Ako vypočítať pí?

Ako vypočítať hodnotu pí doma, aby som mohol vytvoriť svetový rekord?

Pi (π) je jedno z najdôležitejších a najfascinujúcejších čísel v matematike. Zhruba 3,14, je to konštanta, ktorá sa používa na výpočet obvodu kruhu z polomeru alebo priemeru tohto kruhu. Je to tiež iracionálne číslo, čo znamená, že sa dá vypočítať na nekonečný počet desatinných miest bez toho, aby niekedy skĺzlo do opakujúceho sa vzoru. To sťažuje, ale nie znemožňuje, presný výpočet.

Metóda 1 z 5: Výpočet pí pomocou meraní kruhu

1

Uistite sa, že používate perfektný kruh. Táto metóda nebude fungovať s elipsami, oválmi ani s ničím iným ako so skutočným kruhom. Kruh je definovaný ako všetky body v rovine, ktoré sú v rovnakej vzdialenosti od jedného stredového bodu. Viečka pohárov sú dobrými predmetmi pre domácnosť, ktoré je možné použiť na toto cvičenie. Mali by ste byť schopní vypočítať pí zhruba, pretože na to, aby ste získali presné výsledky pi, budete potrebovať veľmi tenký vodič (alebo čokoľvek, čo používate). Dokonca aj najostrejší grafit ceruzky môže byť obrovský, aby mal presné výsledky.
2
Zmerajte obvod kruhu čo najpresnejšie. Obvod je dĺžka, ktorá prechádza po celom okraji kruhu. Pretože je obvod okrúhly, môže byť ťažké ho zmerať (preto je pi také dôležité).
- Cez kruh položte reťazec tak tesne, ako môžete. Označte reťazec tam, kde sa krúti, a potom zmerajte dĺžku reťazca pravítkom.
3

Zmerajte priemer kruhu. Priemer prechádza z jednej strany kruhu na druhú stredovým bodom kruhu.
4

Použite vzorec. Obvod kruhu nájdeme podľa vzorca C = π*d = 2*π*r. Pi sa teda rovná obvodu kruhu delenému jeho priemerom. Pripojte svoje čísla do kalkulačky: výsledok by mal byť zhruba 3,14.
5

Tento postup zopakujte s niekoľkými rôznymi kruhmi a potom spriemerujte výsledky. Získate tak presnejšie výsledky. Vaše merania nemusia byť dokonalé v žiadnom danom kruhu, ale časom by sa mali spriemerovať na celkom presný výpočet pí.

Na výpočet pí stačí rozdeliť obvod na priemer!

Metóda 2 z 5: Výpočet pí pomocou nekonečnej série

1
Použite sériu gregory-leibniz. Matematici našli niekoľko rôznych matematických sérií, ktoré, ak sa vykonávajú nekonečne, presne vypočítajú pí na veľký počet desatinných miest. Niektoré z nich sú také zložité, že na ich spracovanie je potrebný superpočítač. Jednou z najjednoduchších je však séria Gregory-Leibniz. Aj keď nie je veľmi efektívny, bude sa s každou iteráciou približovať k pí ešte bližšie, pričom bude presne vytvárať pi na päť desatinných miest s 500000 iteráciami. Tu je vzorec, ktorý treba použiť.
- π = (4) - (1,33) + (0,8) - (0,57) + (0,44) - (41) + (43) - (45)...
- Vezmite 4 a odčítajte 4 delené 3. Potom pripočítajte 4 delené 5. Potom odčítajte 4 delené 7. Pokračujte v striedaní medzi sčítaním a odčítaním zlomkov s čitateľom 4 a menovateľom každého nasledujúceho nepárneho čísla. Čím viac krát to budete robiť, tým viac sa budete približovať k pí.
2
Skúste sériu nilakantha. Toto je ďalšia nekonečná séria na výpočet pí, ktorá je pomerne ľahko zrozumiteľná. Aj keď je o niečo komplikovanejší, konverguje na pi oveľa rýchlejšie ako Leibnizov vzorec.
- π = 3 + 4/(2*3*4) - 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) - 4/(8*9*10) + 4/(10*11 *12) - 4/(12*13*14)...
- Pre tento vzorec vezmite tri a začnite striedať medzi sčítaním a odčítaním zlomkov s čitateľmi 4 a menovateľmi, ktoré sú súčinom troch po sebe idúcich celých čísel, ktoré sa zvyšujú s každou novou iteráciou. Každý nasledujúci zlomok začína svojou sadou celých čísel tou najvyššou, ktorá bola použitá v predchádzajúcom zlomku. Vykonajte to dokonca niekoľkokrát a výsledky sa priblížia k pí.

Ako vypočítať pi pomocou limitnej alebo sínusovej funkcie — Ak sa chcete dozvedieť, ako vypočítať pi pomocou limitnej alebo sínusovej funkcie, pokračujte v čítaní článku!

Metóda 3 z 5: Výpočet pí pomocou problému s Buffonovou ihlou

1
Skúste tento experiment na výpočet pí hádzaním hotdogov. Ukazuje sa, že Pi má svoje miesto aj v zaujímavom myšlienkovom experimente s názvom Buffonov problém s ihlou, ktorého cieľom je určiť pravdepodobnosť, že náhodne hodené rovnomerné predĺžené objekty pristanú buď medzi podlahou, alebo sa ňou prekrížia. Ukazuje sa, že ak je vzdialenosť medzi čiarami rovnaká ako dĺžka hádzaných predmetov,je možné na výpočet pí použiťpočet, koľkokrát objekty pristanú cez čiary z veľkého počtu hodov. V uvedenom odkaze na sprievodný článok nájdete zábavné rozdelenie tohto experimentu s použitím hodeného jedla.
- Vedci a matematici neprišli na spôsob, ako presne vypočítať pí, pretože sa im nepodarilo nájsť materiál taký tenký, že by fungoval na nájdenie presných výpočtov.

Metóda 4 z 5: Výpočet pí pomocou limitu

1

Vyberte veľké množstvo. Čím vyššie číslo, tým presnejší bude váš výpočet.
2

Pripojte svoje číslo, ktoré budeme nazývať x, do tohto vzorca na výpočet pi: x * sin (180 / x). Aby to fungovalo, skontrolujte, či je kalkulačka nastavená na stupne. Dôvod, prečo sa to nazýva limit, je ten, že jeho výsledok je „obmedzený“ na pí. Ako budete zvyšovať svoje číslo x, výsledok sa bude stále viac približovať k hodnote pi.

Do tohto vzorca na výpočet pi — Pripojte svoje číslo, ktoré budeme nazývať x, do tohto vzorca na výpočet pi: x * sin (180 / x).

Metóda 5 z 5: Použitie funkcie arcsine/inverznej funkcie sine

1

Vyberte ľubovoľné číslo v rozsahu -1 až 1. Dôvodom je, že funkcia Arcsin nie je definovaná pre argumenty väčšie ako 1 alebo menšie ako -1.
2
Pripojte svoje číslo do nasledujúceho vzorca a výsledok sa bude zhruba rovnať pí.
- pi = 2 * (Arcsin (sqrt (1 - x^2)) + abs (Arcsin (x))).
  - Arcsin označuje inverzný sínus v radiánoch
  - Sqrt je skratka pre odmocninu
  - Abs je skratka pre absolútnu hodnotu
  - x^2 označuje exponent, v tomto prípade x na druhú.

Tipy

Výpočet pi môže byť zábavný a náročný, ale príliš hlboký výpočet má klesajúcu návratnosť. Astrofyzici tvrdia, že na kozmologické výpočty presné na veľkosť atómu potrebujú iba pi na 39 desatinných miest.

Prečítajte si tiež: Ako si urobiť domácu úlohu hneď po škole?