Ako algebraicky nájsť priesečník dvoch čiar?

Aby ste algebraicky našli priesečník dvoch priamych čiar, napíšte rovnicu pre každý riadok s y na ľavej strane.

Keď priamky sa pretínajú na dvojrozmernom grafe, spĺňajú iba v jednom bode, je popísané v jednej sady $X$ - a $Y$ -coordinates. Vzhľadom k tomu, obaja riadky prechádzať týmto bodom, viete, že $X$ - a $Y$ - poloha musí spĺňať obidve rovnice. S niekoľkými ďalšími technikami môžete nájsť priesečníky paraboly a ďalších kvadratických kriviek pomocou podobnej logiky.

Metóda 1 z 2: nájdenie priesečníka dvoch priamych čiar

1
Napíšte rovnicu pre každý riadok s $r$ na ľavej strane. Ak je to potrebné, usporiadanie rovnicu tak y {\ displaystyle y} $Y$ je sám na jednej strane znamienko rovnosti. V prípade, že rovnica použitie f (x) {\ displaystyle f (x)} $F (x)$ , alebo g (x), {\ displaystyle g (x)} $G (x)$ namiesto y {\ displaystyle y} $Y$ , oddeliť tento termín miesto. Nezabudnite, že podmienky môžete zrušiť vykonaním rovnakej akcie na oboch stranách.
- Ak rovnice nepoznáte, nájdite ich na základe informácií, ktoré máte.
- Príklad: Vaše dva riadky sú $Y = x+3$ a $Y-12 = -2x$ . Ak chcete získať $Y$ sám v druhej rovnice, pridajte 12 na každú stranu: $Y = 12-2x$
2
Nastavte pravé strany rovnice navzájom rovnobežne. Hľadáme na mieste, kde sa dva riadky majú rovnaký x {\ displaystyle x} $X$ a y {\ displaystyle y} $Y$ hodnoty; tu sa križujú čiary. Obe rovnice majú na ľavej strane iba y {\ Displaystyle y} $Y$ , takže vieme, že pravé strany sú si navzájom podobné. Napíšte novú rovnicu, ktorá to predstavuje.
- Príklad: Vieme, že $Y = x+3$ $Y = 12-2x$ $y = x+3}$ a $y = 12−2x {\ Displaystyle y = 12-2x}$ , preto $X+3 = 12-2x$ .
3
Riešiť pre x. Nová rovnica má iba jednu premennú, x {\ Displaystyle x} $X$ . Vyriešte to pomocou algebry vykonaním rovnakej operácie na oboch stranách. Získajte výrazy x {\ displaystyle x} $X$ na jednej strane rovnice a potom ich vložte do tvaru x =?? {\ displaystyle x =??} ${\ displaystyle x =??}$ . (Ak to nie je možné, preskočte na koniec tejto časti.)
- Príklad: $X+3 = 12-2x$
- Pridajte $2x$ na každú stranu:
- $3x+3 = 12$
- Odčítajte 3 z každej strany:
- $3x = 9$
- Rozdeľte každú stranu na 3:
- $X = 3$ .
4
Použite túto hodnotu $X$ na riešenie $r$ . Vyberte rovnicu pre ktorýkoľvek riadok. Nahraďte každú x {\ Displaystyle x} $X$ v rovnici odpoveďou, ktorú ste našli. Vykonajte aritmetiku, aby ste vyriešili y {\ Displaystyle y} $Y$ .
- Príklad: $X = 3$ a $Y = x+3$
- $Y = 3+3$
- $Y = 6$
Čiary môžu byť x = 3 a y = 6.
5
Skontrolujte svoju prácu. Je vhodné zapojiť hodnotu x {\ displaystyle x} $X$ do druhej rovnice a zistiť, či získate rovnaký výsledok. Ak dostanete pre y {\ Displaystyle y} $Y$ iné riešenie, vráťte sa a skontrolujte, či vaša práca neobsahuje chyby.
- Príklad: $X = 3$ a $Y = 12-2x$
- $Y = 12-2 (3)$
- $Y = 12-6$
- $Y = 6$
- To je rovnaká odpoveď ako predtým. Nerobili sme žiadne chyby.
6
Zapíšte $X$ a $r$ súradníc priesečníka. Teraz ste vyriešiť pre x {\ displaystyle x} $X$ -hodnota a y {\ displaystyle y} $Y$ -hodnota od bodu, kde sa obe línie pretínajú. Zapíšte si bod ako súradnicovej dvojica, s x {\ displaystyle x} $X$ -hodnota ako prvé číslo.
- Príklad: $X = 3$ a $Y = 6$
- Tieto dve čiary sa pretínajú v bode (36).
7
Vyrovnajte sa s neobvyklými výsledkami. Niektoré rovnice, aby bolo možné riešiť na x {\ displaystyle x} $X$ . Neznamená to vždy, že ste urobili chybu. Existujú dva spôsoby, ktorými môže pár riadkov viesť k špeciálnemu riešeniu:
- Ak sú tieto dve čiary rovnobežné, nepretínajú sa. $X$ podmienky sa vyruší, a vaše rovnice zjednodušia k falošné tvrdenia (napríklad $0 = 1$ ). Ako odpoveď napíšte „riadky sa nepretínajú“ alebo žiadne skutočné riešenie.
- Ak tieto dve rovnice popisujú rovnakú čiaru, „pretínajú sa“ všade. $X$ termíny vyruší a vaše rovnice zjednoduší do naozajstného oznámenia (ako je napríklad $3 = 3$ ). Napíšte „dva riadky sú rovnaké“ ako svoju odpoveď.

