = 30$ .

Časť 2 z 3: výpočet súčtu

1
Nastavte vzorec na nájdenie súčtu aritmetickej postupnosti. Vzorec je Sn = n (a1+an2) {\ displaystyle S_ {n} = n ({\ frac {a_ {1}+a_ {n}} {2}})}} $S _ {{n}} = n ({\ frac {a _ {{1}}+a _ {{n}}} {2}})$ , kde Sn {\ displaystyle S_ {n }} sa $S _ {{n}}$ rovná súčtu postupnosti.
- Všimnite si, že tento vzorec naznačuje, že súčet aritmetickej postupnosti sa rovná priemeru prvého a posledného členu vynásobeného počtom výrazov.
2
Zapojte do vzorca hodnoty n {\ displaystyle n} $n$ , a1 {\ displaystyle a_ {1}} $a _ {{1}}$ a {\ displaystyle a_ {n}} $a _ {{n}}$ . Uistite sa, že robíte správne substitúcie.
- Ak máte v sekvencii napríklad 5 výrazov a 10 je prvý výraz a 30 je posledný výraz, váš vzorec bude vyzerať takto: $S _ {{n}} = 5 ({\ frac {10+30} {2}})$ .
Namiesto toho môžete rýchlo nájsť súčet ľubovoľnej aritmetickej postupnosti vynásobením priemeru prvého a posledného výrazu počtom výrazov v sekvencii.
3
Vypočítajte priemer prvého a druhého termínu. Za týmto účelom sčítajte dve čísla a delte 2.
- Napríklad:
  $S _ {{n}} = 5 ({\ frac {40} {2}})$
  $S _ {{n}} = 5 (20)$
4
Priemer vynásobte počtom výrazov v sérii. To vám poskytne súčet aritmetickej postupnosti.
- Napríklad:
  $S _ {{n}} = 5 (20)$
  $S _ {{n}} = 100$
  Takže súčet postupnosti 10, 15, 20, 25, 30 je 100.

Časť 3 z 3: Dokončenie vzorových problémov

1
Nájdite súčet čísel od 1 do 500. Zvážte všetky po sebe idúce celé čísla.
- Určte počet výrazov ( $N.$ ) v poradí. Pretože uvažujete všetky po sebe idúce celé čísla až 500, $N = 500$ .
- Určte prvý ( $A _ {{1}}$ ) a posledný ( $A _ {{n}}$ ) výrazy v poradí. Keďže postupnosť je 1 až 500, $A _ {{1}} = 1$ a $A _ {{n}} = 500$ .
- Nájsť priemer $A _ {{1}}$ a $A _ {{n}}$ : $1 + 5002 = 250,5 {\ displaystyle {\ frac {1 + 500} {2}} = 250,5 }$ .
- Priemer vynásobte číslom: $N.$ : $250,5 \ krát 500 = 125250$ .
Všimnite si, že tento vzorec naznačuje, že súčet aritmetickej postupnosti sa rovná priemeru prvého a posledného členu vynásobeného počtom výrazov.
2
Nájdite súčet opísanej aritmetickej postupnosti. Prvý termín v sekvencii je 3. Posledný termín v sekvencii je 24. Spoločný rozdiel je 7.
- Určte počet výrazov ( $N.$ ) v poradí. Pretože začínate na 3, končíte na 24 a stúpate vždy o 7, séria je 3, 10, 17, 24. (Bežný rozdiel je rozdiel medzi každým výrazom v sekvencii.) To znamená, že $N = 4$
- Určte prvý ( $A _ {{1}}$ ) a posledný ( $A _ {{n}}$ ) výrazy v poradí. Pretože je poradie 3 až 24, $A _ {{1}} = 3$ a $A _ {{n}} = 24$ .
- $A _ {{1}}$ priemer z priemerov $a1 {\ displaystyle a_ {1}}$ a $A _ {{n}}$ : ${\ frac {3+24} {2}} = 13,5$ .
- Priemer vynásobte číslom: $N.$ : $13,5 \ krát 4 = 54$ .
3
Vyriešte nasledujúci problém. Mara prvý týždeň v roku ušetrí 5 dolárov. Po zvyšok roka zvyšuje svoje týždenné úspory o 5 dolárov každý týždeň. Koľko peňazí Mara ušetrí do konca roka?
- Určte počet výrazov ( $N.$ ) v poradí. Keďže Mara šetrí 52 týždňov (1 rok), $N = 52$ .
- Určte prvý ( $A _ {{1}}$ ) a posledný ( $A _ {{n}}$ ) výrazy v poradí. Prvá čiastka, ktorú ušetrí, je 5 dolárov, takže $A _ {{1}} = 5$ . Ak chcete zistiť sumu, ktorú ušetrí posledný týždeň v roku, vypočítajte $5 \ krát 52 = 260$ . Takže $A _ {{n}} = 260$ .
- $A _ {{1}}$ priemer z priemerov $a1 {\ displaystyle a_ {1}}$ a $A _ {{n}}$ : ${\ frac {5+260} {2}} = 132,5$ .
- Priemer vynásobte: $N.$ ${\ displaystyle 132,5 \ times 52 = 6890}$ $n}$ : $132,5 × 52 = 6890 {\ Displaystyle 132,5 \ times 52 = 6890}$ . Do konca roka teda ušetrí 5140€.