Ako písať komplexné funkcie vo forme u+iv?
Rovnako ako komplexné čísla je možné písať vo forme, v ktorej rozdeľujeme komplexné číslo na jeho reálne a imaginárne zložky, komplexné funkcie je možné písať aj tak, kde a sú funkciami s reálnou hodnotou.
Komplexná funkcia je funkcia, ktorá prijíma a vydáva komplexné čísla. Rovnako ako komplexné čísla možno zapísať v tvare z = x + iy, {\ displaystyle z = x + iy,} , kde sme do svojej skutočnej a imaginárne zložky od seba vezme komplexné číslo, komplexné funkcie môže tiež byť písaný ako w = u (x, y) + IV (X, y), {\ displaystyle w = u (x, y) + IV (X, y),} , kde u {\ displaystyle u} a v {\ displaystyle v} sú skutočné -hodnotené funkcie. Zápis funkcie týmto spôsobom je tak jednoduché, ako substitúciou z = x + iy {\ displaystyle z = x + iy} a zjednodušenie.
Časť 1 z 3: príklad 1
- 1Napíšte w = ez {\ displaystyle w = e^{z}} z hľadiska jeho skutočných a imaginárnych zložiek. Exponenciálny funkcie je jedným z prvých funkcií zavedených v komplexnej analýzy z mnohých dôvodov, najmä v tom, že to je jeho vlastný derivát, a zdôrazňuje, že je veľmi dôležité, vzťah medzi rotácie a exponenciálmi.
- 2Nahraďte funkciu z = x+iy {\ displaystyle z = x+iy} . Použite vzťah exponentu ea+b = eaeb. {\ Displaystyle e^{a+b} = e^{a} e^{b}.}
- w = ex+iy = exeiy {\ displaystyle w = e^{x+iy} = e^{x} e^{iy}}
- 3Na rozloženie komplexného exponenciálu použite Eulerov vzorec.
- w = ex (cosy+isiny) {\ displaystyle w = e^{x} (\ cos y+i \ sin y)}
- Táto funkcia je teraz v U + IV {\ displaystyle u + iv} formulára. Tu máme u (x, y) = excosy {\ displaystyle u (x, y) = e^{x} \ cos y} a v (x, y) = exsiny. {\ Displaystyle v (x, y) = e^{x} \ hriech.}
Časť 2 z 3: príklad 2
- 1Napíšte w = 1/z {\ Displaystyle w = 1/z} z hľadiska jeho skutočných a imaginárnych zložiek. Nahraďte funkciu z = x+iy {\ displaystyle z = x+iy} .
- w = 1x+iy {\ displaystyle w = {\ frac {1} {x+iy}}}
- 2Vynásobte čitateľa a menovateľa komplexným konjugátom a zjednodušte.
- 1x+iyx − iyx − iy = x − iyx2+y2 {\ displaystyle {\ frac {1} {x+iy}} {\ frac {x-iy} {x-iy}} = {\ frac {x-iy } {x^{2}+y^{2}}}}
- 3Oddeľte skutočné a imaginárne komponenty.
- w = xx2+y2 − iyx2+y2 {\ displaystyle w = {\ frac {x} {x^{2}+y^{2}}}-i {\ frac {y} {x^{2}+y ^{2}}}}
Spojte skutočné a imaginárne komponenty.
Časť 3 z 3: príklad 3
- 1Napíšte w = ez+e − z {\ displaystyle w = e^{z}+e^{-z}} z hľadiska jeho skutočných a imaginárnych zložiek. Nahraďte funkciu z = x+iy {\ displaystyle z = x+iy} .
- w = ex+iy+e − x − iy {\ displaystyle w = e^{x+iy}+e^{-x-iy}}
- 2Na rozloženie komplexných exponenciálov použite Eulerov vzorec. Výraz e − iy {\ displaystyle e^{-iy}} je konjugátom eiy. {\ Displaystyle e^{iy}.}
- w = ex (cosy+isiny)+e − x (cosy − isiny) {\ Displaystyle w = e^{x} (\ cos y+i \ sin y)+e^{- x} (\ cos yi \ sin y)}
- 3Spojte skutočné a imaginárne komponenty dohromady.
- w = cosy (ex+e − x)+isiny (ex − e − x) {\ Displaystyle w = \ cos y (e^{x}+e^{-x})+i \ sin y (e^{x} -e^{-x})}
- 4Zjednodušte používanie hyperbolických funkcií. Pripomeňme, že hyperbolické funkcie sú definované ako coshx = ex+e − x2 {\ displaystyle \ cosh x = {\ frac {e^{x}+e^{-x}} {2}}} a sinhx = ex − e − x2. {\ Displaystyle \ sinh x = {\ frac {e^{x} -e^{-x}} {2}}.}
- w = 2cosycoshx+i2sinysinhx {\ displaystyle w = 2 \ cos y \ cosh x+i2 \ sin y \ sinh x}
Prečítajte si tiež: Ako čítať einsteina?
