Ako nájsť uhol medzi dvoma vektormi?

Ako môžem nájsť uhol medzi vektormi, ktoré vytvárajú bodový súčin nula?

V matematike je vektor akýkoľvek objekt, ktorý má definovateľnú dĺžku, známy ako veľkosť a smer. Pretože vektory nie sú rovnaké ako štandardné čiary alebo tvary, budete musieť na nájdenie uhlov medzi nimi použiť niektoré špeciálne vzorce.

Časť 1 z 2: nájdenie uhla medzi dvoma vektormi

1
Napíšte kosínusový vzorec. Ak chcete nájsť uhol θ medzi dvoma vektormi, začnite vzorcom na nájdenie kosínusu tohto uhla. O tomto vzorci sa môžete dozvedieť nižšie, alebo si ho jednoducho zapísať:
- cosθ = ( ${\ overrightarrow {u}}$ • ${\ overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\ overrightarrow {u}}$ || || ${\ overrightarrow {v}}$ ||)
- || ${\ overrightarrow {u}}$ || znamená "je dĺžka vektora ${\ overrightarrow {u}}$ ."
- ${\ overrightarrow {u}}$ • ${\ overrightarrow {v}}$ je bodový súčin (skalárny súčin) dvoch vektorov, vysvetlený nižšie.
2
Identifikujte vektory. Zapíšte si všetky informácie, ktoré máte o týchto dvoch vektoroch. Budeme predpokladať, že definíciu vektora máte iba z hľadiska jeho rozmerových súradníc (nazývaných tiež súčasti). Ak už poznáte dĺžku vektora (jeho veľkosť), budete môcť preskočiť niektoré z nižšie uvedených krokov.
- Príklad: Dvojrozmerný vektor ${\ overrightarrow {u}}$ = (22). Vektor ${\ overrightarrow {v}}$ = (03). Môžu byť tiež zapísané ako ${\ overrightarrow {u}}$ = 2 i + 2 j a ${\ overrightarrow {v}}$ = 0 i + 3 j = 3 j.
- Aj keď náš príklad používa dvojrozmerné vektory, nižšie uvedené pokyny sa týkajú vektorov s ľubovoľným počtom komponentov.
3
Vypočítajte dĺžku každého vektora. Predstavte si pravý trojuholník nakreslený z x-ovej zložky vektora, jeho y-komponentu a samotného vektora. Vektor tvorí preponu trojuholníka, takže na nájdenie jeho dĺžky používame Pytagorovu vetu. Ako sa ukazuje, tento vzorec je ľahko rozšíriteľný na vektory s ľubovoľným počtom zložiek.
- || u || ² = u ₁² + u ₂². Ak má vektor viac ako dve zložky, jednoducho pokračujte v pridávaní +u ₃² +u ₄² +...
- Preto pre dvojrozmerný vektor || u || = √ (u ₁² + u ₂²).
- V našom prípade || ${\ overrightarrow {u}}$ || = √ (2² + 2²) = √ (8) = 2√2. || ${\ overrightarrow {v}}$ || = √ (0² + 3²) = √ (9) = 3.
Nakreslite dvojicu 2D vektorov na papier, vektory a s uhlom θ medzi nimi.
4

Vypočítajte bodový súčin dvoch vektorov. Pravdepodobne ste sa už naučili túto metódu násobenia vektorov, nazývanú tiež skalárny súčin.
Ak chcete vypočítať bodový súčin z hľadiska zložiek vektorov, vynásobte komponenty v každom smere dohromady a potom pridajte všetky výsledky.
Informácie o počítačových grafických programoch nájdete v časti Tipy, než budete pokračovať.

Hľadanie príkladu bodového produktu

Z matematického hľadiska ${\ overrightarrow {u}}$ • ${\ overrightarrow {v}}$ = u ₁ v ₁ + u ₂ v ₂, kde u = (u ₁, u ₂). Ak má váš vektor viac ako dve zložky, jednoducho pokračujte v pridávaní + u ₃ v ₃ + u ₄ v ₄...
V našom prípade ${\ overrightarrow {u}}$ • ${\ overrightarrow {v}}$ = u ₁ v ₁ + u ₂ v ₂ = (2) (0) + (2) (3) = 0 + 6 = 6. Toto je bodový súčin vektora ${\ overrightarrow {u}}$ a ${\ overrightarrow {v}}$ .
5

Pripojte svoje výsledky do vzorca. Pamätajte si,
cosθ = ( ${\ overrightarrow {u}}$ • ${\ overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\ overrightarrow {u}}$ || || ${\ overrightarrow {v}}$ ||).
Teraz poznáte bodový súčin aj dĺžky každého vektora. Zadajte ich do tohto vzorca a vypočítajte kosínus uhla.

