Ako urobiť dlhé delenie s polynómami?

Rovnako ako používate pravidelné dlhé delenie na hľadanie faktorov veľkých čísel (napríklad 3624 ÷ 14), môžete použiť polynómové dlhé delenie na hľadanie faktorov veľkých polynómov.

Dlhé delenie v algebre je nástroj na zjednodušenie dlhých polynómových výrazov. Rovnako ako používate pravidelné dlhé delenie na hľadanie faktorov veľkých čísel (napríklad 3624 ÷ 14), môžete použiť polynómové dlhé delenie na hľadanie faktorov veľkých polynómov. Tento proces je v zásade rovnaký ako dlhé delenie s číslami. Ide o opakovanú sériu štyroch krokov: odhad, násobenie, odčítanie, prenos. Pri veľmi dlhých polynómoch pokračujete v rovnakom procese pre ďalšie kroky. Rovnako ako dlhé delenie s číslami niekedy funguje "párne" a niekedy má zvyšok, musíte vedieť, ako sa vysporiadať so zvyškami v polynomiálnom delení.

Metóda 1 z 3: delenie trojčlenu na dvojčlen

1
Prečítajte si problém. Problém vám môže byť predstavený ako jednoduchý problém rozdelenia s pokynmi na nájdenie kvocientu. Môžete mať aj zlomok, pričom jeden polynóm je čitateľ a binominál je menovateľ. Mali by ste to uznať ako príležitosť na rozdelenie.
- Problém s delením možno napríklad uviesť takto: „Nájdite kvocient, keď je $3x^{2}+20x+12$ delené $X+6$ .
- Rovnaký problém by sa vás mohol opýtať: „Jeden faktor $3x^{2}+20x+12$ je $X+6$ . Aký je ďalší faktor?“
- Nakoniec sa úplne rovnaký problém môže javiť ako ${\ frac {3x^{2}+20x+12} {x+6}}$ . Mali by ste uznať, že zlomkový tvar znamená delenie čitateľa na menovateľa.
2
Nastavte problém s dlhým delením. Rovnako ako pri číslach, začnite nakreslením symbolu dlhej divízie, približne takto:) Polynom, ktorý je vašou dividendou, sa nachádza v priestore pod symbolom. Vľavo od symbolu je deliteľ.
- „Dividenda“ je široký termín, ktorého faktory sa pokúšate nájsť. „Deliteľ“ je faktor, ktorým sa delíte. „Kvocient“ je odpoveďou na akýkoľvek problém rozdelenia.
- V prípade polynómov bude tento problém vyzerať takto: $X+6 {\ overline {) 3x^{2}+20x+12}}$ .
3
Odhadnite prvé obdobie svojho kvocientu. Keď robíte dlhé delenie s číslami, nepokúšate sa rozdeliť celé číslo v jednom kroku. Pozeráte sa na prvé jedno alebo dve čísla dividendy a odhadujete, koľkokrát do toho pôjde prvá číslica deliteľa. To isté urobíte s polynomiálnym delením. Pozrite sa na prvý termín deliteľa a rozhodnite sa, koľkokrát bude vstupovať do prvého termínu dividendy.
- Ak napríklad delíte 642 číslom 3, začnite tým, že zvážite, koľkokrát sa 3 delí na prvú číslicu 642. Trojka ide dvakrát na šesť, takže nad deliacu čiaru napíšete 2 nad 6.
- Pri polynomiálnom delení vezmite do úvahy prvý člen dividendy, $3x^{2}$ a prvý člen deliteľa, $X$ . $3x^{2}$ delené $X$ necháva faktor $3x$ . Napíšte $3x$ nad $3x^{2}$ pod symbol delenia.
4
Vynásobte svoj prvý termín deliteľom. S prvým okamihu svojho podielu nad pruhom línie, teraz násobiť, že do úplného deliteľ. Výsledok napíšte pod dividendu.
- S $3x$ ako prvé obdobie svojho podielu, viacnásobne $3x$ o $X+6$ . Vykonajte to vynásobením 3x každým výrazom. Prvý cieľ $3x*x$ a potom $3x*+6$ . Napíšte výsledok, $3x^{2}+18x$ pod prvé dva výrazy polynómu $3x^{2}+20x$ .
5
Odčítať. Rovnako ako ďalším krokom dlhého delenia je odpočítanie vášho výsledku od pôvodného čísla, pri tomto probléme budete odpočítavať polynóm mínus binomiál, ktorý ste práve zapísali. Predchádzajúci krok ste mali napísať pod podobné výrazy polynómu, aby ste ich mohli jednoducho odpočítať smerom nadol. Nakreslite čiaru pod spodný binomický údaj a odčítajte.
- V bežiacom príklade by sa prvé výrazy mali $3x^{2} -3x^{2}$ odčítať $3x2−3x2 {\ displaystyle 3x^{2} -3x^{2}}$ . Toto sa zruší na nulu. Potom odpočítajte druhé výrazy, $20x-18x$ . Pod riadok odčítania napíšte svoju odpoveď $2x$ .
Ak chcete robiť dlhé delenie s polynómami, začnite delením prvého termínu vašej dividendy prvým pojmom vášho deliteľa.
6
Ukončite ďalšie obdobie dividendy. V numerickom dlhom delení by ste teraz znížili ďalšiu číslicu čísla. Pri dlhom delení polynómu skopírujte nasledujúci člen polynómu.
- V tomto prípade je ďalším (a posledným) výrazom polynómu $+12$ . Skopírujte to nadol a povedľa $2x$ a vytvorte binomické číslo $2x+12$ .
7
Začnite proces znova. Porovnajte túto novú dividendu, 2x+2 {\ Displaystyle 2x+2} $2x+2$ s deliteľom x+6 {\ displaystyle x+6} $X+6$ . Zvážte, koľkokrát môže prvý výraz 2x {\ Displaystyle 2x} $2x$ rozdeliť prvý člen deliteľa. X {\ displaystyle x} $X$ . 2x {\ displaystyle 2x} $2x$ delené x {\ displaystyle x} $X$ je 2 {\ displaystyle 2} ${\ displaystyle 2}$ . Napíšte tento výsledok, 2 {\ Displaystyle 2} ${\ displaystyle 2}$ ako ďalšie členstvo svojho kvocientu v hornej časti problému.
- Pretože je ${\ displaystyle 2}$ kladný, napíšte ho ako $+2$ . To poskytne podiel $3x+2$ nad deliacou čiarou.
8
Vynásobte posledný člen kvocientu deliteľom. Pokračujte v procese znásobením.
- V tomto prípade vynásobte $+2$ krát každý člen deliteľa. $X+6$ . Výsledkom bude výsledok $2x+12$ . Napíšte tento výsledok v spodnej časti problému s dlhým delením a zarovnajte výrazy s výsledkom predchádzajúceho odčítania.
9

Odčítať. Zoraďte bežné výrazy a potom ich odčítajte. Dvojčlen v spodnej časti problému z vášho predchádzajúceho odčítania bol $2x+12$ . Pod ním je najnovší produkt, ktorý je tiež $2x+12$ . Keď odčítate každý výraz, výsledok bude nulový.
10
Nahláste svoj výsledok. Keď použijete všetky členy počiatočného polynómu a vaše odčítanie zruší všetky výrazy na nulu, dlhé delenie je hotové. Výsledok 3x2+20x+12 {\ Displaystyle 3x^{2}+20x+12} $3x^{2}+20x+12$ delený x+6 {\ Displaystyle x+6} $X+6$ je 3x+2 {\ Displaystyle 3x+2} $3x+2$ .
- Alternatívne, ak pracujete s problémom vo zlomkovej forme, výsledok bude vyzerať takto:
  - ${\ frac {3x^{2}+20x+12} {x+6}} = {\ frac {(3x+2) (x+6)} {x+6}} = 3x+2$

Metóda 2 z 3: dlhé delenie s dlhšími polynómami

1
Nastavte problém. Rovnako ako pri jednoduchšom probléme, napíšte svoju dividendu pod dlhý deliaci pruh a deliteľ naľavo od neho.
- Predpokladajme, že budete požiadaní o nájdenie podielu 4x3+9x2 − x − 6 {\ Displaystyle 4x^{3}+9x^{2} -x-6} $4x^{3}+9x^{2} -x-6$ deleného x+2 {\ Displaystyle x+2} $X+2$ . Nastavte dlhší polynóm 4x3+9x2 − x − 6 {\ displaystyle 4x^{3}+9x^{2} -x-6} $4x^{3}+9x^{2} -x-6$ pod deliacu lištu a deliteľ x+2 {\ displaystyle x+2} $X+2$ doľava. Bude to vyzerať takto:
  - $X+2 {\ overline {) 4x^{3}+9x^{2} -x-6}}$ .
2
Postupujte rovnako ako predtým. Postupujte podľa rovnakého vzoru štyroch dlhých deliacich krokov ako predtým: Odhad, násobenie, odčítanie, pokračovanie. Jediným rozdielom pri dlhšom probléme je, že budete pokračovať v opakovaní vzoru viackrát.
- Uvažujme o numerickom probléme dlhého delenia $24 {\ overline {) 90048}}$ . Začnete odhadom 2 na 9, potom znížite 0, potom nakoniec znížite ďalších 0, 4 a potom 8. Každé číslo predstavuje celé kolo „Odhad, násobenie, odčítanie, ukončenie“. "
- Pri dlhšom delení polynomu každý z výrazov v dividende $4x^{3}$ , $9x^{2}$ , $-X$ a $-6$ predstavuje jeden celý cyklus „Odhad, násobenie, odčítanie, ukončenie“.
3

Pokračujte až do konca. Pokračujte v práci, kým sa nedostanete k konečnému odčítaniu a nebudete mať žiadne ďalšie termíny na zníženie. Pri tomto príklade problému by rozdelenie malo fungovať rovnomerne, takže konečné odčítanie poskytne výsledok nula.

Napíšte tento výsledok v spodnej časti problému s dlhým delením a zarovnajte výrazy s výsledkom predchádzajúceho odčítania.
4
Nahláste svoj výsledok. Rovnako ako by ste očakávali, že pri delení veľkých čísel bude väčší podiel ako kvocient, pravdepodobne budete mať ako kvocient dlhší polynóm pri dlhšom probléme s algebraickým delením.
- V tomto prípade je výsledok $4x^{3}+9x^{2} -x-6$ delený $X+2$ trinomickým $4x^{2}+x-3$ .

Metóda 3 z 3: riešenie zvyškov v polynomiálnom delení

1
Nastavte svoj problém. Keď začnete s polynomiálnym dlhým delením, nebudete na začiatku vedieť, či budete mať zvyšok. Nastavte problém rovnako ako pri akomkoľvek dlhom delení.
- Predpokladajme napríklad, že máte problém x2 + 5x + 9x + 3 {\ displaystyle {\ frac {x ^ {2} + 5x + 9} {x + 3}}} ${\ frac {x^{2}+5x+9} {x+3}}$ . Nastaviť ako:
  - $X+3 {\ overline {) x^{2}+5x+9}}$ .
2
Odhadnite prvé obdobie svojho kvocientu. Pozrite sa na prvý termín dividendy a prvý termín deliteľa. Odhadnite kvocient a výsledok napíšte nad čiaru.
- V tomto prípade je prvý člen kvocientu $X^{2}$ a prvý člen deliteľa je $X$ . $X^{2}$ delené $X$ ide $X$ krát, takže výsledok napíšte $X$ nad čiaru deliacej čiary.
3
Vynásobte podiel kvocientu deliteľom. Nájdite čiastkový produkt pre prvý krok vynásobením prvého odhadu podielu deliteľom. Napíšte svoj výsledok pod dividendu.
- Pre riešenie tohto problému, násobiť $X$ , ktorý napísal nad bar súlade s podmienkami deliteľ $X+3$ . Výsledok napíšte, $X^{2}+3x$ pod zodpovedajúce výrazy $X^{2}+5x$ .
4
Odčítať. Nakreslite čiaru pod posledný výsledok a odčítajte výraz po termíne. Rozdiely napíšte v spodnej časti problému.
- V tomto prípade sa prvé termíny zrušia ako $X^{2} -x^{2} = 0$ .
- Druhý termín odčítania je $5x-3x$ . Výsledok napíšte $2x$ do spodnej časti problému.
5
Vykonajte ďalšie členenie polynómu. Rovnako ako predtým skopírujte ďalší termín polynomu dividendy nadol a pripočítajte ho k výsledku z vášho kroku odčítania.
- V tomto prípade je konečný termín polynómu $+9$ . Skopírujte to nadol a pridajte to k $2x$ z predchádzajúceho kroku. Vzniká tak binomický štýl $2x+9$ .
6

Opakujte dlhý proces delenia. Pozrite sa na prvé pojmy a rozhodnite sa, koľkokrát sa $X$ vášho deliteľa $X+3$ dostane do $2x$ v spodnej časti. Napíšte tento výsledok ${\ displaystyle 2}$ nad deliacu čiaru v hornej časti problému. To vám dáva podiel $X+2$ .
7
Vynásobte posledný člen kvocientu deliteľom. Na vynásobenie deliteľa použite výraz, ktorý ste práve vložili do kvocientu. Výsledok napíšte na koniec problému s dlhým delením.
- V tomto prípade vynásobte $+2$ každým členom deliteľa. $X+3$ . Výsledok napíšte $2x+6$ dole. Zarovnajte bežné výrazy pod sebou.
Rovnako ako dlhé delenie s číslami niekedy funguje „párne“ a niekedy má aj zvyšok, musíte vedieť, ako sa vysporiadať so zvyškami v polynomiálnom delení.
8
Odčítať. Pod posledným krokom nakreslite čiaru a odpočítajte bežné výrazy.
- V ukážkovom probléme by to malo zanechať odčítanie $2x+9$ mínus $2x+6$ . Prvé termíny, $2x-2x$ budú zrušené. Konečné odčítanie je $9-6$ . Zostáva teda zostávajúca 3. Pretože už nie sú k dispozícii žiadne ďalšie termíny, ktoré by sa mali vzťahovať na polynóm dividendy, je vaša práca dokončená, okrem nahlásenia vášho výsledku.
9
Nahláste svoj výsledok. Pamätajte si, ako zaobchádzate so zvyškami pri delení iba číslami. Predtým, ako ste sa naučili deliť na desatinné miesta, naučili ste sa písať zvyšok ako zlomok nad deliteľ. To isté robíte s polynomiálnym delením. Zostávajúcu časť napíšete ako čitateľa zlomku, pričom deliteľa ako menovateľa.
- Zoberme si numerický príklad, $3 {\ overline {) 35}}$ . Výsledkom by bolo 11, so zvyškom 2. Svoju odpoveď by ste napísali ako $11 {\ frac {2} {3}}$ .
- Pri polynomiálnom delení bol váš kvocient $X+2$ so zvyškom $3$ . Zostávajúcu časť napíšte ako zlomok deliteľa, takže svoj celkový podiel udáte ako $X+2+{\ frac {3} {x+3}}$ .

Tipy

Ako každá iná zručnosť, aj prax robí majstra. Ak budete pracovať na polynomiálnejších problémoch s dlhým delením, naučíte sa vzor veľmi dobre a dlhšie problémy budete môcť robiť veľmi ľahko.

Varovania

V krokoch odčítania dlhého delenia sledujte negatívne znamienka. Nezabudnite, že odčítanie záporného výrazu má za následok sčítanie. Starostlivo sledujte všetky negatívne znaky.

Prečítajte si tiež: Ako vyrobiť síran meďnatý?

Ako urobiť dlhé delenie s polynómami?

Kroky

Metóda 1 z 3: delenie trojčlenu na dvojčlen

Metóda 2 z 3: dlhé delenie s dlhšími polynómami

Metóda 3 z 3: riešenie zvyškov v polynomiálnom delení

Tipy

Varovania

Otázky a odpovede

Prečítajte si tiež: