Ako vyriešiť polynómy vyššieho stupňa?

Ak chcete vyriešiť polynómy vyššieho stupňa, zo všetkých výrazov vylúčte všetky spoločné faktory, aby ste polynóm čo najviac zjednodušili.

Riešenie polynómu vyššieho stupňa má rovnaký cieľ ako kvadratický alebo jednoduchý výraz algebry: faktorujte ho čo najviac, potom pomocou faktorov nájdite riešenia polynómu pri y = 0. Existuje mnoho prístupov k riešeniu polynómov pomocou $X^{3}$ termín alebo vyšší. Možno budete musieť použiť niekoľko, než nájdete ten, ktorý funguje na váš problém.

Metóda 1 z 2: rozpoznanie faktorov

1
Vylúčte zo všetkých pojmov spoločné faktory. Ak má každý výraz v polynóme spoločný faktor, problém zjednodušte. To nie je možné pri všetkých polynómoch, ale je to dobrý spôsob, ako najskôr skontrolovať.
- Príklad 1: Riešenie pre x v polynóme $2x^{{3}}+12x^{{2}}+16x = 0$ .
  Každý výraz je deliteľný 2x, takže to spočítajte:
  $(2x) (x^{{2}})+(2x) (6x)+(2x) (8) = 0$
  $= (2x) (x^{{2}}+6x+8)$
  Teraz vyriešte kvadratickú rovnicu pomocou kvadratický vzorec alebo faktoring:
  $(2x) (x+4) (x+2) = 0$
  Riešenia sú pri 2x = 0, x+ 4 = 0 a x+2 = 0.
  Riešenia sú x = 0, x = -4 a x = -2.
2
Identifikujte polynómy, ktoré pôsobia ako kvadratické. Pravdepodobne už viete, ako riešiť polynómy druhého stupňa, v tvare ax2+bx+c {\ Displaystyle ax^{2}+bx+c} $Ax^{{2}}+bx+c$ . Rovnakým spôsobom môžete vyriešiť niektoré polynómy vyššieho stupňa, ak sú v tvare ax2n+bxn+c {\ Displaystyle ax^{2n}+bx^{n}+c} $Ax^{{2n}}+bx^{{n}}+c$ . Tu je pár príkladov:
- Príklad 2: $3x^{{4}}+4x^{{2}}-4 = 0$
  Let $A = x^{{2}}$ :
  $3a^{{2}}+4a-4 = 0$
  Vyriešte kvadratiku ľubovoľnou metódou:
  $(3a-2) (a+2) = 0$ so a = -2 alebo a = 0,67
  Náhrada za: $x2 = −2 {\ displaystyle x^{2} = -2}$ alebo $x2 = 0,67 {$ $X^{2}$ $\ Displaystyle x^{2} = 0,67}$ x = ± √ (0,67). Druhá rovnica, $x2 = −2 {\ Displaystyle x^{2} =-2}$ , nemá žiadne skutočné riešenie. (Ak používate komplexné čísla, riešte ako x = ± i√2). $X^{{2}} =-2$ $X^{{2}} = 0,67$
  $X^{{2}} =-2$
- Príklad 3: $X^{{5}}+7x^{{3}}-9x = 0$ sa neriadi týmto vzorom, ale všimnite si, že môžete vylúčiť x:
  $(x) (x^{{4}}+7x^{{2}}-9) = 0$
  Teraz môžete zaobchádzať s $X^{{4}}+7x^{{2}}-9$ ako kvadratický, ako je znázornené v príklade 2.
3
Faktorové súčty alebo rozdiely kociek. Tieto špeciálne prípady sa ťažko hľadajú, ale majú vlastnosti, ktoré robia problém oveľa jednoduchším:
- Súčet kociek: polynóm v tvare $A^{{3}}+b^{{3}}$ faktory do $(a+b) (a^{{2}}-ab+b^{{2}})$ .
- Rozdiel v kockách: Polynom v tvare $A^{{3}}-b^{{3}}$ na $(ab) (a^{{2}}+ab+b^{{2}})$ .
- Všimnite si toho, že kvadratická časť výsledku nie je faktorovateľná.
- Všimnite si, že týmto vzorcom vyhovuje $X^{6}$ , $X^{9}$ a x akejkoľvek sily deliteľnej 3.
4
Hľadaj vzorce a nájdi ďalšie faktory. Polynomy, ktoré nevyzerajú ako vyššie uvedené príklady, nemusia mať žiadne zrejmé faktory. Predtým, ako vyskúšate nižšie uvedené metódy, však skúste nájsť dvojdielny faktor (napríklad „x+3“). Zoskupenie výrazov v rôznych poradiach a vylúčenie časti polynómu vám môže pomôcť nájsť ho. Nie je to vždy uskutočniteľný prístup, takže netrávte príliš veľa času skúšaním, ak sa zdá, že neexistuje žiadny spoločný faktor.
- Príklad 4: $-3x^{{3}}-x^{{2}}+6x+2 = 0$
  Toto nemá žiadny zrejmý faktor, ale môžete prvé dva výrazy a uvidíme, čo sa stane:
  $(-x^{{2}}) (3x+1)+6x+2 = 0$
  Teraz vezmite do úvahy posledné dva výrazy (6x +2) s cieľom spoločného faktora:
  $(-x^{{2}}) (3x+1)+(2) (3x+1) = 0$
  Teraz to prepíšte pomocou spoločného faktora, 3x+1:
  $(3x+1) (-x^{{2}}+2) = 0$

Ako vyriešiť polynómy druhého stupňa vo forme — Pravdepodobne už viete, ako vyriešiť polynómy druhého stupňa vo forme.

Metóda 2 z 2: Racionálne korene a syntetické delenie

1
Skúste identifikovať jeden koreň polynómu. Syntetické delenie je užitočný spôsob na faktorovanie polynómov vysokého rádu, funguje však iba vtedy, ak poznáte jeden z koreňov (alebo „núl“). Možno to dokážete nájsť faktoringom, ako je popísané vyššie, alebo problém môže poskytnúť jeden. Ak je to tak, preskočte na návod k syntetickému deleniu. Ak nepoznáte koreň, pokračujte ďalším krokom a pokúste sa ho nájsť.
- Koreň polynómu je hodnota x, pre ktorú y = 0. Poznanie koreňa c vám tiež poskytne faktor polynómu, (x - c).

Ako vyriešiť polynóm vyššieho stupňa syntetickým delením — Pokračujte v čítaní, aby ste sa dozvedeli, ako vyriešiť polynóm vyššieho stupňa syntetickým delením!

Testovanie racionálnych koreňov

1
Uveďte faktory konštantného výrazu. Test „racionálnych koreňov“ je spôsob, ako odhadnúť možné koreňové hodnoty. Na začiatok uveďte zoznam všetkých faktorov konštanty (výraz bez premennej).
- Príklad: Polynom $2x^{{3}}+x^{{2}}-12x+9$ má konštantný $člen$ 9. Jeho faktory sú 1, 3 a 9.
2
Uveďte faktory vedúceho koeficientu. Toto je koeficient v prvom termíne polynómu, keď je usporiadaný od termínu najvyššieho stupňa k najnižšiemu. Uveďte všetky faktory tohto čísla na samostatnom riadku.
- Príklad (pokračovanie): $2x^{{3}}+x^{{2}}-12x+9$ má vedúci koeficient 2. Jeho faktory sú 1 a 2.
3
Nájdite možné korene. Ak má polynóm racionálny koreň (čo nemusí), musí sa rovnať ± (faktor konštanty)/(faktor vedúceho koeficientu). Iba číslo c v tejto forme sa môže objaviť vo faktore (xc) pôvodného polynómu.
- Príklad (pokračovanie): Všetky racionálne korene tohto polynómu sú vo forme (1, 3 alebo 9) delené (1 alebo 2). Možnosti zahŕňajú ± 1, ± 0,5, ± 3, ± 1,5, ± 9 alebo ± 4,5. Nezabudnite na „±“: každá z týchto možností môže byť pozitívna alebo negatívna.
4
Otestujte korene, kým nenájdete ten, ktorý vám vyhovuje. Žiadny z nich nie je zaručený ako koreň, takže ich budete musieť otestovať pomocou pôvodného polynómu.
- Príklad: (1 = 1) je možný koreň. Ak sa ukáže, že je to skutočný koreň, jeho zapojenie do polynómu by malo viesť k nule.
  $2 (1)^{{3}}+(1)^{{2}}-12 (1)+9 = 2+1-12+9 = 0$ , takže 1 sa potvrdí ako koreň.
  To znamená, že polynóm má faktor (x-1).
- Ak žiadna z možností nevyjde, polynóm nemá racionálne korene a nemožno ho zadať.

Syntetické delenie

1
Nastavte problém so syntetickým delením. Syntetické delenie je spôsob, ako nájsť všetky faktory polynómu, ak už jeden z nich poznáte. Ak ho chcete nastaviť, napíšte koreň polynómu. Nakreslite zvislú čiaru napravo od nej a potom napíšte koeficienty vášho polynómu usporiadané od najvyššieho stupňa exponentu po najnižší. (Nie je potrebné písať samotné termíny, ale iba koeficienty.)
- Poznámka: Možno budete musieť vložiť výrazy s nulovým koeficientom. Napríklad prepíšte polynóm $X^{3}+2x$ ako $X^{3}+0x^{2}+2x+0$ .
- Príklad (pokračovanie): Racionálny test koreňov vyššie nám povedal, že polynóm $2x^{{3}}+x^{{2}}-12x+9$ má koreň 1.
  Napíšte koreň. 1, za ktorou nasleduje zvislá čiara, za ktorou nasledujú koeficienty polynómu:
  ${\ begin {pmatrix} 1 | and2and1and-12and9 \ end {pmatrix}}$
2
Vykonajte zníženie prvého koeficientu. Skopírujte prvý koeficient do riadka odpovede. Nechajte medzi týmito dvoma číslami prázdny riadok pre neskoršie výpočty.
- Príklad (pokračovanie): Pokračujte 2 do riadku odpovede:
  ${\ begin {pmatrix} 1 | and2and1and-12and9 \\\\ and2 \ end {pmatrix}}$
3
Vynásobte toto číslo koreňom. Odpoveď napíšte priamo pod nasledujúci výraz, ale nie do riadka odpovede.
- Príklad (pokračovanie): Vynásobte 2 koreňom 1, aby ste znova dostali 2. Napíšte toto 2 do nasledujúceho stĺpca, ale do druhého riadka namiesto riadka odpovede:
  ${\ begin {pmatrix} 1 | and2and1and-12and9 \\ andand2 \\ and2 \ end {pmatrix}}$
4
Sčítaním obsahu stĺpca získate ďalšiu časť odpovede. Druhý stĺpec koeficientu teraz obsahuje dve čísla. Zosumarizujte ich a výsledok napíšte do riadka s odpoveďou priamo pod ne.
- Príklad (pokračovanie): 1 + 2 = 3
  ${\ begin {pmatrix} 1 | and2and1and-12and9 \\ andand2 \\ and2and3 \ end {pmatrix}}$
5
Výsledok vynásobte koreňom. Rovnako ako predtým, vynásobte najnovšie číslo v riadku odpovede koreňom. Napíšte svoju odpoveď pod nasledujúci koeficient.
- Príklad (pokračovanie): 1 x 3 = 3:
  ${\ begin {pmatrix} 1 | and2and1and-12and9 \\ andand2and3 \\ and2and3 \ end {pmatrix}}$
6
Nájdite súčet nasledujúceho stĺpca. Rovnako ako predtým, spočítajte dve čísla v stĺpci a výsledok napíšte do riadka odpovede.
- Príklad (pokračovanie): -12 + 3 = -9:
  ${\ begin {pmatrix} 1 | and2and1and-12and9 \\ andand2and3 \\ and2and3and-9 \ end {pmatrix}}$
7
Tento postup opakujte, kým sa nedostanete do posledného stĺpca. Posledné číslo v riadku odpovede bude vždy nula. Ak dosiahnete akýkoľvek iný výsledok, skontrolujte, či vaša práca neobsahuje chyby.
- Príklad (pokračovanie): Vynásobte -9 koreňom 1, odpoveď napíšte do posledného stĺpca a potom potvrďte, že súčet posledného stĺpca je nula:
  ${\ begin {pmatrix} 1 | and2and1and-12and9 \\ andand2and3and-9 \\ and2and3and-9and0 \ end {pmatrix}}$
8
Pomocou riadku odpovede nájdite ďalší faktor. Teraz ste rozdelili polynóm výrazom (x - c), kde c je váš faktor. Riadok odpovede vám povie koeficient každého výrazu vo vašej odpovedi. Podiel x každého výrazu má jeden exponent nižší ako pôvodný výraz priamo nad ním.
- Príklad (pokračovanie): Riadok odpovede je 2 3 -9 0, ale konečnú nulu môžete ignorovať.
  Vzhľadom k tomu, prvé funkčné pôvodné polynómu zahŕňal $X^{3}$ je prvá funkčná odpoveď je jeden stupeň nižší: $X^{2}$ . Preto je prvý výraz $2x^{2}$
  tento postup zopakujte, aby ste dostali odpoveď $2x^{2}+3x-9$ .
  Teraz ste zapracovali $2x^{{3}}+x^{{2}}-12x+9$ do $(x-1) (2x^{2}+3x-9)$ .
9
V prípade potreby zopakujte. Svoju odpoveď môžete rozdeliť na menšie časti pomocou rovnakej metódy syntetického delenia. Na vyriešenie problému však môžete použiť rýchlejší spôsob. Akonáhle máte napríklad kvadratický výraz, môžete ho faktorizovať pomocou kvadratického vzorca.
- Nezabudnite, že na spustenie metódy syntetického delenia budete potrebovať už jeden koreň. Na to znova použite test racionálnych koreňov. Ak nevyberiete žiadnu z racionálnych koreňových možností, výraz nie je možné zapracovať.
- Príklad (pokračovanie) Našli ste faktory $(x-1) (2x^{2}+3x-9)$ , ale druhý faktor je možné prelomiť ďalej dole. Skúste kvadratickú rovnicu, tradičný faktoring alebo syntetické delenie.
  Konečná odpoveď je $(x-1) (x+3) (2x-3)$ , takže korene polynómu sú x = 1, x = -3, a x = 1,5.

