Ako odvodiť kvadratický vzorec?
Ak chcete odvodiť kvadratický vzorec, začnite odčítaním c z oboch strán rovnice. Potom rozdeľte obe strany na a a doplňte štvorec. Ďalej napíšte pravú stranu rovnice pod spoločného menovateľa a vezmite odmocninu z oboch strán. Nakoniec izolujte x a znova napíšte pravú stranu pod spoločného menovateľa. Ak chcete vidieť príklady, ako odvodiť kvadratický vzorec, čítajte ďalej!
Jednou z najdôležitejších zručností, ktoré sa študent algebry naučí, je kvadratický vzorec, alebo pomocou kvadratického vzorca sa riešenie akejkoľvek kvadratickej rovnice vo formulári stane jednoduchou záležitosťou nahradenia koeficientov do vzorca.
Jednou z najdôležitejších zručností, ktoré sa študent algebry naučí, je kvadratický vzorec alebo x = −b ± b2−4ac2a. {\ Displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b^{2} -4ac} }} {2a}}.} S kvadratickým vzorcom sa riešenie akejkoľvek kvadratickej rovnice tvaru ax2+bx+c = 0 {\ Displaystyle ax^{2}+bx+c = 0} stane jednoduchou substitúciou koeficientov a, b, c {\ displaystyle a, b, c} do vzorca. Napriek tomu, že mnohým často stačí poznať vzorec, porozumieť tomu, ako je odvodený (inými slovami, odkiaľ pochádza), je úplne iná vec. Vzorec je odvodený „dokončením štvorca“ „ktorá má aj ďalšie aplikácie v matematike, preto sa odporúča, aby ste sa s ňou oboznámili.
- 1Začnite so štandardnou formou všeobecnej kvadratickej rovnice. Po dobu, kedy rovnica s x 2 {\ displaystyle x ^ {2}} termín v ňom sa kvalifikuje ako kvadratické, štandardná forma sady všetko na 0. Uvedomte si, že a, b, c {\ displaystyle a, b, c} sú koeficienty, že plechovka byť akékoľvek skutočné číslo, tak ich nenahrádzajte žiadnymi číslami - chceme pracovať so všeobecným tvarom.
- ax2+bx+c = 0 {\ displaystyle sekera^{2}+bx+c = 0}
- Jedinou podmienkou je, že ≠ 0, {\ displaystyle a \ NEQ 0,} , pretože inak, rovnice redukuje na lineárnej rovnice. Zistite, či nájdete všeobecné riešenie pre špeciálne prípady, kde b = 0 {\ displaystyle b = 0} a kde c = 0. {\ Displaystyle c = 0.}
- 2Odčítajte c {\ Displaystyle c} z oboch strán. Našim cieľom je izolovať x. {\ Displaystyle x.} Na začiatok presunieme jeden z koeficientov na druhú stranu, takže ľavá strana pozostáva iba z výrazov, v ktorých je x .
- ax2+bx = −c {\ displaystyle sekera^{2}+bx = -c}
Ak chcete vidieť príklady, ako odvodiť kvadratický vzorec, čítajte ďalej! - 3Rozdeľte obe strany {\ Displaystyle a} . Všimnite si toho, že sme mohli zmeniť tento a predchádzajúci krok, a napriek tomu sme prišli na rovnaké miesto. Nezabudnite, že delenie polynómu niečím znamená rozdelenie každého z jednotlivých výrazov. Uľahčí nám to dokončenie námestia.
- x2+bax = −ca {\ Displaystyle x^{2}+{\ frac {b} {a}} x = {\ frac {-c} {a}}}
- 4Dokončite námestie. Pripomeňme si, že cieľom je prepísať výraz x2+2◻x+◻2 {\ displaystyle x ^{2} +2 \ Box x+\ Box ^{2}} ako (x+◻) 2, {\ displaystyle (x+\ Box)^{2},} kde ◻ {\ displaystyle \ Box} je ľubovoľný koeficient. Možno vám hneď nebude zrejmé, že to dokážeme. Aby ste to videli jasnejšie, prepíšte bax {\ displaystyle {\ frac {b} {a}} x} ako 2b2ax {\ displaystyle 2 {\ frac {b} {2a}} x} vynásobením výrazu číslom 22. {\ displaystyle {\ frac {2} {2}}.} Môžeme to urobiť, pretože vynásobenie číslom 1 nič nezmení. Teraz môžeme jasne vidieť, že v našom prípade ◻ = b2a, {\ displaystyle \ Box = {\ frac {b} {2a}},}, takže nám chýba iba výraz ◻2 {\ displaystyle \ Box ^{2}} . Preto, aby sme dokončili námestie, doplníme to na obe strany - konkrétne, (b2a) 2 = b24a2. {\ Displaystyle \ left ({\ frac {b} {2a}} \ right)^{2} = { \ frac {b^{2}} {4a^{2}}}.} Potom, samozrejme, zvážime.
- x2+2b2ax+b24a2 = b24a2 − ca (x+b2a) 2 = b24a2 − ca {\ Displaystyle {\ begin {zarovnaný} x^{2} +2 {\ frac {b} {2a}} x+{\ frac { b^{2}} {4a^{2}}} & = {\ frac {b^{2}} {4a^{2}}}-{\ frac {c} {a}} \\\ vľavo (x+{\ frac {b} {2a}} \ right)^{2} & = {\ frac {b^{2}} {4a^{2}}}-{\ frac {c} {a}} \ koniec {zarovnaný}}}
- Pritom je jasné, prečo ≠ 0, {\ displaystyle a \ NEQ 0} , pretože a {\ displaystyle a} je v menovateli a nemožno deliť 0.
- Ak potrebujete, môžete ľavú stranu rozbaliť a potvrdiť tak, že dokončenie štvorca funguje.
- 5Napíšte pravú stranu pod spoločného menovateľa. Tu chceme, aby obidva menovatele boli 4a2, {\ Displaystyle 4a^{2},}, takže vynásobte −ca {\ Displaystyle {\ frac {-c} {a}}} výraz 4a4a. {\ Displaystyle {\ frac {4a} {4a}}.}
- (x+b2a) 2 = b24a2−4ac4a2 = b2−4ac4a2 {\ displaystyle {\ begin {aligned} \ left (x+{\ frac {b} {2a}} \ right)^{2} & = {\ frac { b^{2}} {4a^{2}}}-{\ frac {4ac} {4a^{2}}} \\ & = {\ frac {b^{2} -4ac} {4a^{2 }}} \ end {zarovnaný}}}
Ak chcete odvodiť kvadratický vzorec, začnite odčítaním c z oboch strán rovnice. - 6Vezmite druhú odmocninu z každej strany. Je však nevyhnutné, aby ste si uvedomili, že pri tom vlastne robíte dva kroky. Keď vezmete odmocninu z d2, {\ Displaystyle d^{2},} nedostanete d. {\ Displaystyle d.} V skutočnosti získate jeho absolútnu hodnotu, | d |. {\ Displaystyle | d |.} Táto absolútna hodnota je rozhodujúca pri získavaní obidvoch koreňov - jednoduchým uvedením odmocniniek na obidve strany získate iba jeden z koreňov.
- | x+b2a | = b2−4ac4a2 {\ displaystyle \ left | x+{\ frac {b} {2a}} \ right | = {\ sqrt {\ frac {b^{2} -4ac} {4a^{2 }}}}}
- Teraz sa môžeme stĺpcov absolútnej hodnoty zbaviť tak, že na pravú stranu umiestnime ± {\ Displaystyle \ pm} . Môžeme to urobiť, pretože absolútna hodnota nerozlišuje medzi pozitívnymi a negatívnymi, takže obe sú platné. Toto je dôvod, prečo nám kvadratická rovnica umožňuje získať dva korene.
- x+b2a = ± b2−4ac4a2 {\ displaystyle x+{\ frac {b} {2a}} = \ pm {\ sqrt {\ frac {b^{2} -4ac} {4a^{2}}}}}
- Poďme tento výraz ešte trocha zjednodušiť. Pretože druhá odmocnina kvocientu je kvocientom druhých odmocnin, môžeme pravú stranu napísať ako ± b2−4ac4a2. {\ Displaystyle {\ frac {\ pm {\ sqrt {b^{2} -4ac}}} {\ sqrt {4a^{2}}}}.} Potom môžeme vziať druhú odmocninu menovateľa.
- x+b2a = ± b2−4ac2a {\ displaystyle x+{\ frac {b} {2a}} = {\ frac {\ pm {\ sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
- 7Izolujte x {\ displaystyle x} odčítaním b2a {\ displaystyle {\ frac {b} {2a}}} z oboch strán.
- x = −b2a ± b2−4ac2a {\ displaystyle x = {\ frac {-b} {2a}} \ pm {\ frac {\ sqrt {b^{2} -4ac}} {2a}}}
- 8Napíšte pravú stranu pod spoločného menovateľa. Tento Sieťky kvadratický vzorec, vzorec, ktorý rieši akýkoľvek kvadratická rovnica vo štandardnej forme. To funguje pre všetkých a, b, c {\ displaystyle a, b, c} a vysiela x {\ displaystyle x} , ktoré môžu byť reálne alebo komplexné. Ak chcete potvrdiť, že tento proces funguje, postupujte podľa krokov v tomto článku v opačnom poradí a obnovte štandardný formulár.
- x = −b ± b2−4ac2a {\ Displaystyle x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
Tým sa získa kvadratický vzorec, ktorý rieši každú kvadratickú rovnicu v štandardnej forme.
- Je zaujímavé poznamenať, že kvadratický vzorec platí aj pre komplexné koeficienty, aj keď pre konečnú odpoveď budete musieť urobiť trochu viac zjednodušenia a korene už nebudú v konjugovaných pároch. Problémy s kvadratickými výrazmi sú napriek tomu takmer vždy dané skutočnými koeficientmi.
Prečítajte si tiež: Ako previesť Kelvin na Fahrenheita alebo Celzia?
Otázky a odpovede
- Aký je kubický vzorec?Je to vzorec na riešenie kubických rovníc. Pozrite sa na math.vanderbilt.edu/schectex/courses/cubic/.
- Aký je kvadratický vzorec?Ako je uvedené v úvode vyššie, je to nástroj používaný na riešenie kvadratickej rovnice, ktorý nie je ľahké vyriešiť faktoringom.
Komentáre (15)
- Veľmi jasná a jasná expozícia derivácie. Čitateľa vedie krok za krokom.
- Pomohlo pri revízii GCSE.
- Bolo to naozaj nápomocné. Nemal som potuchy, ako to urobiť, a krok za krokom ma to sprevádzalo.
- Pomohlo mi to, pretože som bol zmätený v jednom kroku, ktorý bol zásadný, a teraz to chápem.
- Mal som problém s vytváraním kvadratických výrazov, takže som si myslel, že je dobré zistiť, ako sa vzorec vyvíja, a tento článok trochu pomohol.
- Ukazuje mi, ako odvodiť kvadratický vzorec na riešenie problémov.
- Pomohlo mi to odvodiť kvadratický vzorec.
- Tento článok mi veľmi pomáha, pretože nemôžem úplne porozumieť svojmu lektorovi, pokiaľ si neprechádzam vašu prácu. Ďakujem veľmi pekne.
- To mi veľmi pomôže v štúdiu. Pokračujte v šírení informácií.
- Ďakujem ti veľmi pekne! Moja stará učiteľka matematiky sa rozhodla byť raz mladá a zvládnuť to s nadšením a energiou, o ktorej som nikdy nevedel, že je v nej. Našťastie mám pána sprievodcu, ktorý mi ukáže, ako na to.
- Je napísaná krok za krokom, takže je jednoduchšie porozumieť konceptu.
- Vďaka tomuto webu som mohol dokončiť svoju domácu úlohu.
- Jednoducho to zjednodušilo. Používala sa jednoduchá algebraická manipulácia, a preto dával výsledok zmysel. Vďaka!
- Je to skvelé, veľmi nápomocné.
- Trvalo mi viac ako dva roky, kým som vedel, ako odvodiť tento vzorec, ale tentokrát som to nedokázal. Prešiel som tým, vďaka vašej pomoci.
