Ako nájsť vlastné hodnoty a vlastné vektory?
Vlastné hodnoty sa okamžite nájdu a hľadanie vlastných vektorov pre tieto matice je potom oveľa jednoduchšie.
Maticová rovnica Ax = b {\ Displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {b}} zahŕňa maticu pôsobiacu na vektor, aby vytvoril ďalší vektor. Všeobecne platí, že spôsob A {\ displaystyle A} pôsobí na x {\ displaystyle \ mathbf {x}} je zložité, ale existujú určité prípady, keď sa akcia mapuje na rovnakom vektora, vynásobené skalárne faktorom.
Vlastné hodnoty a vlastné vektory majú okrem iných oblastí obrovské využitie vo fyzikálnych vedách, najmä v kvantovej mechanike.
- 1Pochopte determinanty. Determinant matice detA = 0 {\ displaystyle \ det A = 0}, keď A {\ displaystyle A} je nevratný. Keď k tomu dôjde, nulový priestor A {\ Displaystyle A} sa stane netriviálnym-inými slovami, existujú nenulové vektory, ktoré spĺňajú homogénnu rovnicu Ax = 0. {\ Displaystyle A \ mathbf {x} = 0. }
Ako zistíte vlastné vektory matice 3x3? - 2Napíšte rovnicu vlastných čísel. Ako už bolo spomenuté v úvode, je účinok A {\ displaystyle A} na x {\ displaystyle \ mathbf {x}} je jednoduchá, a výsledok odlišuje len tým, že a multiplikatívnej konštantný lambda, {\ displaystyle \ lambda,} nazýva vlastné číslo. Vektory, ktoré sú spojené s touto vlastnou hodnotou, sa nazývajú vlastné vektory.
- Axe = λx {\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ lambda \ mathbf {x}}
- Rovnicu môžeme nastaviť na nulu a získať homogénnu rovnicu. Nasleduje I {\ Displaystyle I} matice identity.
- (A − λI) x = 0 {\ displaystyle (A- \ lambda I) \ mathbf {x} = 0}
- 3Zostavte charakteristickú rovnicu. Aby (A-λI) X = 0 {\ displaystyle (A- \ lambda I) \ mathbf {x} = 0} mať netriviálne riešenie, na nulový priestor z A-λI {\ displaystyle A- \ lambda Aj} musí byť netriviálne rovnako.
- Jediný spôsob, ako sa to môže stať, je, ak je det (A − λI) = 0. {\ Displaystyle \ det (A- \ lambda I) = 0.} Toto je charakteristická rovnica.
- 4Získajte charakteristický polynóm. det (A − λI) {\ displaystyle \ det (A- \ lambda I)} prináša polynóm stupňa n pre matice n × n {\ displaystyle n \ times n} .
- Uvažujme maticu A = (1432). {\ Displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 2 \ end {pmatrix}}.}
- | 1 − λ432 − λ | = 0 (1 − λ) (2 − λ) −12 = 0 {\ Displaystyle {\ begin {zarovnaný} {\ begin {vmatrix} 1- \ lambda & 4 \\ 3 & 2- \ lambda \ koniec {vmatrix}} & = 0 \\ (1- \ lambda) (2- \ lambda) -12 & = 0 \ end {zarovnaný}}}
- Všimnite si, že polynóm sa zdá byť pozadu - množstvá v zátvorkách by mali byť premenlivé mínus číslo, a nie naopak. To sa dá ľahko vyriešiť posunutím 12-ky doprava a vynásobením (-−1) 2 {\ displaystyle (-1)^{2}} na obe strany obrátiť poradie.
- (λ − 1) (λ − 2) = 12λ2−3λ − 10 = 0 {\ Displaystyle {\ begin {aligned} (\ lambda -1) (\ lambda -2) & = 12 \\\ lambda ^{2} -3 \ lambda -10 & = 0 \ end {zarovnaný}}}
Toto sú vlastné vektory súvisiace s ich vlastnými hodnotami. - 5Vyriešte charakteristický polynóm pre vlastné hodnoty. Toto je vo všeobecnosti ťažký krok pri hľadaní vlastných čísel, pretože neexistuje žiadne obecné riešenie pre kvintické funkcie alebo vyššie polynómy. Máme však do činenia s maticou dimenzie 2, takže kvadratika je ľahko vyriešená.
- (λ − 5) (λ +2) = 0λ = 5, −2 {\ displaystyle {\ begin {aligned} & (\ lambda -5) (\ lambda +2) = 0 \\ & \ lambda = 5, - 2 \ end {zarovnaný}}}
- 6Nahraďte vlastné čísla do rovnice vlastných čísel, jednu po druhej. Poďme náhradné λ1 = 5 {\ displaystyle \ lambda _ {1} = 5} ako prvý.
- (A − 5I) x = (-443−3) {\ Displaystyle (A-5I) \ mathbf {x} = {\ begin {pmatrix} -4 & 4 \\ 3 & -3 \ end {pmatrix}}}
- Výsledná matica je evidentne lineárne závislá. Sme tu na dobrej ceste.
