Ako použiť dokonalú hranatú identitu ako skratku pri rozšírení?

Prvý termín vo vašej trojčlenke musí byť perfektný štvorec — Pretože prvý výraz v vzorci perfektných štvorcov je, prvý termín vo vašej trojčlenke musí byť perfektný štvorec.

Pri násobení dvojčlenov pravdepodobne používate metódu FOIL. Aj keď je metóda FOIL užitočná, môže byť časovo náročná a mätúca. Je dobré vedieť, že keď vytvárate kvadratúru dvojčlenu, môžete použiť dokonalú štvorcovú identitu na rýchle rozšírenie trojčlenu. Základný vzorec je $(a+b)^{{2}} = a^{{2}}+2ab+b^{{2}}$ . Tento vzorec môžete použiť aj na určenie, či je trinomiál perfektný štvorec, a na rýchle priradenie týchto trojčlenov.

Metóda 1 z 3: Rozšírenie dokonalého štvorca

1
Zistite, či máte perfektný štvorcový binom. Binomický výraz je dvojitý výraz. Ak je binomický výraz dokonalým štvorcom, bude vyjadrený buď (a+b) 2 {\ displaystyle (a+b)^{2}} $(a+b)^{{2}}$ alebo (a+b) (a+b) {\ displaystyle (a +b) (a+b)} $(a+b) (a+b)$ . Všimnite si, že binomické čísla môžu mať aj symbol odčítania.
- Napríklad $(5 rokov+3)^{{2}}$ je perfektný štvorcový dvojčlen.
2

Vytvorte vzorec pre perfektný štvorcový trojčlen. Vzorec je $(a+b)^{{2}} = a^{{2}}+2ab+b^{{2}}$ . Ak binomické čísla odčítajú, vzorec je $(ab)^{{2}} = a^{{2}}-2ab+b^{{2}}$ . Všimnite si toho, že $A$ je prvý termín binomického čísla a $B$ je druhý termín binomického čísla.
3
Štvorček prvého členu binomického čísla. Toto sa stane prvým termínom trojčlenu. Pamätajte si, že zarovnanie na druhú stranu výrazu znamená, že ho znásobíte sám.
- Ak napríklad rozširujete $(5 rokov+3)^{{2}}$ , najskôr by ste vypočítali $(5 rokov)^{{2}} = 25 rokov^{{2}}$ . Takže, $25 rokov^{{2}}$ je prvý člen z trinomial.
Pretože stredný člen trinomia dodržiava perfektný štvorcový vzorec.
4
Vynásobte prvý a posledný termín. Skontrolujte, či používate originálne a {\ displaystyle A} $A$ a b {\ displaystyle B} $B$ pojmami z dvojčlenného výrazu.
- Ak napríklad expandujete $(5 rokov+3)^{{2}}$ , vypočítali by ste $(5r) (3) = 15r$ .
5
Vynásobte produkt 2. Ak binomické čísla odčítajú, vynásobte -2. Výsledkom bude strednodobý termín v trojčlene.
- Napríklad $(2) (15 rokov) = 30 rokov$ . Váš trinomiál teraz vyzerá takto: $25 rokov^{{2}}+30 rokov+b^{{2}}$ .
6
Vyčíslite posledný termín. Opäť sa uistite, že používate originálny b {\ displaystyle B} $B$ termín z dvojčlenného výrazu. Štvorec vám poskytne posledný výraz v trojčlenke.
- Napríklad $3^{{2}} = 9$ . Takže, $(5y+3) 2 = 25y2+30y+9 {\ displaystyle (5y+3)^{2} = 25y^{2}+30y+9}$

Metóda 2 z 3: identifikácia dokonalého štvorcového trojčlenu

1

Pripomeňte si vzorec pre perfektný štvorcový trinomiál. Vzorec je $(a+b)^{{2}} = a^{{2}}+2ab+b^{{2}}$ . Ak binomické čísla odčítajú, vzorec je $(ab)^{{2}} = a^{{2}}-2ab+b^{{2}}$

Pretože posledný výraz vo vzorci perfektných štvorcov je, posledný termín vo vašej trojčlenke musí byť perfektný štvorec.
2
Určte, či je prvý člen v trojčlene dokonalý štvorec. Perfektný štvorec je číslo, ktorého druhá odmocnina je celé číslo. Pretože prvý výraz v perfektnom štvorcovom vzorci je a2 {\ Displaystyle a^{2}} $A^{{2}}$ , prvý výraz vo vašej trojčlenke musí byť perfektný štvorec. Všimnite si toho, že druhá odmocnina prvého výrazu sa rovná {\ Displaystyle a} $A$ v štvorcovej binomii.
- Napríklad v $36x^{{2}}-48x+16$ je prvý výraz $36x^{{2}}$ . Druhá odmocnina z $36x^{{2}}$ je $6x$ . Prvý výraz tejto trojčlenky je teda perfektný štvorec. V štvorhrannom binomiku tiež $A = 6x$ .
3
Určte, či je posledný člen trojčlenu dokonalý štvorec. Pretože posledný výraz v perfektnom štvorcovom vzorci je b2 {\ Displaystyle b^{2}} $B^{{2}}$ , posledný výraz vo vašej trojčlenke musí byť perfektný štvorec. Všimnite si toho, že druhá odmocnina posledného výrazu sa rovná b {\ Displaystyle b} $B$ v štvorcovej binomii.
- Napríklad v $36x^{{2}}-48x+16$ je posledný termín $16$ . Druhá odmocnina z $16$ je $4$ . Posledný termín tejto trojčlenky je teda dokonalý štvorec. Tiež v hranatom binomiku, $B = 4$
4
Určte, či sa strednodobý termín riadi vzorcom $2ab {\$ $-2ab$ $2ab}$ alebo $−2ab {\ displaystyle -2ab}$ . To znamená, že ak násobiť odmocniny z prvého a posledného funkčného obdobia trinomial, a potom násobiť týmto výrobkom od 2 alebo -2, výsledok bude rovnať prostrednej funkčné obdobie trinomial, ak trinomial je dokonalý štvorec.
- Napríklad, ak $A = 6x$ a $B = 4$ , potom by stredný člen trojčlenu mal nasledovať podľa vzorca $(-2) (6x) (4)$ . Pretože $(-2) (6x) (4) =-48x$ stredný člen trojčlenu nasleduje perfektný štvorcový vzorec. Pretože prvé a posledné termíny trojčlenky nasledovali tiež vzorec, viete, že vaša trojčlenka je perfektný štvorec.

Metóda 3 z 3: riešenie ukážkových problémov

1
Rozbaľte nasledujúci výraz. Namiesto metódy FOIL použite dokonalú štvorcovú identitu: (3y+7) 2 {\ displaystyle (3y+7)^{2}} $(3 roky+7)^{{2}}$ .
- Nastavte vzorec $(a+b)^{{2}} = a^{{2}}+2ab+b^{{2}}$ a zapojte $A$ a $B$ hodnoty: $(3 roky+7)^{{2}} = (3 roky)^{{2}}+2 (3 roky) (7) +7^{{2}}$ .
- Štvorec prvého termínu: $9r^{{2}}+2 (3r) (7) +7^{{2}}$ .
- Vynásobte prvý a posledný výraz a vynásobte produkt 2: $9 rokov^{{2}}+42 rokov+7^{{2}}$ .
- Obdĺžnik za posledný termín: $9 rokov^{{2}}+42 rokov+49$ .
Pretože to nie je pravda, stredný termín sa neriadi vzorcom, a preto trojčlen nie je dokonalý štvorec.
2
Zvážte nasledujúcu trojčlenku. Určte, či je to perfektné námestie: 9y2+36y+4 {\ displaystyle 9y^{2}+36y+4} $9 rokov^{{2}}+36 rokov+4$ .
- Pripomeňme si vzorec pre perfektný štvorcový trojčlen: $(a+b)^{{2}} = a^{{2}}+2ab+b^{{2}}$ .
- Určte, či je prvý ${\ sqrt {9r^{{2}}}} = 3r$ dokonalý štvorec: $9y2 = 3y {\ displaystyle {\ sqrt {9y^{2}}} = 3y}$ . Takže, $A = 3 roky$ .
- Určte, či je posledný člen trojčlenu perfektný štvorec: ${\ sqrt {4}} = 2$ . Takže, $B = 2$ .
- Určte, či stredný $člen trojčlenu$ nasleduje podľa vzorca $2ab {\$
  $36y = (2) (3y) (2)$ $2ab}$ : $36y = (2) (3y) (2) {\ displaystyle 36y = (2) (3y) (2)}$
  $36 r = 12 r$
  Pretože to nie je pravda, stredný $člen$ sa neriadi vzorcom, a preto trinomiál nie je dokonalý štvorec.
3
Faktor nasledujúci trojčlen. Rozdelí sa $4x^{{2}}-20x+25$ na štvorcový binomický výraz: 4x2−20x+25 {\ Displaystyle 4x^{2} -20x+25}.
- Keďže poznáte tieto faktory na štvorcový binomický tvar ( $(ab)^{{2}}$ )), viete, že sa riadi dokonalým štvorcovým vzorcom.
- Nájsť $A$ termín binomickej, ktorá sa rovná druhej odmocniny z prvého člena trinomial: ${\ sqrt {4x^{{2}}}} = 2x$ .
- Nájdite binárne číslo $B$ , ktoré sa rovná druhej odmocnine posledného členu trojčlenu: ${\ sqrt {25}} = 5$ .
- Napíšte štvorcový dvojčlen. Keďže druhý $člen trojčlenu$ je záporný, viete, že aj druhý $člen$ dvojčlenu bude záporný: $4x^{{2}}-20x+25 = (2x-5)^{{2}}$