Hľadanie kosínusu s bodkovým súčinom a vektorovými dĺžkami

V našom prípade cosθ = 6 / (2√2

3) = 1 / √2 = √2 / 2.
6

Nájdite uhol na základe kosínusu. Môžete použiť ARccOS alebo Cos ^-1 funkcie na kalkulačke na
nájdite uhol θ zo známej hodnoty cos θ.
Pri niektorých výsledkoch môžete byť schopní vypočítať uhol na základe jednotkovej kružnice.

Hľadanie uhla s kosínom

V našom prípade platí, že cosθ = √2 / 2. Na výpočet uhla zadajte „arccos (√2 / 2)“. Alternatívne nájdite uhol θ na jednotkovej kružnici, kde cosθ = √2 / 2. To platí pre θ = ^π / ₄ alebo 45°.
Keď to celé $zhrnieme$ , konečný vzorec je:
uhol θ = arccosine (( ${\ overrightarrow {u}}$ • ${\ overrightarrow {v}}$ ) / (|| ${\ overrightarrow {u}}$ || || ${\ overrightarrow {v}}$ ||))

Časť 2 z 2: definícia vzorca uhla

1
Pochopte účel tohto vzorca. Tento vzorec nebol odvodený z existujúcich pravidiel. Namiesto toho bol vytvorený ako definícia bodového súčinu dvoch vektorov a uhla medzi nimi. Toto rozhodnutie však nebolo svojvoľné. Keď sa pozrieme späť na základnú geometriu, vidíme, prečo výsledkom tohto vzorca sú intuitívne a užitočné definície.
- Nasledujúce príklady používajú dvojrozmerné vektory, pretože ich používanie je najintuitívnejšie. Vektory s tromi alebo viacerými zložkami majú vlastnosti definované pomocou veľmi podobného všeobecného prípadového vzorca.
2

Zoznámte sa s kosínusovým zákonom. Vezmite obyčajný trojuholník s uhlom θ medzi stranami a a b a protiľahlou stranou c. Zákon o kosinách hovorí, že c ² = a ² + b ² -2ab cos (θ). Je to celkom ľahko odvodené zo základnej geometrie.

Ak chcete nájsť uhol θ medzi dvoma vektormi, začnite vzorcom na nájdenie kosínusu tohto uhla.
3

Spojte dva vektory a vytvorte trojuholník. Načrtnite dvojicu vektorov 2D na papier, vektory ${\ overrightarrow {a}}$ a ${\ overrightarrow {b}}$ , s uhlom θ medzi nimi. Nakreslite medzi ne tretí vektor a vytvorte trojuholník. Inými slovami, nakreslite vektor ${\ overrightarrow {c}}$ tak, aby ${\ overrightarrow {b}}$ + ${\ overrightarrow {c}}$ = ${\ overrightarrow {a}}$ . Tento vektor ${\ overrightarrow {c}}$ = ${\ overrightarrow {a}}$ - ${\ overrightarrow {b}}$ .
4
Napíšte kosínusový zákon pre tento trojuholník. Vložte dĺžku našich strán „vektorového trojuholníka“ do kosínového zákona:
- || (a - b) || ² = || a || ² + || b || ² - 2 || a || || b || cos (θ)
5
Napíšte to pomocou bodkových produktov. Pamätajte si, že bodový produkt je zväčšenie jedného vektora premietaného na druhý. Bodový súčin vektora sám o sebe nevyžaduje žiadnu projekciu, pretože neexistuje žiadny rozdiel v smere. To znamená, že a → {\ displaystyle {\ overrightarrow {a}}} ${\ overrightarrow {a}}$ • a → {\ displaystyle {\ overrightarrow {a}}} ${\ overrightarrow {a}}$ = || a || ². Túto skutočnosť použite na prepísanie rovnice:
- ( ${\ overrightarrow {a}}$ - ${\ overrightarrow {b}}$ ) • ( ${\ overrightarrow {a}}$ - ${\ overrightarrow {b}}$ ) = ${\ overrightarrow {a}}$ • ${\ overrightarrow {a}}$ + ${\ overrightarrow {b}}$ • ${\ overrightarrow {b}}$ - 2 || a || || b || cos (θ)
6
Prepíšte to do známeho vzorca. Rozbaľte ľavú stranu vzorca a potom zjednodušte prístup k vzorcu používanému na hľadanie uhlov.
- ${\ overrightarrow {a}}$ • ${\ overrightarrow {a}}$ - ${\ overrightarrow {a}}$ • ${\ overrightarrow {b}}$ - ${\ overrightarrow {b}}$ • ${\ overrightarrow {a}}$ + ${\ overrightarrow {b}}$ • ${\ overrightarrow {b}}$ = ${\ overrightarrow {a}}$ • ${\ overrightarrow {a}}$ + ${\ overrightarrow {b}}$ • ${\ overrightarrow {b}}$ - 2 || a || || b || cos(θ)
- - ${\ overrightarrow {a}}$ • ${\ overrightarrow {b}}$ - ${\ overrightarrow {b}}$ • ${\ overrightarrow {a}}$ = -2 || a || || b || cos (θ)
- -2 ( ${\ overrightarrow {a}}$ • ${\ overrightarrow {b}}$ ) = -2 || a || || b || cos (θ)
- ${\ overrightarrow {a}}$ • ${\ overrightarrow {b}}$ = || a || || b || cos (θ)

