Ako vyriešiť vzťahy s opakovaním?

Že akékoľvek opakovanie tvaru an = r * an-1 je geometrická postupnosť — Uvedomte si, že akékoľvek opakovanie tvaru an = r * an-1 je geometrická postupnosť.

Pri pokuse nájsť vzorec pre nejakú matematickú postupnosť je bežným medzistupňom nájsť n ^-tý výraz, nie ako funkciu n, ale z hľadiska skorších výrazov sekvencie. Napríklad, keď by bolo pekné mať funkciu uzavretého tvaru pre n ^-tý termín Fibonacciho sekvencie, niekedy máte len recidivný vzťah, a to ten, že každý člen Fibonacciho postupnosti je súčtom predchádzajúcich dvoch výrazov.. Tento článok predstaví niekoľko spôsobov, ako odvodiť vzorec uzavretého formulára z opakovania.

Metóda 1 z 5: aritmetika

1

Uvažujme aritmetickú postupnosť ako 5, 8, 11, 14, 17, 20,....
2

Pretože každý výraz je o 3 väčší ako predchádzajúci, môže byť vyjadrený ako opakovanie, ako je znázornené.
3

Uvedomte si, že akékoľvek opakovanie tvaru a _n = a _n-1 + d je aritmetická postupnosť.
4

Napíšte vzorec uzavretej formy pre aritmetickú postupnosť, prípadne s neznámymi, ako je to znázornené.
5

Vyriešte všetky neznáme v závislosti od toho, ako bola sekvencia inicializovaná. V tomto prípade, pretože 5 bol 0 ^th termín, vzorec je _n = 5 + 3n. Ak by ste namiesto toho chceli, aby 5 bolo prvým výrazom, dostali by ste _n = 2 + 3n.

Metóda 2 z 5: geometrická

1

Zvážte geometrickú postupnosť, ako sú 3, 6, 12, 24, 48,....
2

Pretože každý výraz je dvakrát predchádzajúci, môže byť vyjadrený ako opakovanie, ako je znázornené.
3

Uvedomte si, že akékoľvek opakovanie tvaru a _n = r * a _n-1 je geometrická postupnosť.
4

Napíšte vzorec uzavretej formy pre geometrickú postupnosť, prípadne s neznámymi, ako je to znázornené.
5

Vyriešte všetky neznáme v závislosti od toho, ako bola sekvencia inicializovaná. V tomto prípade, pretože 3 bol 0 ^th termín, vzorec je _n = 3 * 2 ⁿ. Ak by ste namiesto toho chceli, aby 3 bol prvý výraz, dostali by ste _n = 3*2 ^(n-1).

Že akékoľvek opakovanie tvaru an = an-1 + d je aritmetická postupnosť — Uvedomte si, že akékoľvek opakovanie tvaru an = an-1 + d je aritmetická postupnosť.

Metóda 3 z 5: polynóm

1

Uvažujme postupnosť 5, 0, -8, -17, -25, -30,... dané rekurziou a _n = a _{n -1} + n ² - 6n.
2

Akákoľvek rekurzia zobrazeného tvaru, kde p (n) je akýkoľvek polynóm v n, bude mať polynomický vzorec uzavretej formy o stupeň vyššie ako stupeň p.
3

Napíšte všeobecnú formu polynómu požadovaného stupňa. V tomto prípade je p kvadratické, takže na reprezentáciu postupnosti a _n budeme potrebovať kubický.
4

Pretože všeobecný kubický má štyri neznáme koeficienty, na vyriešenie výsledného systému sú potrebné štyri členy sekvencie. Postačia akékoľvek štyri, použime teda výrazy 0, 1, 2 a 3. Spustenie opakovania dozadu na nájdenie -1. ^Výrazu môže niektoré výpočty uľahčiť, ale nie je to nevyhnutné.
5
Buď vyriešte výsledný systém deg (p) +2 rovníc v deg (p) = 2 neznámych, alebo vložte lagrangeov polynóm do deg (p) +2 známych bodov.
- Ak bol nulový člen jedným z výrazov, ktoré ste použili na vyriešenie koeficientov, získate bezplatne konštantný člen polynómu a môžete systém okamžite zmenšiť na rovnice deg (p) +1 v deg (p) +1 neznáme ako zobrazené.
6

Prezentujte uzavretý vzorec pre _n ako polynóm so známymi koeficientmi.

Prečítajte si tiež: Ako zjednodušiť matematické výrazy?

