Ako nájsť vrchol?

Systémy nerovností môžu mať jeden vrchol alebo viac vrcholov — Mnohosteny majú vrcholy, systémy nerovností môžu mať jeden vrchol alebo viac vrcholov a vrcholy môžu mať aj paraboly alebo kvadratické rovnice.

Existuje niekoľko matematických funkcií, ktoré používajú vrcholy. Mnohosteny majú vrcholy, systémy nerovností môžu mať jeden vrchol alebo viac vrcholov a vrcholy môžu mať aj paraboly alebo kvadratické rovnice. Hľadanie vrcholu sa líši v závislosti od situácie, ale tu je to, čo potrebujete vedieť o hľadaní vrcholov pre každý scenár.

Metóda 1 z 5: zistenie počtu vrcholov v mnohostene

1
Naučte sa Eulerov vzorec. Eulerov vzorec, ako sa používa v súvislosti s geometriou a grafmi, uvádza, že pre každý mnohosten, ktorý sa nepretína, sa počet tvárí plus počet vrcholov mínus počet hrán vždy rovná dvom.
- Vzorec napísaný ako rovnica vyzerá takto: F + V - E = 2
  - F označuje počet tvárí
  - V označuje počet vrcholov alebo rohových bodov
  - E označuje počet hrán
2
Upravte vzorec, aby ste našli počet vrcholov. Ak viete, koľko tvárí a hrán má mnohosten, môžete rýchlo vypočítať počet vrcholov pomocou Eulerovho vzorca. Odpočítajte F z oboch strán rovnice a pridajte E na obe strany, pričom na jednej strane izolujete V.
- V = 2 - F + E
3
Pripojte čísla a vyriešte. V tejto chvíli stačí, aby ste do rovnice pred sčítaním a odčítaním vložili počet strán a hrán ako obvykle. Odpoveď, ktorú dostanete, by vám mala povedať počet vrcholov a dokončiť problém.
- Príklad: Pre mnohosten, ktorý má 6 plôch a 12 hrán...
  - V = 2 - F + E
  - V = 2 - 6 + 12
  - V = -4 + 12
  - V = 8

V tomto mieste by vám vaše posledné vypočítané hodnoty xay mali poskytnúť súradnice vášho vrcholu.

Metóda 2 z 5: Hľadanie vrcholov pre sústavy lineárnych nerovností

1
Vytvorte grafy riešení sústavy lineárnych nerovností. V niektorých prípadoch vám graficky vykreslené riešenia všetkých nerovností v systéme môžu vizuálne ukázať, kde ležia niektoré, ak nie všetky vrcholy. Ak tomu tak nie je, budete musieť nájsť vrchol algebraicky.
- Ak používate grafickým kalkulátorom na graf týchto nerovností, možno zvyčajne posúvať sa k vrcholom a nájsť koordináty týmto spôsobom.
2
Zmeňte nerovnice na rovnice. Aby ste vyriešili systém nerovností, budete musieť dočasne zmeniť nerovnice na rovnice, čo vám umožní nájsť hodnoty pre x a y.
- Príklad: Pre systém nerovností:
  - y <x
  - y> -x + 4
- Zmeňte nerovnosti na:
  - y = x
  - y = -x + 4
3
Jednu premennú nahraďte druhou. Aj keď existuje niekoľko rôznych spôsobov, ako vyriešiť x a y, nahradenie sa často najľahšie používa. Pripojte hodnotu y z jednej rovnice k druhej rovnici, čím „y“ v druhej rovnici efektívne „nahradíte“ ďalšími hodnotami x.
- Príklad: Ak:
  - y = x
  - y = -x + 4
- Potom y = -x + 4 možno zapísať ako:
  - x = -x + 4
4
Riešenie pre prvú premennú. Teraz, keď máte v rovnici iba jednu premennú, môžete pre túto premennú x jednoducho vyriešiť tak, ako pre všetky ostatné rovnice: sčítaním, odčítaním, delením a násobením.
- Príklad: x = -x + 4
  - x + x = -x + x + 4
  - 2x = 4
  - 2x / 2 = 4/2
  - x = 2
5
Vyriešte zostávajúcu premennú. Pripojte svoju novú hodnotu pre x do jednej z pôvodných rovníc a nájdite hodnotu y.
- Príklad: y = x
  - y = 2
6
Určte vrchol. Vrchol je jednoducho súradnica pozostávajúca z vašich nových hodnôt x a y.
- Príklad: (2, 2)

Vrchol bodu bude (h — Forma „vrcholu“ rovnice je zapísaná ako y = a (x - h)^2 + k a vrchol bodu bude (h, k).

Metóda 3 z 5: nájdenie vrcholu paraboly s osou symetrie

1
Faktor rovnice. Prepíšte kvadratickú rovnicu v jej faktorizovanej forme. Existuje niekoľko spôsobov, ako vyčísliť kvadratickú rovnicu, ale keď to urobíte, mali by vám zostať dve sady zátvoriek, ktoré sa po vynásobení rovnajú vašej pôvodnej rovnici.
- Príklad: (pomocou rozkladu)
  - 3x2 - 6x - 45
  - Vynásobte spoločný faktor: 3 (x2 - 2x - 15)
  - Vynásobte podmienky a a c: 1 * -15 = -15
  - Nájdite dve čísla s produktom, ktorý sa rovná -15 a súčtom, ktorý sa rovná hodnote b, -2: 3 * -5 = -15; 3 - 5 = -2
  - Nahraďte dve hodnoty do rovnice ax2 + kx + hx + c: 3 (x2 + 3x - 5x - 15)
  - Polynóm rozdeľte do skupín: f (x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
2
Nájdite bod, v ktorom rovnica pretína os x. Kedykoľvek sa funkcia x, f (x) rovná 0, parabola prejde osou x. K tomu dôjde, ak sa ktorákoľvek z množiny faktorov rovná 0.
- Príklad: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
  - х +3 = 0
  - х - 5 = 0
  - х = -3; х = 5
  - Korene sú teda: (-3, 0) a (5, 0)
3
Vypočítajte stredový bod. Os symetrie pre rovnicu bude ležať priamo medzi dvoma koreňmi rovnice. Potrebujete poznať os symetrie, pretože vrchol na nej leží.
- Príklad: x = 1; táto hodnota leží priamo medzi -3 a 5
4
Zapojte hodnotu x do pôvodnej rovnice. Pripojte hodnotu x pre svoju os symetrie do ktorejkoľvek rovnice pre vašu parabolu. Hodnota y bude hodnotou y pre váš vrchol.
- Príklad: y = 3x2 - 6x - 45 = 3 (1) 2 - 6 (1) - 45 = -48
5
Napíšte vrchol. V tomto bode, vaša posledná vypočítaná x a y by mali hodnoty vám súradníc vrcholov.
- Príklad: (1, -48)

Metóda 4 z 5: nájdenie vrcholu paraboly vyplnením štvorca

1
Prepíšte pôvodnú rovnicu v jej vrcholnej forme. Forma „vrcholu“ rovnice je zapísaná ako y = a (x - h)^2 + k a vrchol bodu bude (h, k). Vaša súčasná kvadratická rovnica bude musieť byť prepísaná do tohto tvaru a aby ste to urobili, budete musieť vyplniť štvorec.
- Príklad: y = -x^2 - 8x - 15
2
Izolovať na hodnotu. Vypočítajte koeficient prvého členu a z prvých dvoch pojmov v rovnici. Nechajte konečný termín, c, zatiaľ sám.
- Príklad: -1 (x^2 + 8x) - 15
3
Nájdite tretí výraz v zátvorkách. Tretí výraz musí doplniť množinu v zátvorkách tak, aby hodnoty v zátvorkách tvorili perfektný štvorec. Tento nový výraz je druhou mocninou polovičného koeficientu stredného termínu.
- Príklad: 8 /2 = 4; 4 * 4 = 16; preto,
  - -1 (x^2 + 8x + 16)
  - Majte tiež na pamäti, že to, čo robíte vnútri, musíte robiť aj zvonku:
  - y = -1 (x^2 + 8x + 16) - 15 + 16
4
Zjednodušte rovnicu. Pretože vaše zátvorky teraz tvoria perfektný štvorec, môžete časť v zátvorke zjednodušiť na faktorizovaný tvar. Súčasne môžete vykonať akékoľvek sčítanie alebo odčítanie hodnôt mimo zátvoriek.
- Príklad: y = -1 (x + 4)^2 + 1
5
Zistite, aké sú súradnice na základe rovnice vrcholu. Pripomeňme si, že vrcholový tvar rovnice je y = a (x - h)^2 + k, pričom (h, k) predstavuje súradnice vrcholu. Teraz máte dostatok informácií na zapojenie hodnôt do slotov h a k a dokončenie problému.
- k = 1
- h = -4
- Preto vrchol tejto rovnice nájdete na: (-4, 1)

Že vrcholový tvar rovnice je y = a (x - h)^2 + k — Pripomeňme si, že vrcholový tvar rovnice je y = a (x - h)^2 + k, pričom (h, k) predstavuje súradnice vrcholu.

Metóda 5 z 5: nájdenie vrcholu paraboly pomocou jednoduchého vzorca

1
Nájdite priamo súradnicu x vrcholu. Ak je rovnica vašej paraboly zapísaná ako y = ax^2 + bx + c, x vrcholu nájdete pomocou vzorca x = -b / 2a. Jednoducho zadajte hodnoty a a b z vašej rovnice do tohto vzorca, aby ste našli x.
- Príklad: y = -x^2 - 8x - 15
- x = -b/2a = -(-8)/(2*(-1)) = 8/(-2) = -4
- x = -4
2
Zapojte túto hodnotu do pôvodnej rovnice. Zapojením hodnoty x do rovnice môžete vyriešiť hodnotu y. Táto hodnota y bude súradnicou y vášho vrcholu.
- Príklad: y = -x^2 - 8x - 15 = - (- 4)^2 - 8 (-4) - 15 = - (16) - (-32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
  - y = 1
3
Napíšte svoje súradnice vrcholov. Hodnoty x a y, ktoré máte, sú súradnice bodu vrcholu.
- Príklad: (-4, 1)

Veci, ktoré budete potrebovať

Kalkulačka
Ceruzka
Papier

Prečítajte si tiež: Ako nájsť meranie uhlopriečky vo vnútri obdĺžnika?