Ako vypočítať čas zdvojnásobenia?

Ak chcete vypočítať čas zdvojnásobenia, najskôr vynásobte svoje tempo rastu 100 a preveďte ho na percento.

Populácia baktérií, peniaze investované so zaručenou úrokovou sadzbou, populácia určitých miest; tieto množstvá majú tendenciu exponenciálne rásť. To znamená, že čím sú väčšie, tým rýchlejšie rastú. S krátkym „zdvojnásobením“ alebo časom, ktorý množstvo potrebuje na rast, sa aj malé množstvo môže rýchlo stať obrovským. Naučte sa nájsť túto hodnotu pomocou rýchleho a jednoduchého vzorca alebo sa ponorte do matematiky za ňou.

Metóda 1 z 2: Odhad času zdvojnásobenia pomocou pravidla 70

1
Skontrolujte, či je rýchlosť rastu pre túto metódu dostatočne malá. Zdvojnásobenie času je koncept používaný pre veličiny, ktoré rastú exponenciálne. Najbežnejšími príkladmi sú úrokové sadzby a rast populácie. Ak je rýchlosť rastu nižšia ako asi 0,15 za časový interval, môžeme na rýchly odhad použiť túto rýchlu metódu. Ak vám problém neposkytne rýchlosť rastu, môžete ho nájsť v desatinnej forme pomocou CurrentQuantity-PastQuantityPastQuantity {\ displaystyle {\ frac {CurrentQuantity-PastQuantity} {PastQuantity}}} ${\ frac {currentquantity-pastquantity} {pastquantity}}$ .
- Príklad 1: Populácia ostrova rastie exponenciálnym tempom. V rokoch 2015 až 2016 sa počet obyvateľov zvyšuje z 20000 na 2800 800. Aké je tempo rastu obyvateľstva?
  - 22800 - 20000 = 2800 nových ľudí. 2800 ÷ 20000 = 0,14, takže populácia rastie o 0,14 ročne. To je dosť malé na to, aby bol odhad dosť presný.
2
Vynásobte rýchlosť rastu číslom 100 a vyjadrite ju v percentách. Väčšine ľudí to pripadá intuitívnejšie ako desatinný zlomok.
- Príklad 1 (pokračovanie): Ostrov mal rýchlosť rastu 0,14, zapísanú ako desatinné miesto. To predstavuje ${\ frac {0,14} {1}}$ . Vynásobením čitateľa a menovateľa číslom 100 získate ${\ frac {0,14} {1}} x {\ frac {100} {100}} = {\ frac {14} {100}} =$ 14% ročne.
3
Rozdeľte 70 percentuálnym tempom rastu. Odpoveďou bude počet časových intervalov, počas ktorých sa množstvo zdvojnásobí. Uistite sa, že rýchlosť rastu vyjadríte v percentách, nie desatinne, inak bude vaša odpoveď vypnutá. (Ak vás zaujíma, prečo toto pravidlo „70“ funguje, prečítajte si podrobnejšiu metódu nižšie.)
- Príklad 1 (pokračovanie): Tempo rastu bolo 14%, takže požadovaný počet časových intervalov je ${\ frac {70} {14}} = 5$ .
Ako vypočítam čas zdvojenia?
4
Premeňte svoju odpoveď na požadovanú jednotku času. Vo väčšine prípadov už budete mať odpoveď v rokoch, sekundách alebo inom pohodlnom meraní. Ak ste však merali tempo rastu za dlhšie časové obdobie, možno budete chcieť znásobiť, aby ste získali odpoveď v jednotkách času.
- Príklad 1 (pokračovanie): Pretože sme v tomto prípade merali rast počas jedného roka, každý časový interval je jeden rok. Populácia ostrova sa zdvojnásobuje každých 5 rokov.
- Príklad 2: Druhý blízky ostrov plný pavúkov je oveľa menej populárny. Rozrástla sa tiež z 20000 na 2800 800 obyvateľov, ale trvalo to 20 rokov. Aký je čas zdvojnásobenia tejto populácie za predpokladu, že je exponenciálny?
  - Tento ostrov má za 20 rokov 14% nárast. „Pravidlo 70“ nám hovorí, že zdvojnásobenie bude tiež trvať 5 časových intervalov, ale v tomto prípade je každý časový interval 20 rokov. (5 časových intervalov) x (20 ^rokov / _{časový interval}) = 100 rokov, aby sa populácia ostrova zamoreného pavúkmi zdvojnásobila.