Metóda 2 z 2: problémy s kvadratickými rovnicami

1
Rozpoznať kvadratické rovnice. V kvadratickej rovnici je jedna alebo viac premenných na druhú ( x2 {\ Displaystyle x^{2}} $X^{2}$ alebo y2 {\ displaystyle y^{2}} $Y^{2}$ ) a neexistujú žiadne vyššie právomoci. Čiary, ktoré tieto rovnice predstavujú, sú zakrivené, takže môžu pretínať priamku v 0, 1 alebo 2 bodoch. Táto časť vás naučí nájsť 0, 1 alebo 2 riešenia vášho problému.
- Rozviňte rovnice so zátvorkami, aby ste zistili, či sú kvadratické. Napríklad $Y = (x+3) (x)$ je kvadratický, pretože sa rozširuje na $Y = x^{2}+3x.$
- Rovnica pre kruhu alebo elipsy majú obaja $X^{2}$ a $Y^{2}$ obdobie. Ak máte problémy s týmito špeciálnymi prípadmi, pozrite si nižšie uvedenú časť Tipy.
2
Napíšte rovnice v zmysle y. Ak je to potrebné, prepíšte každú rovnicu tak, aby y bolo na jednej strane osamotené.
- Príklad: Nájdite priesečník $X^{2}+2x-y = -1$ a $Y = x+7$ .
- Prepíšte kvadratickú rovnicu na y:
- $Y = x^{2}+2x+1$ a $Y = x+7$ .
- Tento príklad má jednu kvadratickú rovnicu a jednu lineárnu rovnicu. Úlohy s dvoma kvadratickými rovnicami sa riešia podobným spôsobom.
3
Skombinujte obe rovnice a zrušte y. Akonáhle nastavíte obe rovnice na y, viete, že obe strany bez ay sú si navzájom rovnaké.
- Príklad: $Y = x^{2}+2x+1$ a $Y = x+7$
- $X^{2}+2x+1 = x+7$
Dve čiary, ktoré sa sotva dotýkajú, majú iba jednu križovatku a dve čiary, ktoré sa nikdy nedotýkajú, majú nulu.
4
Usporiadajte novú rovnicu tak, aby sa jedna strana rovnala nule. Na získanie všetkých výrazov na jednej strane použite štandardné algebraické techniky. Tým sa problém nastaví, aby sme ho mohli vyriešiť v nasledujúcom kroku.
- Príklad: $X^{2}+2x+1 = x+7$
- Odčítajte x z každej strany:
- $X^{2}+x+1 = 7$
- Odčítajte 7 z každej strany:
- $X^{2}+x-6 = 0$
5
Vyriešte kvadratickú rovnicu. Keď nastavíte jednu stranu na nulu, existujú tri spôsoby, ako vyriešiť kvadratickú rovnicu. Rôzni ľudia považujú rôzne metódy za jednoduchšie. Môžete si prečítať o kvadratickom vzorci alebo „doplnení štvorca“ alebo sa riadiť týmto príkladom metódy faktoringu:
- Príklad: $X^{2}+x-6 = 0$
- Cieľom faktoringu je nájsť dva faktory, ktoré sa spoločne množia a vytvoriť tak rovnicu. Počnúc prvým obdobie, vieme, $X^{2}$ je možno rozdeliť na x, a x. Zapíšte si to (x) (x) = 0, aby ste to ukázali.
- Posledný termín je -6. Vymenujte každú dvojicu faktorov, ktoré sa vynásobia, aby sa vytvorilo šesť negatívnych: $-6*1$ , $-3*2$ , $-2*3$ , a $-1*6$ .
- Stredný termín je x (ktorý by ste mohli napísať ako 1x). Sčítajte každý pár faktorov, kým nedostanete 1 ako odpoveď. Správna dvojica faktorov je $-2*3$ , pretože $-2+3 = 1$ .
- Vyplňte medzery vo svojej odpovedi týmto párom faktorov: $(x-2) (x+3) = 0$ .
6
Dávajte pozor na dve riešenia pre x. Ak pracujete príliš rýchlo, možno nájdete jedno riešenie problému a neuvedomíte si, že existuje druhé. Tu je postup, ako nájsť dve hodnoty x pre čiary, ktoré sa pretínajú v dvoch bodoch:
- Príklad (faktoring): Skončili sme s rovnicou $(x-2) (x+3) = 0$ . Ak sa niektorý z faktorov v zátvorkách rovná 0, rovnica platí. Jedným z riešení je $X-2 = 0$ → $X = 2$ . Druhým riešením je $X+3 = 0$ → $X = -3$ .
- Príklad (kvadratická rovnica alebo doplňte štvorec): Ak ste na vyriešenie rovnice použili jednu z týchto metód, zobrazí sa druhá odmocnina. Naša rovnica sa napríklad stane $X = (-1+{\ sqrt {25}})/2$ . Uvedomte si, že druhá odmocnina môže zjednodušiť na dva rôzne roztoky: ${\ sqrt {25}} = 5*5$ , a ${\ sqrt {25}} = (-5)*(-5)$ . Napíšte dve rovnice, pre každú možnosť jednu, a pre každú vyriešte x.
7
Riešenie problémov s jedným alebo nulovým riešením. Dve čiary, ktoré sa sotva dotýkajú, majú iba jednu križovatku a dve čiary, ktoré sa nikdy nedotýkajú, majú nulu. Poznáte to takto:
- Jedno riešenie: Problém sa rozdelí na dva rovnaké faktory ((x-1) (x-1) = 0). Keď je zapojený do kvadratického vzorca, druhá odmocnina je ${\ sqrt {0}}$ . Stačí vyriešiť jednu rovnicu.
- Žiadne skutočné riešenie: Neexistujú žiadne faktory, ktoré by spĺňali požiadavky (súčet do strednodobého hľadiska). Keď zapojený do kvadratické vzorca, dostanete číslo negatívne pod odmocniny znak (napríklad ${\ sqrt {-2}}$ ). Ako odpoveď napíšte „žiadne riešenie“.
8
Pripojte svoje hodnoty x späť do pôvodnej rovnice. Akonáhle budete mať hodnotu x vašej križovatky, zapojte ju späť do jednej z rovníc, s ktorými ste začali. Riešením pre y nájdite hodnotu y. Ak máte druhú hodnotu x, zopakujte to aj pre toto.
- Príklad: Našli sme dve riešenia, $X = 2$ a $X = -3$ . Jeden z našich riadkov má rovnicu $Y = x+7$ . Pripojte $Y = 2+7$ a $Y = -3+7$ , potom vyriešte každú rovnicu a zistite, že $Y = 9$ a $Y = 4$ .
Hľadáme bod, v ktorom majú tieto dve čiary rovnaké hodnoty; tu sa križujú čiary.
9
Napíšte súradnice bodu. Teraz napíšte svoju odpoveď v súradnicovom tvare s hodnotou x a hodnotou y priesečníkov. Ak máte dve odpovede, uistite sa, že ku každej hodnote y priradíte správnu hodnotu x.
- Príklad: Keď zapojený $X = 2$ , máme $Y = 9$ , tak jeden priesečník sa nachádza v (2, 9). Ten istý postup pre naše druhé riešenie nám hovorí, že ďalšia križovatka leží na (-3, 4).

Tipy

Rovnica pre kruhu alebo elipsy majú $X^{2}$ termín a s $Y^{2}$ obdobie. Ak chcete nájsť priesečník kruhu a priamky, vyriešte v lineárnej rovnici hodnotu x. Nahraďte riešenie za x v kruhovej rovnici a budete mať jednoduchšiu kvadratickú rovnicu. Tieto problémy môžu mať 0, 1 alebo 2 riešenia, ako je popísané vo vyššie uvedenej metóde.
Kruh a parabola (alebo iný kvadratický program) môže mať 0, 1, 2, 3 alebo 4 riešenia. Nájdite premennú, ktorá je v oboch rovniciach druhou mocninou - povedzme, že je x ². Vyriešte $X^{2}$ a nahraďte odpoveď $X^{2}$ v druhej rovnici. Riešením pre y získate 0, 1 alebo 2 riešenia. Pripojte každé riešenie späť do pôvodnej kvadratickej rovnice a vyriešte x. Každý z nich môže mať 0, 1 alebo 2 riešenia.

Prečítajte si tiež: Ako zmäkčiť gumu?

Ako algebraicky nájsť priesečník dvoch čiar?

Kroky

Metóda 1 z 2: nájdenie priesečníka dvoch priamych čiar

Metóda 2 z 2: problémy s kvadratickými rovnicami

Tipy

Otázky a odpovede

Prečítajte si tiež: