Ako otáčať kužeľosečky pomocou kvadratických foriem?

Prvé tri termíny kužeľovitej časti môžeme zapísať ako kvadratickú formu kde.

Kónický rez je krivka získaná prierezom kužeľa s rovinou. Štandardný tvar kužeľosečky je rovnica nižšie.

$Ax^{{2}}+bxy+cy^{{2}}+dx+ey+f = 0$

Teraz môžeme napísať kvadratický tvar z hľadiska diagonálnej matice.

( $A$ je malé písmená vyššie, nedošlo k zámene s matice $A$ je popísané neskôr.) Kužeľosečiek sú takmer vždy ľahšie riešiť s bez priečneho termín $Bxy.$ Napríklad ak dostanete kužeľovitý úsek v štandardnej forme, nemôžete ho ľahko rozdeliť do takej podoby, ako ako je to v prípade rovnice hyperboly. Toto je problém, ak by sme k tomuto problému pristúpili z hľadiska štandardných algebraických manipulácií, ktoré zahŕňajú veľa trigonometrie.

Napíšte kvadratický tvar z hľadiska diagonálnej matice — Diagonalizujte a napíšte kvadratický tvar z hľadiska diagonálnej matice.

Našťastie existuje riešenie z pohľadu lineárnej algebry. Prvé tri termíny kužeľovitej sekcie môžeme napísať ako kvadratický tvar ${\ mathbf {x}}^{{t}} a {\ mathbf {x}},$ kde

$A = {\ begin {pmatrix} aandb/2 \\ b/2andc \ end {pmatrix}}.$

$A$ sa nazýva matica kvadratického tvaru a sú v ňom uložené všetky dôležité informácie o kužeľovitej časti. Konkrétne sa zaoberáme tým, ako môžeme vykonávať pasívnu rotáciu, aby sme ich mohli v tomto otočenom súradnicovom systéme popísať prirodzenejšie. V lineárnej algebre to bude zahŕňať zmenu základu matice zapísaním jej vlastných čísel na jej uhlopriečku.

Kroky

1
Zvážte nižšie uvedenú kužeľovú časť. Namiesto toho, aby sme ako premenné označovali x {\ displaystyle x} $X$ a y {\ displaystyle y} $Y$ , rozhodli sme sa pre x1 {\ displaystyle x_ {1}} $X _ {{1}}$ a x2 {\ displaystyle x_ {2}}, $X _ {{2}}$ aby sme zdôraznili, že ide o súčasti x. {\ Displaystyle \ mathbf {x}.} ${\ mathbf {x}}.$ Pre jednoduchosť zvolíme súradnicový systém, ktorý nastaví D {\ Displaystyle D} $D$ a E {\ Displaystyle E} $E$ na 0.
- $6 = -x _ {{1}}^{{2}}+4x _ {{1}} x _ {{2}}+2x _ {{2}}^{{2}}$
- Len analýzou kvadratických výrazov vidíme, že ide o hyperbolu. Od $B \ neq 0,$ pôjde o otočenú hyperbolu vzhľadom na osi $(x _ {{1}}, x _ {{2}})$ .
2
Napíšte maticu kvadratického tvaru $a$ . Robíme to tak, že identifikujeme a, B, {\ displaystyle a, B,} $A, b,$ a C. {\ Displaystyle C.} $C.$ Uvedomte si, že A {\ Displaystyle A} $A$ je hermitian, čo znamená, že A {\ Displaystyle A} $A$ je ortogonálne diagonalizovateľný. Uvidíme, čo to bude znamenať neskôr.
- $A = {\ begin {pmatrix} -1and2 \\ 2and2 \ end {pmatrix}}$
3
Nájsť vlastné čísla a vlastné vektory z $A$ . Cieľom je dosiahnuť zmenu základnej matice. P. {\ Displaystyle P.} $P.$ Vlastné vektory A {\ Displaystyle A} $A$ budú tvoriť stĺpce P. {\ Displaystyle P.} $P.$
- Určte charakteristický polynóm A. {\ Displaystyle A.} $A.$
  - $(-1- \ lambda) (2- \ lambda) -4 = 0$
  - $\ lambda = 3, -2$
- Nahraďte tieto vlastné hodnoty, aby ste získali vlastné vektory, a to tak, že výsledné matice znížite pomocou riadkov.
  - $\ lambda = 3: \ {\ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \ end {pmatrix}}$
  - $\ lambda = -2: \ {\ begin {pmatrix} -2 \\ 1 \ end {pmatrix}}$
- Je dôležité si uvedomiť, že vlastné vektory sú navzájom ortogonálne. To je zaručené skutočnosťou, že $A$ je Hermitian.
4
Diagonalizujte {\ Displaystyle a} $a$ a napíšte kvadratický tvar z hľadiska diagonálnej matice d {\ displaystyle d} $d$ . V tomto kroku je potrebné poznamenať niekoľko dôležitých vecí. Po prvé, P {\ Displaystyle P} $P$ musí byť normalizovaný, aby sa získala ortogonálna matica - matica s ortonormálnymi stĺpcami. Za druhé, ortogonálne matice umožňujú ortogonálne transformácie - transformácie, ktoré zachovávajú vnútorné produkty. Inými slovami, chceme získať maticu, ktorá nemení dĺžku základných prvkov (jednotkové vektory súradnicových osí) alebo, čo je dôležitejšie, uhol medzi nimi.
- Normalizujte P {\ Displaystyle P} $P$ normalizáciou vlastných vektorov tak, aby ich veľkosť bola 1.
  - $P = {\ begin {pmatrix} 1/{\ sqrt {5}} and-2/{\ sqrt {5}} \\ 2/{\ sqrt {5}} a1/{\ sqrt {5}} \ end {pmatrix}}$
- Diagonalizujte A {\ Displaystyle A} $A$ tak, že ho napíšete z hľadiska jeho diagonálnej matice . D. {\ Displaystyle D.} $D.$ Prvky písmena D $D$ na diagonále sú samozrejme iba vlastné čísla A. {\ Displaystyle A.} $A.$ Dávajte však veľký pozor na poradie. Poradie stĺpcov v P {\ displaystyle P} $P$ a poradie vlastných čísel zapísaných v D {\ displaystyle D} sa $D$ musí zhodovať.
  - $A = pdp^{{-1}}$
- Pretože P {\ Displaystyle P} $P$ je ortogonálne, P − 1 = PT. {\ Displaystyle P^{-1} = P^{T}.} $P^{{-1}} = p^{{t}}.$ Nájsť transpozíciu matice je oveľa jednoduchšie ako nájsť jej inverznú hodnotu. To by sme nemohli urobiť, keby sme normalizovali stĺpce P. {\ Displaystyle P.} $P.$
  - $A = pdp^{{t}}$
- Teraz môžeme napísať kvadratický tvar z hľadiska diagonálnej matice . D. {\ Displaystyle D.} $D.$
  - ${\ mathbf {x}}^{{t}} a {\ mathbf {x}} = {\ mathbf {x}}^{{t}} pdp^{{t}} {\ mathbf {x}}$
5
Napíšte kvadratický tvar z hľadiska otočených súradníc. Nechajte x ′ = PTx. {\ Displaystyle \ mathbf {x} ^{\ prime} = P ^{T} \ mathbf {x}.} ${\ mathbf {x}}^{{\ prime}} = p^{{t}} {\ mathbf {x}}.$ Uznajte, že transpozícia produktu tiež zmení ich pozície. V našom prípade x′T = xTP. {\ Displaystyle \ mathbf {x} ^{\ prime T} = \ mathbf {x} ^{T} P.} ${\ mathbf {x}}^{{\ prime t}} = {\ mathbf {x}}^{{t}} str.$
- ${\ mathbf {x}}^{{t}} a {\ mathbf {x}} = {\ mathbf {x}}^{{\ prime t}} d {\ mathbf {x}}^{{\ prime }}$
- Oba súradnicové systémy môžeme tiež prepojiť.
  - $X _ {{1}}^{{\ prime}} = {\ frac {x _ {{1}}+2x _ {{2}}} {{\ sqrt {5}}}}$
  - $X _ {{2}}^{{\ prime}} = {\ frac {-2x _ {{1}}+x _ {{2}}} {{\ sqrt {5}}}}$
- Potvrďte, že násobenie pomocou týchto vzťahov má za následok pôvodnú kónickú časť.
6

Vzťahovať $p$ k matici rotácie. $r (\ theta)$ . Pripomeňme maticu rotácie v dvoch dimenziách ako $R (\ theta) = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta and- \ sin \ theta \\\ sin \ theta and \ cos \ theta \ end {pmatrix}}.$ Potom, ak nastavíme $P = r (\ theta),$ vidíme to $\ cos \ theta = {\ frac {1} {{\ sqrt {5}}}}$ a $\ sin \ theta = {\ frac {2} {{\ sqrt {5}}}}.$ vzťahovali zmenu základnej matrice pre otáčanie matice, a uznáva, že ${\ mathbf {x}}^{{\ prime}} = p^{{t}} {\ mathbf {x}}$ opisuje pasívnu transformáciu (otáčanie samotných súradnicových osí namiesto kužeľovej časti), vidíme, že $\ theta = \ cos ^{{-1}} {\ frac {1} {{\ sqrt {5}}}},$ naše pôvodné osi o $θ = cos − 1⁡15, {\ displaystyle \ theta = \ cos ^{-1} {\ frac {1} {\ sqrt {5}}},}$ alebo asi o 63 stupňov, aby získať nové súradnicové osi, ktoré eliminujú krížový termín $Bx _ {{1}} x _ {{2}}.$ Ak by sme zmenili poradie vlastných čísel v $D$ a stĺpcoch $P,$ namiesto toho by sme sa otáčali o 90 - 63 = 27 stupňov v opačnom smere.
7
Napíšte kužeľovitú časť z hľadiska nových súradníc. Vynásobením von x'TDx ', {\ displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ prime T} d \ mathbf {x} ^ {\ prime}} ${\ mathbf {x}}^{{\ prime t}} d {\ mathbf {x}}^{{\ prime}},$ otravné priečny termín je odstránená, a to má za následok, že vlastné hodnoty A {\ Displaystyle A} $A$ sú koeficienty kvadratických výrazov v novom súradnicovom systéme.
- $6 = 3x _ {{1}}^{{\ prime 2}}-2x _ {{2}}^{{\ prime 2}}$
- Formulovaním problému z hľadiska zmeny základu môžeme dospieť k odpovedi a porozumieť jeho postupu bez toho, aby sme museli prechádzať niektorými prísnymi trigonometrickými deriváciami (a väčšina z nich je dosť neintuitívna).

Prečítajte si tiež: Ako vyrobiť tekutinu na zmrazenie blesku?