Metóda 4 z 5: lineárna

1

Toto je prvá metóda schopná vyriešiť sekvenciu fibonacci v úvode, ale metóda rieši každú recidívu, kde n ^-tý člen je lineárnou kombináciou predchádzajúcich k -pojmov. Skúsme to teda na inom uvedenom príklade, ktorého prvé výrazy sú 1, 4, 13, 46, 157,....
2

Napíšte charakteristický polynóm opakovania. To sa zistí tak, že každé a _n v rekurzii sa nahradí x ⁿ a vydelí sa x ^(nk), pričom zostane monický polynóm stupňa k a nenulový konštantný člen.
3

Vyriešte charakteristický polynóm. V tomto prípade má charakteristika stupeň 2, takže môžeme použiť kvadratický vzorec na nájdenie jej koreňov.
4
Akýkoľvek výraz v zobrazenej forme vyhovuje rekurzii. C _i sú akékoľvek konštanty a základom exponentov sú korene k vyššie uvedenej charakteristike. To je možné overiť indukciou.
- Ak má charakteristika viacnásobný koreň, tento krok sa mierne upraví. Ak r je koreň multiplicity m, použite (c ₁ r ⁿ + c ₂ nr ⁿ + c ₃ n ² r ⁿ +... + c _m n ^m-1 r ⁿ) namiesto jednoducho (c ₁ r ⁿ). Sekvencia začínajúca 5, 0, -4, 16, 144, 640, 2240,... napríklad spĺňa rekurzívny vzťah a _n = 6a _n- 1-12a _n-2 + 8a _n-3. Charakteristický polynóm má trojitý koreň 2 a vzorec uzavretej formy a _n = 5*2ⁿ - 7*n*2 ⁿ + 2*n ² *2 ⁿ.
5

Nájdite c _i, ktoré spĺňa špecifikované počiatočné podmienky. Rovnako ako v prípade polynómu sa to robí vytvorením lineárneho systému rovníc z počiatočných pojmov. Pretože tento príklad má dve neznáme, potrebujeme dva výrazy. Akékoľvek dva urobí, takže si 0 ^th a 1 ^oko, aby nemuseli zvyšovať iracionálne číslo vysokým výkonom.
6

Vyriešte výsledný systém rovníc.
7

Výsledné konštanty zapojte do všeobecného vzorca ako riešenie.

Pretože každý výraz je dvakrát predchádzajúci, môže byť vyjadrený ako opakovanie, ako je znázornené.

Metóda 5 z 5: generovanie funkcií

1

Uvažujme postupnosť 2, 5, 14, 41, 122... danú zobrazenou rekurziou. To sa nedá vyriešiť žiadnou z vyššie uvedených metód, ale vzorec je možné nájsť pomocou generujúcich funkcií.
2

Napíšte generujúcu funkciu sekvencie. Generujúca funkcia je jednoducho formálna mocninová séria, kde koeficient x ⁿ je n ^-tý člen sekvencie.
3

Manipulujte s funkciou generovania, ako je znázornené. Cieľom v tomto kroku je nájsť rovnicu, ktorá nám umožní vyriešiť generujúcu funkciu A (x). Extrahujte počiatočný termín. Vzťah opakovania aplikujte na zostávajúce podmienky. Rozdeľte súčet. Extrahujte konštantné výrazy. Použite definíciu A (x). Na súčet geometrických radov použite vzorec.
4

Nájdite funkciu generovania a (x).
5

Nájdite koeficient x ⁿ v a (x). Spôsoby, ako to urobiť, sa budú líšiť v závislosti od toho, ako presne A (x) vyzerá, ale metóda parciálnych zlomkov v kombinácii so znalosťou generujúcej funkcie geometrickej postupnosti tu funguje, ako je znázornené.
6

Napíšte vzorec pre a _{n tak,} že identifikujete koeficient x ⁿ v a (x).

Pretože každý výraz je o 3 väčší ako predchádzajúci, môže byť vyjadrený ako opakovanie, ako je znázornené.

Tipy

Indukcia je tiež obľúbenou technikou. Indukciou je často ľahké dokázať, že určený vzorec spĺňa zadanú rekurziu, ale problém je v tom, že vzorec uhádnete vopred.
Niektoré z týchto metód sú výpočtovo náročné a majú veľa príležitostí urobiť hlúpu chybu. Je dobré skontrolovať vzorec podľa niekoľkých známych výrazov.
„V matematike sú Fibonacciho čísla alebo Fibonacciho postupnosť čísla v nasledujúcom celočíselnom poradí: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...
- Fibonacciho špirála: aproximácia zlatej špirály vytvorenej kresbou kruhových oblúkov spájajúcich protiľahlé rohy štvorcov vo Fibonacciho obklade; tento používa štvorce veľkostí 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 a 34.
- Podľa definície sú prvé dve čísla vo Fibonacciho sekvencii buď 1 a 1, alebo 0 a 1, v závislosti od zvoleného počiatočného bodu sekvencie, a každé nasledujúce číslo je súčtom predchádzajúcich dvoch.
- V matematických termínoch je postupnosť F _n Fibonacciho čísel definovaná vzťahom rekurencie
- F _n = F _n-1 + F _n-2 s hodnotami osiva F ₁ = 1, F ₂ = 1 alebo F ₀ = 0, F ₁ = 1.
- Limit, ako n zvyšuje pomer F _n /F _n-1, je známy ako zlatý pomer alebo zlatý priemer alebo Phi (Φ), a teda je limit aj vtedy, keď sa n zvyšuje pomerom F _n-1 /F _n.“ ¹