Tipy

Na rýchle zapojenie a riešenie použite tento vzorec pre akýkoľvek pár dvojrozmerných vektorov: cosθ = (u ₁ • v ₁ + u ₂ • v ₂) / (√ (u ₁ ² • u ₂ ²) • √ (v ₁ ² • v ₂ ²)).

Ak chcete nájsť uhol medzi dvoma nerovnobežnými rovinami, musíte vypočítať uhol medzi ich zodpovedajúcimi normálnymi vektormi.
Ak pracujete na programe počítačovej grafiky, s najväčšou pravdepodobnosťou vám záleží iba na smere vektorov, nie na ich dĺžke. Vykonajte tieto kroky na zjednodušenie rovníc a zrýchlenie programu:
- Normalizujte každý vektor tak, aby dĺžka bola 1. Za týmto účelom rozdeľte každú zložku vektora o dĺžku vektora.
- Vezmite bodový súčin normalizovaných vektorov namiesto pôvodných vektorov.
- Pretože dĺžka je rovná 1, vynechajte pojmy dĺžky mimo svojej rovnice. Vaša konečná rovnica pre uhol je arccos ( ${\ overrightarrow {u}}$ • ${\ overrightarrow {v}}$ ).
Na základe kosínusového vzorca rýchlo zistíme, či je uhol ostrý alebo tupý. Začnite s cosθ = ( u → {\ displaystyle {\ overrightarrow {u}}} ${\ overrightarrow {u}}$ • v → {\ displaystyle {\ overrightarrow {v}}} ${\ overrightarrow {v}}$ ) / (|| u → {\ displaystyle {\ overrightarrow {u}}} ${\ overrightarrow {u}}$ || || v → {\ displaystyle {\ overrightarrow {v}}} ${\ overrightarrow {v}}$ ||):
- Ľavá a pravá strana rovnice musia mať rovnaké znamienko (kladné alebo záporné).
- Pretože dĺžky sú vždy kladné, cosθ musí mať rovnaké znamienko ako bodový súčin.
- Ak je teda bodový súčin kladný, cosθ je kladný. Nachádzame sa v prvom kvadrante jednotkovej kružnice s θ <π / 2 alebo 90°. Uhol je ostrý.
- Ak je bodový súčin záporný, cosθ je záporný. Nachádzame sa v druhom kvadrante jednotkovej kružnice s π / 2 <θ ≤ π alebo 90° <θ ≤ 180°. Uhol je tupý.

Prečítajte si tiež: Ako rozobrať červa?

Ako nájsť uhol medzi dvoma vektormi?

Kroky

Časť 1 z 2: nájdenie uhla medzi dvoma vektormi

Časť 2 z 2: definícia vzorca uhla

Tipy

Otázky a odpovede

Komentáre (11)

Prečítajte si tiež: