Ako vypočítať druhú odmocninu ručne?

Ak chcete vypočítať druhú odmocninu ručne, najskôr odpoveď odhadnite tak, že nájdete 2 perfektné odmocniny, medzi ktorými je číslo.

V dobách pred kalkulačkami museli študenti aj profesori počítať odmocniny ručne. Na riešenie tohto skľučujúceho procesu sa vyvinulo niekoľko rôznych metód, niektoré poskytujú hrubú aproximáciu, iné poskytujú presnú hodnotu. Ak sa chcete dozvedieť, ako nájsť druhú odmocninu čísla iba pomocou jednoduchých operácií, prečítajte si prosím krok 1 nižšie.

Metóda 1 z 2: Použitie primárnej faktorizácie

1
Rozdeľte svoje číslo na dokonalé štvorcové faktory. Táto metóda používa na nájdenie druhej odmocniny čísla faktory (v závislosti od čísla to môže byť presná číselná odpoveď alebo blízky odhad). Rad jeho faktory sú akýkoľvek súbor ďalších čísel, ktorá násobiť spoločne ho robí. Môžete napríklad povedať, že faktory 8 sú 2 a 4, pretože 2 × 4 = 8. Perfektné štvorce sú naopak celé čísla, ktoré sú súčinom iných celých čísel. Napríklad 25, 36 a 49 sú dokonalé štvorce, pretože sú 5², 6² a 7², resp. Faktory dokonalých štvorcov sú, ako ste asi uhádli, faktory, ktoré sú tiež dokonalými štvorcami. Ak chcete začať hľadať odmocninu pomocou primárnej faktorizácie, najskôr sa pokúste zredukovať svoj počet na perfektné odmocniny.
- Použime príklad. Chceme nájsť odmocninu zo 400 ručne. Na začiatku by sme číslo rozdelili na dokonalé štvorcové faktory. Pretože 400 je násobok 100, vieme, že je rovnomerne deliteľný číslom 25 - perfektný štvorec. Rýchle mentálne rozdelenie nám dáva vedieť, že 25 ide na 400 16 -krát. 16 je zhodou okolností tiež perfektné námestie. To znamená, že dokonalý štvorec faktory 400 sú 25 a 16, pretože 25 x 16 = 400.
- Zapísali by sme to ako: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2
Vezmite odmocniny vašich perfektných štvorcových faktorov. Vlastnosť súčinu odmocnin uvádza, že pre akékoľvek dané čísla a a b platí Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Vďaka tejto vlastnosti môžeme teraz vziať odmocniny našich dokonalých štvorcových faktorov a vynásobiť ich dohromady, aby sme získali odpoveď.
- V našom prípade by sme vzali odmocniny 25 a 16. Pozri nižšie:
  - Sqrt (25 × 16)
  - Sqrt (25) × Sqrt (16)
  - 5 × 4 = 20
3
Ak vaše číslo nezodpovedá dokonale, zredukujte svoju odpoveď na najjednoduchšie výrazy. V skutočnom živote častejšie nebudú čísla, pre ktoré budete potrebovať odmocniny, pekné okrúhle čísla so zrejmými perfektnými druhou mocninou ako 400. V týchto prípadoch nemusí byť možné nájsť presnú odpoveď ako celé číslo. Namiesto toho, ak nájdete akékoľvek perfektné druhé mocniny, ktoré môžete, môžete nájsť odpoveď v podobe menšej, jednoduchšej a jednoduchšie spravovateľnej odmocniny. Ak to chcete urobiť, znížte počet na kombináciu dokonalých štvorcových faktorov a nie dokonalých štvorcových faktorov a potom zjednodušte.
