Ako vypočítať objem štvorcovej pyramídy?

Ako zistím dĺžku hrany základne štvorcovej pyramídy pomocou šikmej hrany a objemu?

Štvorcová pyramída je trojrozmerné teleso charakterizované štvorcovou základňou a šikmými trojuholníkovými stranami, ktoré sa stretávajú v jednom bode nad základňou. Ak $S$ predstavuje dĺžku jedného z štvorcovou základňou, s do strán i $H$ predstavuje výšku pyramídy (kolmá vzdialenosť od základne k bodu), objem štvorcové pyramídy je možné vypočítať podľa vzorca $V = {\ frac {1} {3}} s^{2} h$ . Nezáleží na tom, či je pyramída veľkosti ťažítka alebo je väčšia ako Veľká pyramída v Gíze - tento vzorec funguje pre každú štvorcovú pyramídu. Objem sa dá vypočítať aj pomocou takzvanej „šikmej výšky“ pyramídy.

Metóda 1 z 3: zistenie objemu pomocou základnej plochy a výšky

1
Zmerajte dĺžku strany základne. Pretože podľa definície majú hranaté pyramídy základne, ktoré sú úplne štvorcové, všetky strany základne by mali mať rovnakú dĺžku. Pre štvorcovú pyramídu teda musíte nájsť iba dĺžku jednej strany.
- Uvažujme o pyramíde, ktorej základňou je štvorec s dĺžkou strán $S = 5 {\ text {cm}}$ . Toto je hodnota, ktorú použijete na nájdenie plochy základne.
- Ak sa strany základne nie sú rovnakej dĺžky, budete mať obdĺžnikový pyramídy nie štvorcové pyramídy. Objemový vzorec pre obdĺžnikové pyramídy je veľmi podobný vzorcu pre štvorcové pyramídy. Ak $L$ predstavuje dĺžku základne obdĺžnikových pyramídy a $W$ predstavuje jeho šírky, objem pyramídy je $V = {\ frac {1} {3}} h*d*š$ .
2
Vypočítajte plochu základne. Hľadanie objemu začína nájdením dvojrozmernej oblasti základne. To sa robí vynásobením dĺžky základne a šírky. Pretože základňa štvorcovej pyramídy je štvorec, všetky jej strany majú rovnakú dĺžku, takže plocha základne sa rovná dĺžke jednej strany na druhú (krát krát sama).
- V tomto prípade pretože bočné dĺžky základne pyramídy sú všetky 5 cm, plochu základne nájdete ako:
  - ${\ text {area}} = s^{2} = (5 {\ text {cm}})^{2} = 25 {\ text {cm}}^{2}$
- Nezabudnite, že dvojrozmerné oblasti sú vyjadrené v štvorcových jednotkách - centimetroch štvorcových, metroch štvorcových, štvorcových míľach atď.
3
Vynásobte plochu základne výškou pyramídy. Ďalej vynásobte základnú plochu výškou pyramídy. Pripomíname, že výška je vzdialenosť úsečky tiahnucej sa od vrcholu pyramídy k rovine základne v kolmých uhloch k obom.
- V tomto prípade predpokladajme, že pyramída má výšku 9 cm. V takom prípade vynásobte plochu základne touto hodnotou takto:
  - $25 {\ text {cm}}^{2}*9 {\ text {cm}} = 225 {\ text {cm}}^{3}$
- Nezabudnite, že objemy sú vyjadrené v kubických jednotkách. V tomto prípade, pretože všetky lineárne merania sú centimetre, objem je v kubických centimetroch.
Ak chcete vypočítať objem štvorcovej pyramídy, najskôr nájdite dĺžku jednej zo strán základne pyramídy.
4
Vydeľte túto odpoveď číslom 3. Nakoniec vyhľadajte objem pyramídy vydelením hodnoty, ktorú ste práve našli, vynásobením základnej plochy výškou číslom 3. To vám poskytne konečnú odpoveď, ktorá predstavuje objem štvorcovej pyramídy.
- V tomto prípade delte 225 cm³ krát 3, aby ste dostali hlasitosť 75 cm³.

