Ako ľahko nájsť maximálnu alebo minimálnu hodnotu kvadratickej funkcie?

Nakoniec zapojte do funkcie hodnotu x, aby ste našli hodnotu f (x), ktorá je minimálnou alebo maximálnou hodnotou funkcie.

Z rôznych dôvodov možno budete musieť byť schopní definovať maximálnu alebo minimálnu hodnotu vybratej kvadratickej funkcie. Možno nájsť maximálnu alebo minimálnu, ak je pôvodná funkcia napísaný vo všeobecnej forme, $F (x) = ax^{2}+bx+c$ , alebo v štandardnej forme, $F (x) = a (xh)^{2}+k$ . Nakoniec by ste mohli tiež chcieť použiť nejaký základný počet na definovanie maxima alebo minima akejkoľvek kvadratickej funkcie.

Metóda 1 z 3: začínajúc všeobecnou formou funkcie

1
Nastavte funkciu vo všeobecnej forme. Kvadratickej funkcie je taký, ktorý má x2 {\ displaystyle x ^ {2}} $X^{2}$ obdobie. To môže, ale nemusí obsahovať x {\ displaystyle x} $X$ termín bez exponentu. Neexistujú žiadne exponenty väčšie ako 2. Obecný tvar je f (x) = ax2+bx+c {\ Displaystyle f (x) = ax^{2}+bx+c} $F (x) = ax^{2}+bx+c$ . V prípade potreby skombinujte podobné výrazy a preskupte ich, aby ste funkciu nastavili v tejto všeobecnej forme.
- Predpokladajme napríklad, že začnete s f (x) = 3x+2x − x2+3x2+4 {\ Displaystyle f (x) = 3x+2x-x^{2}+3x^{2} +4} $F (x) = 3x+2x-x^{2}+3x^{2} +4$ . Kombinovať x2 {\ displaystyle x ^ {2}} $X^{2}$ termíny a x {\ displaystyle x} $X$ termíny získať nasledujúce všeobecné forme:
  - $F (x) = 2x^{2}+5x+4$
2
Určte smer grafu. Výsledkom kvadratickej funkcie je graf paraboly. Parabola sa otvára nahor alebo nadol. Ak je $A$ koeficient výrazu {\ Displaystyle a} x2 {\ Displaystyle x^{2}} $X^{2}$ kladný, potom sa parabola otvára nahor. Ak je {\ Displaystyle a} $A$ negatívny, potom sa parabola otvára nadol. Pozrite sa na nasledujúce príklady:
- Pre $F (x) = 2x^{2}+4x-6$ , $A = 2$ tak, parabola otvára smerom nahor.
- Pre $F (x) =-3x^{2}+2x+8$ , $A = -3$ tak, parabola otvára smerom nadol.
- Pre $F (x) = x^{2} +6$ , $A = 1$ tak, aby parabola otvára smerom nahor.
- Ak sa parabola otvára nahor, zistíte jej minimálnu hodnotu. Ak sa parabola otvára smerom nadol, nájdete jej maximálnu hodnotu.
3
Vypočítajte -b/2a. Hodnota −b2a {\ displaystyle -{\ frac {b} {2a}}} $-{\ frac {b} {2a}}$ vám povie hodnotu x {\ displaystyle x} $X$ vrcholu paraboly. Keď je kvadratickú funkcií napísaný vo svojej všeobecnej forme AX2 + bx + c {\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c} $Ax^{2}+bx+c$ , pomocou koeficienty x {\ displaystyle x} $X$ a x2 {\ displaystyle x ^ {2 }} $X^{2}$ podmienky nasledovne:
- Pre funkciu f (x) = x 2 + 10x-1 {\ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 10x-1} $F (x) = x^{2}+10x-1$ , a = 1 {\ displaystyle a = 1} $A = 1$ a b = 10 {\ displaystyle b = 10} $B = 10$ . Preto nájdite hodnotu x vrcholu ako:
  - $X =-{\ frac {b} {2a}}$
  - $X =-{\ frac {10} {(2) (1)}}$
  - $X =-{\ frac {10} {2}}$
  - $X = -5$
- Ako druhý príklad, zvažovať funkciu f (x) = - 3x2 + 6x-4 {\ displaystyle f (x) = - 3x ^ {2} + 6x-4} $F (x) =-3x^{2}+6x-4$ . V tomto prípade a = −3 {\ displaystyle a = -3} $A = -3$ a b = 6 {\ displaystyle b = 6} $B = 6$ . Preto nájdite hodnotu x vrcholu ako:
  - $X =-{\ frac {b} {2a}}$
  - $X =-{\ frac {6} {(2) (-3)}}$
  - $X =-{\ frac {6} {-6}}$
  - $X =-(-1)$
  - $X = 1$
Minimálna alebo maximálna hodnota funkcie bude hodnota pre zvolenú pozíciu.
4
Nájdite zodpovedajúcu hodnotu f (x). Vložte do funkcie hodnotu x, ktorú ste práve vypočítali, a nájdite zodpovedajúcu hodnotu f (x). Bude to minimum alebo maximum funkcie.
- V prvom príklade vyššie, f (x) = x 2 + 10x-1 {\ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 10x-1} $F (x) = x^{2}+10x-1$ , sa následne vypočíta x-hodnotu pre vrchol byť x = -5 {\ Displaystyle x = -5} $X = -5$ . Zadajte −5 {\ displaystyle -5} $-5$ namiesto x {\ displaystyle x} $X$ do funkcie a nájdite maximálnu hodnotu:
  - $F (x) = x^{2}+10x-1$
  - ${\ Displaystyle f (-5) = (-5)^{2} +10 (-5) -1}$
  - ${\ Displaystyle f (-5) = 25-50-1}$
  - ${\ displaystyle f (-5) =-26}$
- V druhom príklade vyššie, f (x) = - 3x2 + 6x-4 {\ displaystyle f (x) = - 3x ^ {2} + 6x-4} $F (x) =-3x^{2}+6x-4$ , si našiel vrchol byť u x = 1 {\ displaystyle x = 1} $X = 1$ . Vložte 1 {\ displaystyle 1} $1$ namiesto x {\ displaystyle x} $X$ do funkcie a nájdite maximálnu hodnotu:
  - $F (x) =-3x^{2}+6x-4$
  - ${\ Displaystyle f (1) =-3 (1)^{2} +6 (1) -4}$
  - ${\ Displaystyle f (1) =-3+6-4}$
  - $F (1) =-1$
5
Nahláste svoje výsledky. Prečítajte si otázku, ktorá vám bola položená. Ak sa zobrazí výzva na zadanie súradníc vrcholu, musíte nahlásiť hodnoty x {\ displaystyle x} $X$ a y {\ Displaystyle y} $Y$ (alebo f (x) {\ displaystyle f (x)} $F (x)$ ). Ak sa od vás požaduje iba maximum alebo minimum, stačí nahlásiť iba hodnotu y {\ Displaystyle y} $Y$ (alebo f (x) {\ displaystyle f (x)} $F (x)$ ). Vrátiť späť k hodnote A {\ displaystyle o} $A$ koeficient mať istotu, ak máte maximum alebo minimum.
- V prvom príklade, $F (x) = x^{2}+10x-1$ , hodnota $A$ je pozitívne, takže bude vykazovanie minimálnej hodnoty. Vrchol je na $(-5, -26)$ a minimálna hodnota je $-26$ .
- V druhom príklade $F (x) =-3x^{2}+6x-4$ , hodnota $A$ je negatívny, takže bude hlásiť maximálnu hodnotu. Vrchol je na $(1, -1)$ a maximálna hodnota je $-1$ .

Metóda 2 z 3: pomocou štandardného alebo vrcholového formulára

1
Napíšte svoju kvadratickú funkciu v štandardnej alebo vrcholovej forme. Štandardný tvar všeobecnej kvadratickej funkcie, ktorý možno tiež nazvať vrcholový, vyzerá takto:
- $F (x) = a (xh)^{2}+k$
- Ak je vám vaša funkcia v tejto forme už daná, stačí rozpoznať premenné $A$ , $H$ a $K$ . Ak váš funkcie začína v všeobecnom tvare $F (x) = ax^{2}+bx+c$ , budete musieť dokončiť štvorec ju prepísať do vertex podobe.
- Ak sa chcete dozvedieť, ako vyplniť štvorec, pozrite si tému Doplňte štvorec.
2
Určte smer grafu. Rovnako ako pri kvadratickej funkcii napísanej v jej všeobecnej forme, môžete určiť smer paraboly pohľadom na koeficient a {\ Displaystyle a} $A$ . Ak je {\ Displaystyle a} $A$ v tomto štandardnom tvare kladný, potom sa parabola otvára nahor. Ak je {\ Displaystyle a} $A$ negatívny, potom sa parabola otvára nadol. Pozrite sa na nasledujúce príklady:
- For for $F (x) = 2 (x+1)^{2} -4$ , $A = 2$ , čo je pozitívne, takže parabola sa otvára nahor.
- For $F (x) =-3 (x-2)^{2} +2$ , $A = -3$ , čo je záporné, takže parabola sa otvára smerom dole.
- Ak sa parabola otvára nahor, zistíte jej minimálnu hodnotu. Ak sa parabola otvára smerom nadol, nájdete jej maximálnu hodnotu.
3
Identifikujte minimálnu alebo maximálnu hodnotu. Keď je funkcia napísaná v štandardnej forme, nájdenie minimálnej alebo maximálnej hodnoty je také jednoduché, ako zadanie hodnoty premennej. K {\ Displaystyle k} $K$ . Pre dve vyššie uvedené príklady funkcií sú tieto hodnoty:
- For $F (x) = 2 (x+1)^{2} -4$ , $K = -4$ . Toto je minimálna hodnota funkcie, pretože táto parabola sa otvára nahor.
- For $F (x) =-3 (x-2)^{2} +2$ , $K = 2$ . Toto je maximálna hodnota funkcie, pretože táto parabola sa otvára nadol.
Z rôznych dôvodov možno budete musieť byť schopní definovať maximálnu alebo minimálnu hodnotu vybratej kvadratickej funkcie.
4
Nájdite vrchol. Ak sa vás opýta na súradnice minimálnej alebo maximálnej hodnoty, bod bude (H, k) {\ Displaystyle (h, k)} $(h, k)$ . Všimnite si však, že v štandardnej forme rovnice je výraz v zátvorkách (x − h) {\ displaystyle (xh)} $(xh)$ , takže potrebujete opačné znamienko čísla, ktoré nasleduje za x {\ Displaystyle x} $X$ .
- Pre $F (x) = 2 (x+1)^{2} -4$ , výraz v zátvorkách je (x+1), ktorý je možné prepísať ako (x-(-1)). Preto $H = -1$ . Súradnice vrcholu tejto funkcie sú preto $(-1, -4)$ .
- Pre $F (x) =-3 (x-2)^{2} +2$ , výraz v zátvorkách je (x-2). Preto $H = 2$ . Súradnice vrcholu sú (2, 2).

Metóda 3 z 3: Použitie kalkulu na odvodenie minima alebo maxima

1
Začnite so všeobecným formulárom. Napíšte svoju kvadratickú funkciu vo všeobecnej forme, F (x) = ax2+bx+c {\ displaystyle f (x) = ax^{2}+bx+c} $F (x) = ax^{2}+bx+c$ . V prípade potreby možno budete musieť skombinovať podobné výrazy a zmeniť usporiadanie, aby ste získali správnu formu.
- Začnite $F (x) = 2x^{2} -4x+1$ funkciou. $F (x) = 2x2−4x+1 {\ displaystyle f (x) = 2x^{2} -4x+1}$ .
2
Na nájdenie prvej derivácie použite pravidlo mocniny. Pomocou základného kalkulu pre prvý rok nájdete prvú deriváciu všeobecnej kvadratickej funkcie, ktorá bude f ′ (x) = 2ax+b {\ displaystyle f^{\ prime} (x) = 2ax+b} $F^{{\ prime}} (x) = 2ax+b$ .
- Pre funkciu vzorky f (x) = 2x2-4x + 1 {\ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} -4x + 1} $F (x) = 2x^{2} -4x+1$ , nájsť derivát, ako sú:
  - $F^{{\ prime}} (x) = 4x-4$
3
Deriváciu nastavte na nulu. Pripomeňme si, že derivácia funkcie vám povie sklon funkcie v tomto zvolenom bode. Minimum alebo maximum funkcie nastane, keď je sklon nula. Preto, aby ste zistili, kde sa vyskytuje minimum alebo maximum, nastavte deriváciu na nulu. Pokračujte vzorovým problémom zhora:
- $F^{{\ prime}} (x) = 4x-4$
- $0 = 4x-4$
4
Riešiť pre x. Na preskupenie funkcie a vyriešenie hodnoty pre x, keď je derivácia rovná nule, použite základné pravidlá algebry. Toto riešenie vám povie súradnicu x vrcholu funkcie, v ktorej dôjde k maximu alebo minimu.
- $0 = 4x-4$
- $4 = 4x$
- $1 = x$
Ak chcete nájsť maximálnu alebo minimálnu hodnotu kvadratickej funkcie, začnite so všeobecnou formou funkcie a skombinujte všetky podobné výrazy.
5
Vložte riešenú hodnotu x do pôvodnej funkcie. Minimálne alebo maximálne hodnota funkcie bude hodnota f (x), {\ displaystyle f (x)} $F (x)$ na vybraných x {\ displaystyle x} $X$ polohe. Vložte svoju hodnotu x {\ displaystyle x} $X$ do pôvodnej funkcie a vyriešte, aby ste našli minimum alebo maximum.
- Pre funkciu f (x) = 2x2-4x + 1 {\ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} -4x + 1} $F (x) = 2x^{2} -4x+1$ pri x = 1 {\ displaystyle x = 1} $X = 1$ ,
  - $F (1) = 2 (1)^{2} -4 (1) +1$
  - $F (1) = 2-4+1$
  - $F (1) =-1$
6

Nahláste svoje riešenie. Riešenie vám poskytne vrchol maximálneho alebo minimálneho bodu. Pre túto ukážkovú funkciu je vrchol $(1, −1) {\ displaystyle (1,$ $F (x) = 2x^{2} -4x+1$ $(1, -1)$ . Koeficient $A$ kladný, takže sa funkcia otvára nahor. Minimálnou hodnotou funkcie je preto súradnica y vrcholu, ktorá je $-1$ .