- 7Zmenšite výslednú maticu riadkom. Pri väčších maticiach nemusí byť také zrejmé, že je matica lineárne závislá, a preto musíme redukovať riadky. Tu však môžeme okamžite vykonať riadkovú operáciu R2 → 4R2+3R1 {\ displaystyle R_ {2} \ to 4R_ {2}+3R_ {1}}, aby sme získali riadok 0.
- (−4400) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -4 & 4 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}
- Vyššie uvedená matica hovorí, že −4x1+4x2 = 0. {\ Displaystyle -4x_ {1}+4x_ {2} = 0.} Zjednodušiť a reparametrizovať x2 = t, {\ displaystyle x_ {2} = t,} ako to je zadarmo variabilné.
Dávajte si však pozor na to, že redukcia riadkov na formu riadkového sledu a získanie trojuholníkovej matice vám neposkytne vlastné čísla, pretože redukcia riadkov mení vlastné čísla matice vo všeobecnosti. - 8Získajte základ pre vlastný priestor. Predchádzajúceho kroku nás viedli k základe nulového priestoru A-5I {\ displaystyle A-5I} - inými slovami, na eigenspace z A {\ displaystyle A} s vlastným číslom 5.
- x1 = (11) {\ displaystyle \ mathbf {x_ {1}} = {\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}}}
- Vykonaním krokov 6 až 8 s λ2 = −2 {\ Displaystyle \ lambda _ {2} = -2} dosiahnete nasledujúci vlastný vektor spojený s vlastnou hodnotou -2.
- x2 = (-43) {\ displaystyle \ mathbf {x_ {2}} = {\ begin {pmatrix} -4 \\ 3 \ end {pmatrix}}}
- Toto sú vlastné vektory súvisiace s ich vlastnými hodnotami. Na základe celého vlastného priestoru A, {\ Displaystyle A,} píšeme
- {(11), (-43)}. {\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix}}, {\ begin {pmatrix} -4 \\ 3 \ end {pmatrix }}\správny\}.}
- Determinant trojuholníkovej matice je ľahké nájsť - je to jednoducho produkt diagonálnych prvkov. Vlastné hodnoty sa okamžite nájdu a hľadanie vlastných vektorov pre tieto matice je potom oveľa jednoduchšie.
- Dávajte si však pozor na to, že redukcia riadkov na radový sled a získanie trojuholníkovej matice vám neposkytne vlastné čísla, pretože redukcia riadkov zmení vlastné čísla matice vo všeobecnosti.
- Môžeme diagonalize matica A {\ displaystyle A} cez podobnosti transformácia A = PDP-1, {\ displaystyle A = PDP ^ {- 1}} , kde P {\ displaystyle P} je invertovať zmena-of-báze matrice a D {\ Displaystyle D} je matica iba s diagonálnymi prvkami. Avšak, ak A {\ displaystyle A} je n x n {\ displaystyle n \ x n} matica, musí mať n {\ displaystyle n} odlišné vlastné hodnoty, aby mohlo byť diagonalizable.
- V našom prípade A = (1−413) (500−2) (1−413) −1. {\ Displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 1 & -4 \\ 1 & 3 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & -4 \\ 1 & 3 \ end {pmatrix}}^{-1}.}
- Tu je potrebné poznamenať niekoľko vecí. Po prvé, diagonálne prvky D {\ Displaystyle D} sú vlastné hodnoty, ktoré sme našli. Po druhé, stĺpce P {\ displaystyle P} sú eigenspace z a. {\ Displaystyle A.} Po tretie, D {\ displaystyle D} je podobný A {\ displaystyle A} v tom zmysle, že majú rovnaký determinant, vlastné hodnoty a stopu.
- Keď diagonalizing sa eigenbases v P {\ displaystyle P} , ktoré zodpovedajú ich čísel musí lemujú up - inými slovami, musí byť v súlade s usporiadaním. Vo vyššie uvedenom príklade nemôžete prepnúť stĺpce prvku P {\ Displaystyle P} bez toho, aby ste zmenili polohy diagonálnych prvkov v D. {\ Displaystyle D.}
Prečítajte si tiež: Ako porozumieť atómom?
Otázky a odpovede
- Ako zistíte vlastné vektory matice 3x3?Najprv nájdite riešenia x pre det (A - xI) = 0, kde I je matica identity a x je premenná. Riešením x sú vaše vlastné hodnoty. Povedzme, že a, b, c sú vaše vlastné hodnoty. Teraz vyriešte systémy [A - aI | 0], [A - bI | 0], [A - cI | 0]. Základom súborov riešení týchto systémov sú vlastné vektory.
- Prečo pri hľadaní vlastných vektorov nahradíme y číslom 1 a nie iným číslom?Pre jednoduchosť. Vlastné vektory sú definované iba do multiplikatívnej konštanty, takže voľba nastaviť konštantu na 1 je často najjednoduchšia.
