Ako rozdeliť logaritmy?

Ak chcete logaritmy rozdeliť ručne, začnite kontrolou záporných čísel a jednotiek.

Logaritmy sa môžu zdať ťažko použiteľné, ale rovnako ako exponenty alebo polynómy sa musíte naučiť správne techniky. Potrebujete iba vedieť pár základných vlastností na rozdelenie dvoch logaritmov tej istej základne alebo na rozšírenie logaritmu, ktorý obsahuje kvocient.

Metóda 1 z 2: Ručné delenie logaritmov

1
Skontrolujte záporné čísla a jednotky. Táto metóda pokrýva problémy v tvare logb⁡ (x) logb⁡ (a) {\ displaystyle {\ frac {\ log _ {b} (x)} {\ log _ {b} (a)}}} ${\ frac {\ log _ {{b}} (x)} {\ log _ {{b}} (a)}}$ . V niektorých špeciálnych prípadoch to však nefunguje:
- Záznam záporného čísla nie je definovaný pre všetky základy (napríklad $\ log (-3)$ alebo $\ log _ {{4}} (-5)$ )). Napíšte „žiadne riešenie“.
- Denník nuly je tiež nedefinovaný pre všetky bázy. Ak vidíte výraz ako $\ ln (0)$ , napíšte „žiadne riešenie“.
- Denník jedného v akejkoľvek základni ( $\ log (1)$ ) sa vždy rovná nule, pretože $X^{{0}} = 1$ pre všetky hodnoty x. Namiesto použitia nižšie uvedenej metódy nahraďte tento logaritmus číslom 1.
- Ak sa tieto dve logaritmy majú rôzne bázy, ako ${\ frac {log _ {{3}} (x)} {log _ {{4}} (a)}}$ , a nie je možné zjednodušiť buď jeden do celého čísla, problém nie je možné vyriešiť ručne.
2
Skonvertujte výraz do jedného logaritmu. Za predpokladu, že ste nenašli žiadnu z vyššie uvedených výnimiek, môžete teraz problém zjednodušiť do jedného logaritmu. Na tento účel použite vzorec logb⁡ (x) logb⁡ (a) = loga⁡ (x) {\ displaystyle {\ frac {\ log _ {b} (x)} {\ log _ {b} (a) }} = \ log _ {a} (x)} ${\ frac {\ log _ {{b}} (x)} {\ log _ {{b}} (a)}} = \ log _ {{a a} (x)$ .
- Príklad 1: Vyriešte problém ${\ frac {\ log {16}} {\ log {2}}}$ .
  Začnite prevedením tohto do jedného logaritmu pomocou vyššie uvedeného vzorca: ${\ frac {\ log {16}} {\ log {2}}} = \ log _ {{2}} (16)$ .
- Tento vzorec je vzorec „zmena základu“, odvodený od základných logaritmických vlastností.
Ak má ktorýkoľvek z nových logaritmov vo výraze celočíselnú odpoveď, teraz ich zjednodušte.
3
Ak je to možné, vypočítajte ručne. Nezabudnite, že k vyriešeniu loga⁡ (x) {\ displaystyle \ log _ {a} (x)} $\ log _ {{a}} (x)$ , myslím, že " znak? = X {\ displaystyle a ^ {?} = X} $A^{{?}} = X$ " alebo "Čo exponent môžem zvýšiť by dostať x? " Nie je vždy možné to vyriešiť bez kalkulačky, ale ak máte šťastie, skončíte s ľahko zjednodušeným logaritmom.
- Príklad 1 (pokračovanie): Prepíšte $\ log _ {{2}} (16)$ ako $2^{{?}} = 16$ . Hodnota „?“ je odpoveďou na problém. Možno ho budete musieť nájsť pokusom a omylom:
  $2^{{2}} = 2*2 = 4$
  $2^{{3}} = 4*2 = 8$
  $2^{{4}} = 8*2 = 16$
  16 je to, čo ste hľadali, takže $\ log _ {{2}} (16)$ = 4.
4
Ak nemôžete zjednodušiť odpoveď, ponechajte ju v logaritmickom tvare. Niektoré logaritmy je veľmi ťažké vyriešiť ručne. Ak potrebujete odpoveď na praktický účel, budete potrebovať kalkulačku. Ak na hodine matematiky riešite problémy, váš učiteľ s najväčšou pravdepodobnosťou očakáva, že odpoveď necháte ako logaritmus. Tu je ďalší príklad použitia tejto metódy na ťažší problém:
- Príklad 2: Čo je ${\ frac {\ log _ {{3}} (58)} {\ log _ {{3}} (7)}}$ ?
- Preveďte to do jedného logaritmu: ${\ frac {\ log _ {{3}} (58)} {\ log _ {{3}} (7)}} = \ log _ {{7}} (58)$ . (Všimnite si, že ₃ v každom počiatočnom denníku zmiznú; to platí pre každú základňu.)
- Prepísať ako $7^{{?}} = 58$ a otestovať možné hodnoty?:
  $7^{{2}} = 7*7 = 49$
  $7^{{3}} = 49*7 = 343$
  Keďže číslo 58 patrí medzi tieto dve čísla, $\ log _ {{7}} (58)$ nemá celočíselnú odpoveď.
- Odpoveď nechajte ako $\ log _ {{7}} (58)$ .

Metóda 2 z 2: práca s denníkom kvocientu

1
Začnite s problémom delenia v logaritme. Táto časť vám pomôže vyriešiť problémy, ktoré obsahujú výrazy v tvare loga⁡ (xy) {\ displaystyle \ log _ {a} ({\ frac {x} {y}})} $\ log _ {{a}} ({\ frac {x} {y}})$ .
- Začnite napríklad týmto problémom:
  „Riešenie pre n if $\ log _ {{3}} ({\ frac {27} {6n}}) =-6- \ log _ {{3}} (6)$ . “
V príklade nie sú žiadne logaritmy záporných čísel, takže môžete pokračovať k ďalšiemu kroku.
2
Skontrolujte záporné čísla. Logaritmus záporného čísla nie je definovaný. Ak sú x alebo y záporné čísla, skôr ako budete pokračovať, potvrďte, že problém má riešenie:
- Ak je x alebo y záporné, neexistuje riešenie problému.
- Ak sú x aj y záporné, odstráňte záporné znamienka pomocou vlastnosti ${\ frac {-x} {-y}} = {\ frac {x} {y}}$
- V príklade nie sú žiadne logaritmy záporných čísel, takže môžete pokračovať k ďalšiemu kroku.
3
Rozbaľte kvocient do dvoch logaritmov. Jednu užitočnú vlastnosť logaritmov popisuje vzorec loga⁡ (xy) = loga⁡ (x) −loga⁡ (y) {\ displaystyle \ log _ {a} ({\ frac {x} {y}}) = \ log _ {a} (x)-\ log _ {a} (y)} $\ log _ {{a}} ({\ frac {x} {y}}) = \ log _ {{a}} (x)-\ log _ {{a a} (y)$ . Inými slovami, logaritmus kvocientu sa vždy rovná logu čitateľa mínus denníka menovateľa.
- Toto použite na rozbalenie ľavej strany príkladu problému:
  $\ log _ {{3}} ({\ frac {27} {6n}}) = \ log _ {{3}} (27)-\ log _ {{3}} (6n)$
- Nahraďte to späť do pôvodnej rovnice:
  $\ log _ {{3}} ({\ frac {27} {6n}}) =-6- \ log _ {{3}} (6)$
  $\ log _ {{3}} (27)-\ log _ {{3}} (6n) =-6- \ log _ {{3}} (6)$
4
Ak je to možné, zjednodušte logaritmy. Ak má ktorýkoľvek z nových logaritmov vo výraze celočíselnú odpoveď, teraz ich zjednodušte.
- Príklad problému má nový termín: $\ log _ {{3}} (27)$ . Od 3 ³ = 27, zjednodušte $\ log _ {{3}} (27)$ na 3.
- Plné rovnica je teraz:
  $3- \ log _ {{3}} (6n) =-6- \ log _ {{3}} (6)$
Potrebujete iba vedieť pár základných vlastností na rozdelenie dvoch logaritmov tej istej základne alebo na rozšírenie logaritmu, ktorý obsahuje kvocient.
5
Izolujte premennú. Rovnako ako každý problém s algebrou, pomáha izolovať výraz s premennou na jednej strane rovnice. Vždy, keď je to možné, skombinujte podobné výrazy, aby ste rovnicu zjednodušili.
- $3- \ log _ {{3}} (6n) =-6- \ log _ {{3}} (6)$
  $9- \ log _ {{3}} (6n) =-\ log _ {{3}} (6)$
  $\ log _ {{3}} (6n) = 9+\ log _ {{3}} (6)$ .
6
V prípade potreby použite ďalšie vlastnosti logaritmov. Ak chcete izolovať premennú od iných výrazov v rámci rovnakého logaritmu, prepíšte výraz pomocou iných vlastností logaritmu.
- V príklade problému je n stále uväznené v termíne $\ log _ {{3}} (6n)$ .
  Aby sme izolovali n, použijeme súčin vlastností logaritmov: $\ log _ {{a}} (bc) = \ log _ {{a a} (b)+\ log {a} (c)$
  $\ log _ {{3}} (6n) = \ log _ {{3}} (6)+\ log _ {{3}} (n)$
- Nahraďte to späť do úplnej rovnice:
  $\ log _ {{3}} (6n) = 9+\ log _ {{3}} (6)$ $9+$ $\ log _ {3} (6)}$
  $\ log _ {{3}} (6)+\ log _ {{3}} (n) = 9+\ log _ {{3}} (6)$
7
Pokračujte v zjednodušovaní, kým nenájdete riešenie. Na vyriešenie problému zopakujte rovnakú algebru a logaritmické techniky. Ak neexistuje žiadne celočíselné riešenie, použite kalkulačku a zaokrúhlite ho na najbližšiu platnú číslicu.
- $\ log _ {{3}} (6)+\ log _ {{3}} (n) = 9+\ log _ {{3}} (6)$
  $\ log _ {{3}} (n) = 9$
  Od 3⁹ = 19683, n = 19683