Metóda 2 z 3: zistenie objemu pomocou šikmej výšky

1
Zmerajte šikmú výšku pyramídy. Niekedy vám nebude povedané kolmá výška pyramídy. Namiesto toho vám môže byť povedané - alebo možno budete musieť zmerať - šikmú výšku pyramídy. So šikmou výškou budete môcť použiť Pytagorovu vetu na výpočet kolmej výšky.
- Šikmá výška pyramídy je vzdialenosť od jej vrcholu k stredu jednej zo základných strán. Zmerajte do stredu strany a nie do jedného z rohov základne. V tomto prípade predpokladajme, že zmeriate šikmú výšku je 13 cm a povie vám, že dĺžka strany je 10 cm.
- Pripomíname, že Pytagorovu vetu možno vyjadriť ako rovnica $A^{2}+b^{2} = c^{2}$ , kde $A$ a $B$ sú kolmými nohami pravouhlého trojuholníka a $C.$ je prepona.
2

Predstavte si pravouhlý trojuholník. Ak chcete použiť Pytagorovu vetu, potrebujete pravouhlý trojuholník. Predstavte si pravouhlý trojuholník, ktorý je prerezaný stredom pyramídy a kolmo na základňu pyramídy. Šikmá výška pyramídy, nazývaná $L$ , je preponou tohto pravouhlého trojuholníka. Základňa tohto pravouhlého trojuholníka je polovica dĺžky $S$ , strany štvorcového základu pyramídy.
3
K hodnotám priraďte premenné. Pythagorova veta používa premenné a, b a c, ale pomáha ich nahradiť premennými, ktoré majú význam pre váš problém. Šikmý výška l {\ displaystyle l} $L$ zaujíma miesto c {\ displaystyle c} $C.$ v Pytagorovej vety. Noha pravého trojuholníka, ktorá je s2 {\ Displaystyle {\ frac {s} {2}}} ${\ frac {s} {2}}$ , zaberá miesto b. {\ Displaystyle b.} $B.$ Budete riešiť výšku pyramídy, h { \ Displaystyle h} $H$ , ktorý nahrádza {\ Displaystyle a} $A$ v Pytagorovej vete.
- Táto náhrada bude vyzerať takto:
  - $A^{2}+b^{2} = c^{2}$
  - $H^{2}+({\ frac {s} {2}})^{2} = l^{2}$
4
Na výpočet kolmej výšky použite Pytagorovu vetu. Vložte namerané hodnoty s = 10 {\ displaystyle s = 10} $S = 10$ a l = 13 {\ displaystyle l = 13} $L = 13$ . Potom pokračujte v riešení rovnice:
- $H^{2} = l^{2}-({\ frac {s} {2}})^{2}$ ..... (pôvodná rovnica)
- $H = {\ sqrt {l^{2}-({\ frac {s} {2}})^{2}}}$ ..... (druhá odmocnina obe strany)
- $H = {\ sqrt {13^{2}-({\ frac {10} {2}})^{2}}}$ ..... (náhradné hodnoty)
- $H = {\ sqrt {169-5^{2}}}$ ..... ( zjednodušiť zlomok)
- $H = {\ sqrt {169-25}}$ ..... (zjednodušiť štvorec)
- $H = {\ sqrt {144}}$ ..... (odčítať)
- $H = 12$ ..... (zjednodušiť odmocninu)
V hranatej pyramíde sú kolmá výška, šikmá výška a dĺžka okraja základnej plochy prepojená Pytagorovou vetou.
5
Na výpočet objemu použite výšku a základňu. Po použití výpočtov s Pytagorovou vetou máte teraz informácie, ktoré potrebujete na výpočet objemu pyramídy ako obvykle. Použite vzorec V = 13s2h {\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} s^{2} h} $V = {\ frac {1} {3}} s^{2} h$ a vyriešte, svoju odpoveď označte v kubických jednotkách.
- Z výpočtov je výška pyramídy 12 cm. Použite túto a základnú stranu 10 cm. na výpočet objemu pyramídy:
  - $V = {\ frac {1} {3}} s^{2} h$
  - $V = {\ frac {1} {3}} (10^{2}) 12$
  - $V = {\ frac {1} {3}} (100) (12)$
  - $V = 400 {\ text {cm}}^{3}$

Metóda 3 z 3: nájdenie objemu pomocou výšky okraja

1
Zmerajte výšku okraja pyramídy. Výška okraja je dĺžka okraja pyramídy, meraná od vrcholu po jeden z rohov základne pyramídy. Rovnako ako predtým, potom použijete Pytagorovu vetu na výpočet kolmej výšky pyramídy.
- V tomto prípade predpokladajme, že výšku okraja je možné merať 11 cm a dostanete kolmú výšku 5 cm.
2

Predstavte si pravouhlý trojuholník. Rovnako ako predtým, na používanie Pythagorovej vety potrebujete pravý trojuholník. V tomto prípade je však vašou neznámou hodnotou základ pyramídy. Poznáte výšku kolmú a výšku okraja. Ak si predstavíte šikmé prerezanie pyramídy z jedného rohu do opačného rohu a jeho otvorenie, odhalená vnútorná strana je trojuholník. Výška tohto trojuholníka je kolmá výška pyramídy. Delí odhalený trojuholník na dva symetrické pravouhlé trojuholníky. Přepona pravouhlého trojuholníka je výškou okraja pyramídy. Základňa každého pravouhlého trojuholníka je polovica uhlopriečky základne pyramídy.
3
Priraďte premenné. Použite tento imaginárny pravouhlý trojuholník a priraďte hodnoty Pytagorovej vete. Viete o kolmej výške, h, {\ Displaystyle h,} $H,$ ktorá je jednou vetvou Pytagorovej vety, a {\ Displaystyle a} $A$ . Výška okraj pyramídy, l, {\ displaystyle l,} $L,$ je prepona tohto pomyselného pravouhlého trojuholníka, tak to vyžaduje miesto c {\ displaystyle c} $C.$ . Neznámeho uhlopriečky základne pyramídy je zostávajúce rameno pravouhlého trojuholníka, b {\ displaystyle b.}. $B.$ Potom, čo robiť tieto substitúcie, bude rovnice vyzerať takto:
- $A^{2}+b^{2} = c^{2}$
- $H^{2}+b^{2} = l^{2}$
4
Vypočítajte uhlopriečku štvorcovej základne. Budete musieť preskupiť rovnicu izolovať premennú b {\ displaystyle B} $B$ a potom riešiť svoju hodnotu.
- $H^{2}+b^{2} = l^{2}$ .......... (revidovaná rovnica)
- $B^{2} = l^{2} -h^{2}$ .......... (náhrada h² z oboch strán)
- $B = {\ sqrt {l^{2} -h^{2}}}$ .......... (druhá odmocnina na oboch stranách)
- $B = {\ sqrt {11^{2} -5^{2}}}$ .......... ( vložte číselné hodnoty)
- $B = {\ sqrt {121-25}}$ .......... (zjednodušiť štvorce)
- $B = {\ sqrt {96}}$ .......... (odčítajte hodnoty)
- $B = 9,80$ .......... ( zjednodušiť odmocninu)
- Zdvojnásobením tejto hodnoty zistíte uhlopriečku štvorcovej základne pyramídy. Uhlopriečka základne pyramídy je teda 9,8 x 2 = 19,6 cm.
Za predpokladu štvorcovej základne je výška pyramídy trikrát väčšia ako objem delený druhou mocninou dĺžky strany základne (to znamená trojnásobok objemu deleného základnou plochou).
5
Nájdite stranu základne od uhlopriečky. Základom pyramídy je štvorec. Uhlopriečka akéhokoľvek štvorca sa rovná dĺžke strany vynásobenej druhou odmocninou 2. Naopak, stranu štvorca od jeho uhlopriečky nájdete tak, že ho vydelíte druhou odmocninou z 2.
- Pre túto ukážkovú pyramídu bola vypočítaná uhlopriečka 19,6 cm. Strana sa preto rovná:
  - $S = {\ frac {19,6} {{\ sqrt {2}}}} = {\ frac {19,6} {1,41}} = 13,90$
6
Na výpočet objemu použite stranu a výšku. Vráťte sa k pôvodnému vzorcu a vypočítajte objem pomocou bočnej a kolmej výšky.
- $V = {\ frac {1} {3}} s^{2} h$
- $V = {\ frac {1} {3}} 13,9^{2}*5$
- $V = {\ frac {1} {3}} 193,23*5$
- $V = 322,02 {\ text {cm}}^{3}$