Ak má každý výraz v polynóme spoločný faktor, problém zjednodušte.

Tipy

Pojmy korene, nuly a riešenia sa vzťahujú na hodnoty x, ktoré spôsobujú, že f (x) = 0. Môžu byť použité zameniteľne.
Kubické a kvartické vzorce existujú podobne ako kvadratické vzorce, ale sú oveľa komplikovanejšie a nepoužívajú sa často okrem počítača. Polynomy stupňa 5 a vyššie nemajú všeobecné riešenie pomocou jednoduchých algebraických techník, ale niektoré príklady je možné zvážiť pomocou vyššie uvedených prístupov.
Descartesova rada znakov vám nepovedie riešenie, ale dokáže predpovedať, koľko unikátnych, skutočných riešení existuje. Podľa týchto krokov zistíte, či ste našli všetky možné riešenia:
- Usporiadajte polynóm od termínu najvyššieho stupňa k najnižšiemu:
  $X^{5} -x^{4} -2x^{2}+x+1$
- Ignorujte výrazy a napíšte iba ich znaky (pozitívne alebo negatívne)
  + - ++
- Spočítajte, koľkokrát sa znamienka zmenili z + na - alebo naopak, pričom sa pohybovali zľava doprava:
  Sekvencia + - ++ posúva znamienka 2 krát.
- Počet skutočných riešení je buď rovný tomuto číslu, alebo sa rovná tomuto číslu mínus 2 n, kde n je celé číslo.
  V tomto prípade môžu existovať 2 riešenia alebo 0.
  V inom hypotetickom probléme, kde sa výrazy menia sedemkrát, môže byť počet riešení 7, 5, 3 alebo 1.

Varovania

Ak získate imaginárny koreň (a pracujete s problémom, kde na imaginárnych koreňoch záleží), nezabudnite, že pri tomto čísle a jeho komplexnom konjugáte bude nula. Ak (x-3i) je koreň, tak je (x+3i).

Prečítajte si tiež: Ako odovzdať všetky svoje GCSE?