- Použime ako príklad druhú odmocninu zo 147. 147 nie je súčinom dvoch dokonalých štvorcov, takže nemôžeme získať presnú celočíselnú hodnotu, ako je uvedené vyššie. Je to však súčin jedného dokonalého štvorca a iného čísla - 49 a 3. Tieto informácie môžeme použiť na napísanie našej odpovede najjednoduchším spôsobom takto:
  - Sqrt (147)
  - = Sqrt (49 × 3)
  - = Sqrt (49) × Sqrt (3)
  - = 7 × sqrt (3)
4
V prípade potreby odhadnite. Ak použijete odmocninu v najjednoduchšom zmysle, je spravidla pomerne jednoduché získať hrubý odhad numerickej odpovede odhadnutím hodnoty všetkých zostávajúcich odmocnin a vynásobením. Jeden zo spôsobov, ako viesť odhady, je nájsť perfektné štvorce na oboch stranách čísla v odmocnine. Budete vedieť, že desatinná hodnota čísla v odmocnine je niekde medzi týmito dvoma číslami, takže budete môcť hádať medzi nimi.
- Vráťme sa k nášmu príkladu. Pretože 2² = 4 a 1² = 1, vieme, že Sqrt (3) je medzi 1 a 2 - pravdepodobne bližšie k 2 ako k 1. Odhadneme 1,7. 7 × 1,7 = 11,9 Ak si svoju prácu skontrolujeme v kalkulačke, vidíme, že sme dosť blízko k skutočnej odpovedi z 12,13.
  - Funguje to aj pri väčších číslach. Napríklad Sqrt (35) sa dá odhadnúť na 5 až 6 (pravdepodobne veľmi blízko 6). 5² = 25 a 6² = 36. 35 je medzi 25 a 36, takže jeho druhá odmocnina musí byť medzi 5 a 6. Pretože 35 je len jedna od 36, môžeme s istotou povedať, že druhá odmocnina je o niečo nižšia ako 6. Kontrola pomocou kalkulačky nám dáva odpoveď asi na 5,92 - mali sme pravdu.
Perfektná odmocnina je akákoľvek druhá odmocnina, ktorá je celým číslom.
5
V prvom kroku znížte počet na najnižšie bežné faktory. Nájdenie dokonalých štvorcových faktorov nie je potrebné, ak môžete ľahko určiť prvočíselné faktory čísla (faktory, ktoré sú tiež prvočíslami). Napíšte svoje číslo z hľadiska najnižších spoločných faktorov. Potom vyhľadajte medzi svojimi faktormi zodpovedajúce páry prvočísel. Keď nájdete dva hlavné faktory, ktoré sa zhodujú, odstráňte obe tieto čísla z odmocniny a jedno z týchto čísel umiestnite mimo odmocniny.
- Ako príklad nájdeme druhú odmocninu zo 45 pomocou tejto metódy. Vieme, že 45 = 9 × 5 a vieme, že 9 = 3 × 3. Takže druhú odmocninu môžeme napísať z hľadiska jej faktorov takto: Sqrt (3 × 3 × 5). Jednoducho odstráňte trojky a dajte jednu 3 mimo odmocniny, aby ste odmocninu získali najjednoduchšie: (3) Sqrt (5). Odtiaľto je to jednoduché odhadnúť.
- Ako posledný príklad problému sa pokúsime nájsť odmocninu z 88:
  - Sqrt (88)
  - = Sqrt (2 × 44)
  - = Sqrt (2 × 4 × 11)
  - = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Máme niekoľko 2 v odmocnine. Pretože 2 je prvočíslo, môžeme pár odstrániť a dať ho mimo odmocniny.
  - = Naša druhá odmocnina je v najjednoduchšom vyjadrení (2) Sqrt (2 × 11) alebo (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Odtiaľto môžeme odhadnúť Sqrt (2) a Sqrt (11) a nájsť približnú odpoveď, ak si budeme priať.

Metóda 2 z 2: Ručné nájdenie odmocnin

Použitie algoritmu s deleným delením

1
Rozdeľte číslice svojho čísla do párov. Táto metóda používa proces podobný dlhému deleniu na nájdenie presnej druhej odmocniny po čísliciach. Aj keď to nie je nevyhnutné, možno zistíte, že je najľahšie vykonať tento postup, ak si vizuálne usporiadate pracovný priestor a svoje číslo do funkčných kúskov. Najprv nakreslite zvislú čiaru oddeľujúcu vašu pracovnú plochu na dve časti, potom nakreslite kratšiu vodorovnú čiaru v blízkosti hornej časti pravej časti, aby ste rozdelili pravú časť na malú hornú časť a väčšiu spodnú časť. Ďalej oddeľte číslice svojich čísel do dvojíc, začínajúc desatinnou čiarkou. Podľa tohto pravidla sa napríklad 79520 789182 47897 zmení na „7 95 20 78 91 82. 47 89 70“. Napíšte svoje číslo v hornej časti ľavého priestoru.
- Skúste napríklad vypočítať druhú odmocninu 780,14. Nakreslite dve čiary, ktorými rozdelíte pracovný priestor, ako je uvedené vyššie, a do hornej časti ľavého priestoru napíšte „7 80. 14“. Je v poriadku, že najviac vľavo je osamelé číslo, a nie dvojica čísel. Svoju odpoveď napíšete (druhá odmocnina 780,14.) Do pravého horného priestoru.
2
Nájdite najväčšie celé číslo n, ktorého štvorec je menší alebo rovný číslu úplne vľavo (alebo páru). Začnite ľavým „kúskom“ svojho čísla, či už ide o pár alebo jedno číslo. Nájdite najväčší dokonalý štvorec, ktorý je menší alebo rovný tomuto kúsku, a potom vezmite odmocninu z tohto dokonalého štvorca. Toto číslo je n. Napíšte n do pravého horného priestoru a napíšte štvorec n do pravého dolného kvadrantu.
- V našom prípade je "kúskom" úplne vľavo číslo 7. Pretože vieme, že 2² = 4 ≤ 7 <3² = 9, môžeme povedať, že n = 2, pretože je to najväčšie celé číslo, ktorého štvorec je menší alebo rovný 7. Napíšte 2 do pravého horného kvadrantu. Toto je prvá číslica našej odpovede. Napíšte 4 (štvorec 2) do pravého dolného kvadrantu. Toto číslo bude dôležité v nasledujúcom kroku.
3
Od páru úplne vľavo odpočítajte číslo, ktoré ste práve vypočítali. Rovnako ako pre dlhé delenie, ďalším krokom je odpočítanie štvorca, ktorý sme práve našli, od kusu, ktorý sme práve analyzovali. Napíšte toto číslo pod prvý kus a odčítajte, svoju odpoveď napíšte nižšie.
- V našom prípade by sme zapísali 4 pod 7 a potom odpočítali. To nám dáva odpoveď na 3.
4
Spustite ďalší pár. Presuňte nasledujúci „kus“ v čísle, pre ktoré riešite druhú odmocninu, vedľa odpočítanej hodnoty, ktorú ste práve našli. Ďalej vynásobte číslo v pravom hornom kvadrante dvoma a napíšte ho do pravého dolného kvadrantu. Vedľa čísla, ktoré ste si práve zapísali, si vyhraďte miesto pre problém s násobením, ktorý urobíte v nasledujúcom kroku napísaním „“ _ × _ = “'.
- V našom prípade je ďalším párom v našom čísle „80“. Napíšte „80“ vedľa trojice v ľavom kvadrante. Ďalej vynásobte číslo vpravo hore dvoma. Toto číslo je 2, takže 2 × 2 = 4. Do pravého dolného kvadrantu napíšte „4“ a za ním _ × _ =.
5
Vyplňte prázdne miesta v pravom kvadrante. Každé prázdne miesto, ktoré ste práve napísali v pravom kvadrante, musíte vyplniť rovnakým celým číslom. Toto celé číslo musí byť najväčšie celé číslo, ktoré umožní, aby bol výsledok problému s násobením v pravom kvadrante nižší alebo rovný súčasnému číslu vľavo.
- V našom prípade vyplnenie prázdnych miest číslom 8 nám poskytne 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. To je viac ako 380. Preto je 8 príliš veľké, ale 7 bude pravdepodobne fungovať. Napíšte 7 do prázdnych medzier a vyriešte: 4 (7) × 7 = 329. 7 sa odhlási, pretože 329 je menej ako 380. Napíšte 7 do pravého horného kvadrantu. Toto je druhá číslica v odmocnine zo 780,14.
6
Od aktuálneho čísla vľavo odpočítajte číslo, ktoré ste práve vypočítali. Pokračujte v reťazci odčítania v štýle dlhých delení. Vezmite výsledok problému s násobením do pravého kvadrantu a odčítajte ho od aktuálneho čísla vľavo, pričom svoju odpoveď napíšte nižšie.
- V našom prípade by sme odpočítali 329 od 380, čo nám dáva 51.
Ak chcete začať hľadať odmocninu pomocou primárnej faktorizácie, najskôr sa pokúste zredukovať svoj počet na perfektné odmocniny.
7
Opakujte krok 4. Odhoďte ďalší kus čísla, na ktorom nachádzate druhú odmocninu. Keď dosiahnete desatinnú čiarku vo svojom čísle, napíšte do odpovede desatinnú čiarku v pravom hornom kvadrante. Potom vynásobte číslo vpravo hore 2 a napíšte ho vedľa prázdneho problému násobenia („_ × _“), ako je uvedené vyššie.
- V našom prípade, pretože sa teraz stretávame s desatinnou čiarkou v 780,14, napíšte desatinnú čiarku za našu aktuálnu odpoveď vpravo hore. Ďalej zahoďte nasledujúci pár (14) do ľavého kvadrantu. Dvakrát je číslo vpravo hore (27) 54, takže do pravého dolného kvadrantu napíšte „54 _ × _ =“.
8
Zopakujte kroky 5 a 6. Nájdite najväčšiu číslicu, ktorou vyplníte prázdne miesta napravo, pričom odpoveď bude menšia alebo rovná aktuálnemu číslu vľavo. Potom problém vyriešte.
- V našom prípade 549 × 9 = 4941, ktoré je nižšie alebo rovné číslu vľavo (5114). 549 × 10 = 5490, čo je príliš vysoko, takže 9 je naša odpoveď. Napíšte 9 ako ďalšiu číslicu v pravom hornom kvadrante a odpočítajte výsledok násobenia od čísla vľavo: 5114 mínus 4941 je 173.
9

Pokračujte vo výpočte číslic. Zahoďte pár núl doľava a zopakujte kroky 4, 5 a 6. Pre väčšiu presnosť pokračujte v opakovaní tohto postupu, aby ste vo svojej odpovedi našli sté, tisícinové atď. Pokračujte v tomto cykle, kým nenájdete odpoveď na požadovanom desatinnom mieste.

Pochopenie procesu

1

Číslo, ktoré vypočítate ako druhú odmocninu, považujte za plochu S štvorca. Pretože plocha štvorca je L ^2, kde L je dĺžka jednej z jeho strán, pokúšate sa nájsť druhú odmocninu svojho čísla a pokúšate sa vypočítať dĺžku L strany tohto štvorca.
2

Zadajte premenné písmena pre každú číslicu odpovede. Priraďte premennú A ako prvú číslicu L (druhá odmocnina, ktorú sa pokúšame vypočítať). B bude jeho druhá číslica, C tretia atď.
3

Zadajte premenné písmena pre každý „kus“ vášho počiatočného čísla. Priraďte premennú S _a k prvej dvojici číslic v S (vaša počiatočná hodnota), S _b k druhej dvojici číslic atď.
4

Pochopte spojenie tejto metódy s dlhým delením. Tento spôsob hľadania druhej odmocniny je v zásade dlhý deliaci problém, ktorý delí vaše počiatočné číslo druhou odmocninou, a tak dáva odpoveď na druhú odmocninu. Rovnako ako v prípade dlhého delenia, v ktorom vás zaujímajú vždy len ďalšie číslice, aj tu vás zaujímajú ďalšie dve číslice naraz (ktoré zodpovedajú ďalšej číslici v čase pre druhú odmocninu)).

Tento spôsob hľadania druhej odmocniny je v zásade dlhý deliaci problém, ktorý delí vaše počiatočné číslo druhou odmocninou, a tak dáva odpoveď na druhú odmocninu.
5
Nájdite najväčšie číslo, ktorého štvorček je menší ako alebo sa rovná s _a. Prvá číslica A v našej odpovedi je potom najväčšie celé číslo, kde štvorec nepresahuje S _a (to znamená A, takže A² ≤ Sa <(A+1) ²). V našom prípade S _a = 7 a 2² ≤ 7 <3², takže A = 2.
- Všimnite si toho, že ak by ste napríklad chceli rozdeliť 88962 na 7 deleným delením, prvý krok by bol podobný: pozerali by ste sa na prvú číslicu 88962 (8) a chceli by ste najväčšiu číslicu, ktorá by sa po vynásobení 7, je nižšia alebo sa rovná 8. V zásade nachádzate d tak, že 7 × d ≤ 8 <7 × (d+1). V tomto prípade by sa d rovnalo 1.
6
Vizualizujte si námestie, ktorého plochu začínate riešiť. Vaša odpoveď, druhá odmocnina vášho štartového čísla, je L, ktorá opisuje dĺžku štvorca s plochou S (vaše počiatočné číslo). Vaše hodnoty pre A, B, C predstavujú číslice v hodnote L. Ďalším spôsobom, ako to povedať, je, že pre dvojcifernú odpoveď 10A + B = L, zatiaľ čo pre trojcifernú odpoveď 100A + 10B + C = L atď.
- V našom prípade (10A + B) ² = L ² = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Nezabudnite, že 10A+B predstavuje našu odpoveď L s B v pozícii jednotiek a A v pozícii desiatok. Napríklad pri A = 1 a B = 2 je 10A+B jednoducho číslo 12. (10A+B) ² je plocha celého štvorca, zatiaľ čo 100a² plocha najväčšieho štvorca vo vnútri, B² je plocha najmenší štvorec a 10a × b je plocha každého z dvoch zostávajúcich obdĺžnikov. Vykonaním tohto dlhého, spletitého procesu nájdeme plochu celého štvorca spočítaním oblastí jeho štvorcov a obdĺžnikov.
7

Odčítajte a² od s _a. Vypustite jeden pár (S _b) číslic zo S. S _a S _b je takmer celková plocha štvorca, od ktorého ste práve odpočítali plochu väčšieho vnútorného štvorca. Zostávajúci zvyšok môže predstavovať číslo N1, ktoré sme získali v kroku 4 (N1 = 380 v našom prípade). N1 sa rovná 2 × 10A × B + B² (plocha dvoch obdĺžnikov plus plocha malého štvorca).
8

Hľadaj n1 = 2 × 10a × b + b², tiež napísané ako n1 = (2 × 10a + B) × B. V našom prípade už poznáte N1 (380) a A (2), takže musíte nájsť B B s najväčšou pravdepodobnosťou nebude celé číslo, takže musíte skutočne nájsť najväčšie celé číslo B tak, aby (2 × 10A + B) × B ≤ N1. Takže máte: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)
9

Vyriešiť. Na vyriešenie tejto rovnice vynásobte A číslom 2, posuňte ho do polohy desiatok (čo sa rovná násobeniu 10), umiestnite B do polohy jednotiek a výsledné číslo vynásobte B. Inými slovami, vyriešte (2 × 10A + B) × B. Presne to urobíte, keď v kroku 4 napíšete „N_ × _ =“ (s N = 2 × A) v pravom dolnom kvadrante. V kroku 5 nájdete najväčší celé číslo B, ktoré zapadá do podčiarkovníka, takže (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10

Od celkovej plochy odpočítajte oblasť (2 × 10a + B) × B. Získate tak plochu S- (10A+B) ², ktorá ešte nie je započítaná (a ktorá bude použitá na výpočet ďalších číslic podobným spôsobom).
11

Na výpočet ďalšej číslice C zopakujte postup. Odhoďte nasledujúci pár (S _c) zo S, aby ste získali N2 vľavo, a hľadajte najväčšie C, aby ste mali (2 × 10 × (10A+B)+C) × C ≤ N2 (ekvivalent písania dvakrát dvojciferné číslo „AB“ a za ním „_ × _ =“. Vyhľadajte najväčšiu číslicu, ktorá sa zmestí na prázdne miesto a poskytne odpoveď, ktorá je menšia alebo rovná N2, ako predtým.

Druhá odmocnina zo 4 je 2 a druhá odmocnina z 9 je 3.

Tipy

Táto metóda funguje pre akýkoľvek základ, nielen pre základ 10 (desatinný).
V tomto prípade možno za „zvyšok“ považovať 1,73: 780,14 = 27,9² + 1,73.
Nebojte sa predložiť kalkul, aj tak vám to bude príjemnejšie. Niektorí ľudia píšu výsledok nad štartové číslo.
Alternatívna metóda používajúca pokračujúce zlomky môže nasledovať tento vzorec: √z = √ (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x +...))). Napríklad na výpočet odmocniny 780,14 je celé číslo, ktorého druhá mocnina je najbližšie k 780,14, 28, takže z = 780,14, x = 28 a y = -3,86. Pripojením a prenesením odhadu iba na x + y/(2x) sa už získa (v najnižších hodnotách) 78203 5800 alebo asi 27931 (1); nasledujúci termín, 437418856607 alebo asi 27,930986 (5). Každý výraz pridáva k predchádzajúcemu takmer 3 desatinné miesta.
Posunutím desatinnej čiarky o prírastok dvoch číslic v čísle (faktor 100) sa desatinná čiarka posunie o jednu číslicu v druhej odmocnine (faktor 10).

Varovania

Nezabudnite oddeliť číslice do dvojíc od desatinnej čiarky. Oddelením 79520 789182 478 977 ako „79 52 07 89 18 2,4 78 97“ získate zbytočné číslo.

Kalkulačka

Prečítajte si tiež: Ako sa naučiť algebru?