Metóda 2 z 2: Odvodenie vzorca „pravidlo 70“

1
Pochopte vzorec exponenciálnej miery rastu. Ak sa začať s počiatočným množstvom A0 {\ displaystyle a_ {0}} $A_ {0}$ , ktorá rastie exponenciálne, konečné množstvo Af {\ displaystyle A_ {f}} $A_ {f}$ je popísaná vzorcom Af = A0 (1 + r) t {\ displaystyle A_ {f} = A_ {0} (1+r)^{t}} $A_ {f} = a_ {0} (1+r)^{{t}}$ . Premenná r predstavuje rýchlosť rastu za časové obdobie (ako desatinné miesto) a t je počet časových období.
- Aby ste pochopili tento vzorec, predstavte si investíciu 75€ s ročnou úrokovou sadzbou 0,02. Zakaždým, keď vypočítate rast, vynásobíte sumu, ktorú máte, číslom 1,02. Po jednom roku je to (75€) (1,02), po dvoch rokoch to je (75€) (1,02) (1,02) atď. To zjednodušuje $(1,02)^{t}$ , kde t je počet časových období.
- Poznámka: Ak r a t nepoužívajú rovnakú časovú jednotku, použite vzorec $A_ {f} = a_ {0} (1+{\ frac {r} {n}})^{{nt}}$ , kde n je počet rastu doby je vypočítaná za časové obdobie. Ak napríklad r = 0,05 za mesiac a t = 4 roky, použite n = 12, pretože v roku je dvanásť mesiacov.
2
Prepíšte tento vzorec pre kontinuálny rast. Vo väčšine situácií v reálnom svete množstvo rastie „nepretržite“ namiesto toho, aby sa zvyšovalo iba v pravidelných intervaloch. V tomto prípade je vzorec pre rast pomocou matematickej konštanty e = Af $A_ {f} = a_ {0} (e)^{{rt}}$ . A
- Tento vzorec sa často používa na aproximáciu rastu populácie a vždy pri výpočte nepretržitého zloženého úroku. V situáciách, kde sa rast počíta v pravidelných intervaloch, ako je napríklad ročný úrok, je vyššie uvedený vzorec presnejší.
- Môžete to odvodiť zo vzorca z vyššie uvedeného pomocou konceptov počtu.
3
Pripojte hodnoty pre zdvojnásobenú populáciu. Keď populácie zdvojnásobí, konečné množstvo Af {\ displaystyle A_ {f}} $A_ {f}$ bude rovnať dvojnásobku počiatočné množstvo alebo 2A0 {\ displaystyle 2A_ {0}} $2a_ {0}$ . Zapojte to do vzorca a odstráňte všetky výrazy A pomocou algebry:
- $2a_ {0} = a_ {0} (e)^{{rt}}$
- Rozdeľte obe strany podľa $A_ {0}$
- $2 = e^{{rt}}$
S krátkym „zdvojnásobením“ alebo časom, ktorý množstvo potrebuje na rast, sa aj malé množstvo môže rýchlo stať obrovským.
4
Usporiadať tak, aby sa vyriešil pre t. Ak ste sa ešte nedozvedeli o logaritmoch, možno nebudete vedieť, ako dostať t z exponentu. Termín logm (n) {\ displaystyle log_ {m} (n)} $Log_ {m} (n)$ znamená „exponent m sa zvýši o, aby sa dostal n.“ Pretože sa konštanta e v situáciách reálneho sveta vyskytuje tak často, existuje špeciálny termín „prirodzený protokol“, skrátený „ln“, čo znamená loge {\ displaystyle log_ {e}} $Log_ {e}$ . Toto použite na izoláciu t na jednej strane rovnice:
- $2 = e^{{rt}}$
- $Ln (2) = ln (e^{{rt}})$
- $Ln (2) = rt$
- ${\ frac {ln (2)} {r}} = t$
5
Pripojte rýchlosť rastu a riešte. Teraz môžete vyriešiť úlohu t zadaním desatinného tempa rastu r do tohto vzorca. Všimnite si, že ln (2) sa približne rovná 0,69. Keď prepočítate mieru rastu z desatinnej na percentuálnu formu, môžete túto hodnotu zaokrúhliť, aby ste získali vzorec „pravidlo 70“.
- Teraz, keď poznáte tento vzorec, môžete ho upraviť tak, aby riešil podobné problémy. Nájdite „trojnásobný čas“ napríklad pomocou vzorca $T _ {{triple}} = {\ frac {ln (3)} {r}}$ .

Tipy

Niektoré finančné investície kolíšu hore a dole namiesto toho, aby rástli stabilným tempom. Na porovnanie s inými možnosťami používajú investori vzorec zloženej ročnej miery rastu (CAGR): $({\ frac {a_ {f}} {a_ {0}}})^{{{\ frac {1} {t}}}}-1$ . Odpoveď vám povie, aká by bola exponenciálna miera rastu, keby bol rast stabilný. Všimnite si toho, že toto tempo rastu je v desatinnej forme.

Pri lineárnom tempe rastu neexistuje konštantný čas zdvojnásobenia, ale problém s časom zdvojnásobenia pre konkrétny časový úsek môžete vyriešiť.
Ak rast prebieha konštantným tempom bez ohľadu na celkovú veľkosť (napríklad „5 ľudí za rok“ namiesto percenta), nepoužívajte vyššie uvedenú metódu. Charakterizujte tento lineárny rastový vzorec ako $A_ {t} = a_ {0}+RT$ , kde $A_ {t}$ je čiastka v čase t, $A_ {0}$ je množstvo v čase 0, r je konštantná rýchlosť rastu a t je čas, ktorý uplynul. Pri lineárnom tempe rastu neexistuje konštantný čas zdvojnásobenia, ale problém s časom zdvojnásobenia pre konkrétny časový úsek môžete vyriešiť. Nastaviť $A_ {t}$ rovná sa $2a_ {0}$ a vyrieši t. Vaša odpoveď bude pravdivá iba pre túto konkrétnu hodnotu $A_ {0}$ .

Varovania

Niektorí sprievodcovia namiesto toho používajú vzorec 0,7 ÷ rýchlosť rastu. Toto je správny vzorec, keď je rýchlosť rastu vyjadrená ako desatinné miesto. Uistite sa, že si to nezamieňate s vyššie uvedeným vzorcom (70 ÷ miera rastu v percentách), inak bude vaša odpoveď vypnutá 100 -krát.

Prečítajte si tiež: Ako nájsť vrchol?

Ako vypočítať čas zdvojnásobenia?

Kroky

Metóda 1 z 2: Odhad času zdvojnásobenia pomocou pravidla 70

Metóda 2 z 2: Odvodenie vzorca „pravidlo 70“

Tipy

Varovania

Otázky a odpovede

Prečítajte si tiež: