Ako nájsť primárnu faktorizáciu?
Ak chcete nájsť primárnu faktorizáciu čísla, napíšte ho na vrch listu a nakreslite z neho dve „vetvy“. Potom nájdite 2 ľubovoľné čísla, ktoré sa vynásobia, a vytvorte číslo, s ktorým ste začali, a vložte ich na konce vetiev. Opakujte postup s týmito 2 číslami, zakrúžkujte prvočísla, až sa k nim dostanete, kým vám nezostanú iba prvočísla. Ak vynásobíte všetky tieto prvočísla dohromady, mali by ste dostať pôvodné číslo. Ak sa chcete naučiť používať primárnu faktorizáciu na nájdenie najväčších spoločných faktorov, pokračujte v čítaní!
Ak sa zobrazí výzva na nájdenie primárnej faktorizácie prvočísla, nemusíte vykonávať žiadnu prácu.
Faktorizácia Prime rozdeľuje číslo na najjednoduchšie stavebné prvky. Ak nenávidíte prácu s veľkými číslami, ako je 5733, naučte sa ho namiesto toho zmeniť na 3 x 3 x 7 x 7 x 13. Tento typ problému je životne dôležitý pre kryptografiu alebo techniky používané na zaistenie bezpečnosti informácií. Ak ešte nie ste pripravení vytvoriť si vlastný zabezpečený e -mailový systém, skúste namiesto toho použiť primárnu faktorizáciu na uľahčenie zlomkov.
Časť 1 z 2: Zistenie primárnej faktorizácie
- 1Pochopte faktorizáciu. Faktorizácia je proces „rozdelenia“ čísla na menšie časti. Tieto časti alebo faktory sa navzájom znásobujú, aby sa rovnali pôvodnému číslu.
- Ak chcete napríklad faktorizovať číslo 18, rozdeľte ho na 1 x 18 alebo na 2 x 9 alebo na 3 x 6.
- 2Skontrolujte prvočísla. Prvočíslo má iba dva faktory: samo a 1. Číslo 5 je napríklad súčinom 5 a 1. Nemôžete ho rozdeliť na žiadne iné čísla. Cieľom primárnej faktorizácie je udržať číslo v zlomku, kým nezostanú iba prvočísla. To je obzvlášť užitočné pri manipulácii so zlomkami, čo uľahčuje ich porovnávanie a používanie v rovniciach.
- 3Začnite číslom. Vyberte akékoľvek iné ako prvočíslo väčšie ako 3. Nemá zmysel začínať na prvočíslo, pretože neexistuje spôsob, ako ho rozdeliť.
- Príklad: V tejto príručke nájdeme primárnu faktorizáciu 24.
- 4Rozdeľte to na ľubovoľné dve čísla. Nájdite ľubovoľné dve čísla, ktoré sa vynásobia a vytvoria číslo, s ktorým ste začali. Môžete použiť akékoľvek dve, ktoré vás napadnú, ale prvočíslo vám prácu uľahčí. Jednou z dobrých stratégií je pokúsiť sa rozdeliť číslo na 2, potom na 3, potom na 5 a postupovať nahor cez prvočísla, kým nenájdete také, ktoré by rozdeľovalo rovnomerne.
- Príklad: Ak nepoznáte žiadny faktor 24, skúste ho rozdeliť na malé prvočísla. Rozdelíme 2 a dostaneme 24 = 2 x 12. Ešte nie sme hotoví, ale je to dobrý začiatok.
- Pretože 2 je prvočíslo, je to jednoduchý spôsob, ako začať pri rozdeľovaní ľubovoľného párneho čísla.
- 5Začnite vytvárať faktorový strom. Faktorový strom je jednoduchý spôsob, ako sledovať problém s faktorizáciou. Ak chcete začať s jednou, nakreslite dve „vetvy“ delené od pôvodného čísla. Napíšte svoje dva faktory na koniec týchto vetiev.
- Príklad:
- 24
- /\ \
- 2 12
- 6Vypočítajte ďalší riadok čísel. Pozrite sa na svoje dve nové čísla (druhý riadok vo vašom strome faktorov). Sú obaja prváci? Ak jeden z nich nie je prvočíslom, zvážte to znova rovnakým spôsobom. Nakreslite na strom viac vetiev a nové faktory napíšte do tretieho riadka.
- Príklad: 12 nie je prvočíslo, takže to znova zvážime. Použime 12 = 2 x 6 a pripočítajme ho k stromu faktorov:
- 24
- /\ \
- 2 12
- /\ \
- 2 x 6
- 7Zložte dole. Ak je jeden z faktorov prvoradý, presuňte ho na nasledujúci riadok s vlastnou jedinou „vetvou“. Nie je možné to ďalej rozoberať, takže to zatiaľ len sledujeme.
- Príklad: 2 je prvočíslo. Posuňte 2 z druhého riadku do tretieho.
- 24
- /\ \
- 2 12
- / / \
- 2 2 6
- 8Pokračujte vo faktoringu, kým vám nezostanú iba prvočísla. Každý nový riadok v strome faktorov skontrolujte, keď ho napíšete. Ak je možné niektoré z čísel znova započítať, vytvorte nový riadok. Skončili ste, keď zostanú iba prvé čísla.
- Príklad: 6 nie je prvočíslo a je potrebné ho znova započítať. 2 je prvočíslo, takže dvojky skrátime na nasledujúci riadok.
- 24
- /\ \
- 2 12
- / / \
- 2 2 6
- / / / \
- 2 2 2 3
- 9Napíšte posledný riadok ako svoje hlavné faktory. Nakoniec vám ostanú len prvočísla. Keď sa to stane, faktoring máte hotový. Prvotnou faktorizáciou je celý posledný riadok čísel zapísaný ako problém násobenia.
- Skontrolujte svoju prácu vynásobením posledného riadka. Malo by sa rovnať pôvodnému číslu.
- Príklad: Konečný riadok nášho stromu faktorov nemá nič iné ako 2 s a 3 s. Toto sú obe prvočísla, takže sme skončili. Prvotnú faktorizáciu 24 môžeme zapísať ako 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
- Na poradí faktorov nezáleží. 2 x 3 x 2 x 2 je tiež správna odpoveď.
- 10Zjednodušte používanie exponentov (voliteľné). Ak viete, ako písať exponenty, môžete si uľahčiť čítanie primárnej faktorizácie. Pamätajte si, že exponent je základné číslo, za ktorým nasleduje zvýšené číslo, ktoré udáva, koľkokrát je základ vynásobený.
- Príklad: Koľkokrát sa pri faktorizácii 2 x 2 x 2 x 3 objaví 2? Pretože odpoveď je „tri“, môžeme 2 x 2 x 2 zjednodušiť na 23. Zjednodušený primárnej faktorizácia je 23 x 3.
Tu je postup, ako nájsť GCF 30 a 36 pomocou primárnej faktorizácie: Nájdite primárne faktorizácie týchto dvoch čísel.
Časť 2 z 2: Použitie primárnej faktorizácie
- 1Nájdite najväčší spoločný faktor dvoch čísel. Najväčší spoločný faktor (GCF) dvoch čísel je najväčšie číslo, ktoré je faktorom oboch čísel. Tu je postup, ako nájsť GCF 30 a 36 pomocou primárnej faktorizácie:
- Nájdite hlavné faktorizácie týchto dvoch čísel. Primárna faktorizácia 30 je 2 x 3 x 5. Primárna faktorizácia 36 je 2 x 2 x 3 x 3.
- Nájdite číslo, ktoré sa zobrazuje pri oboch hlavných faktorizáciách. V každom zozname to raz prečiarknite a napíšte do nového riadka. Napríklad 2 je v oboch zoznamoch, takže napíšeme 2 na nový riadok. Zostáva nám 30 =
2x 3 x 5 a 36 =2x 2 x 3 x 3. - Opakujte, kým už nebudú žiadne ďalšie spoločné faktory. V oboch zoznamoch je aj číslica 3, takže si ich zapíšte do nového riadku a vytvorte 2 a 3. Porovnaj 30 =
2 x 3x 5 a 36 =2x 2 x3x 3. Spoločné čísla už nezostali. - Ak chcete nájsť GCF, vynásobte všetky zdieľané faktory dohromady. V našom prípade máme iba 2 a 3, takže GCF je 2 x 3 = 6. Toto je najväčšie číslo, ktoré je faktorom 30 aj koeficientom 36.
- 2Zjednodušte zlomky pomocou GCF. Použite najväčší spoločný faktor, kedykoľvek máte podozrenie zlomok nie je v najjednoduchšej podobe. Pomocou vyššie uvedeného postupu vyhľadajte GCF čitateľa a menovateľa. Hneď ako ho nájdete, rozdeľte obe časti zlomku pomocou GCF. Odpoveďou bude rovnaký zlomok v najjednoduchšej forme.
- Napríklad, zjednodušiť frakcia 30 / 36. Už sme zistili, že GCF je 6, vydeľte čitateľa aj menovateľa 6:
- 30 ÷ 6 = 5
- 36 ÷ 6 = 6
- 30 / 36 = 5/6
- 3Nájdite najmenší spoločný násobok dvoch čísel. Najmenší spoločný násobok (LCM) dvoch čísel je najmenšie číslo, ktoré ako faktory obsahuje obe prvé dve čísla. Napríklad LCM 2 a 3 je 6, pretože má ako faktory 2 aj 3. Tu je príklad nájdenia LCM z primárnej faktorizácie:
- Začnite s dvoma základnými faktorizáciami. Napríklad primárna faktorizácia 126 je 2 x 3 x 3 x 7. Primárna faktorizácia 84 je 2 x 2 x 3 x 7.
- Pre každý jedinečný faktor porovnajte počet zobrazení v každom zozname. Vyberte zoznam, v ktorom sa zobrazuje najväčší počet výskytov, a zakrúžkujte jednotlivé inštancie. Napríklad 2 sa objaví raz vo faktoroch 126, ale dvakrát v zozname pre 84. Zakrúžkujte 2 x 2 v druhom zozname.
- Opakujte pre každý jedinečný faktor. Napríklad 3 sa najčastejšie objavuje v prvom zozname, takže zakrúžkujte 3 x 3 tam. 7 sa v každom zozname zobrazuje iba raz, preto zakrúžkujte jednu 7. (Nezáleží na tom, ktorý zoznam si vyberiete, keď bude remíza.)
- Vynásobením všetkých svojich zakrúžkovaných čísel spoločne nájdite LCM. V našom prípade je najmenší spoločný násobok 126 a 84 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252. Toto je najmenšie číslo, ktoré má 126 aj 84 faktorov.
- 4Na pridanie zlomkov použite LCM. Predtým, ako budete môcť sčítať dve zlomky, musia byť ich menovatelia rovnakí. Nájdite najmenší spoločný násobok dvoch menovateľov. Vynásobte každý zlomok tak, aby novým menovateľom bol LCM. Keď sú obe frakcie v tejto forme, môžete ich zlúčiť.
- Chceme napríklad vyriešiť 1/6 + 4 / 21.
- Použitím vyššie uvedenej metódy nájdeme LCM 6 a 21. Odpoveď je 42.
- Otočením 1/6 na frakciu s 42 ako menovateľ. K tomu, vyriešiť 42 ÷ 6 = 7. násobenie 1/6 x 7/7 = 7 / 42.
- Pre zapnutie 4 / 21 na frakciu s 42 ako menovateľ, rieši 42 až 21 = 2. násobenie 4 / 21 x 2/2 = 8 / 42.
- Teraz, keď máme frakcií vo formách s rovnakým menovateľa, možno ich pridať spolu ľahko: 7 / 42 + 8 / 42 = 15 / 42.
Nájdite hlavné faktorizácie 18 a 52 a potom nájdite ich najmenej spoločný násobok: Primárna faktorizácia 18 je 2 x 3 x 3.
- Skúste tieto problémy vyriešiť sami. Keď si myslíte, že máte správnu odpoveď, zvýraznite ju, aby bola viditeľná. Neskoršie problémy sú ťažšie.
- Nájdite hlavnú faktorizáciu 16: 2 x 2 x 2 x 2
- Napíšte svoju odpoveď pomocou exponentov: 24
- Nájdite hlavnú faktorizáciu 45: 3 x 3 x 5
- Napíšte svoju odpoveď pomocou exponentov: 32 x 5
- Nájdite hlavnú faktorizáciu 34: 2 x 17
- Nájdite hlavnú faktorizáciu 154: 2 x 7 x 11
- Nájdite hlavné faktorizácie 8 a 40 a potom nájdite ich najväčší spoločný faktor: Primárna faktorizácia 8 je 2 x 2 x 2 x 2. Primárna faktorizácia 40 je 2 x 2 x 2 x 5. Ich GCF je 2 x 2 x 2 = 6.
- Nájdite primárne faktorizácie 18 a 52 a potom nájdite ich najmenej spoločný násobok: Primárna faktorizácia 18 je 2 x 3 x 3. Primárna faktorizácia 52 je 2 x 2 x 13. Ich LCM je 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.
Nájdite hlavné faktorizácie 8 a 40 a potom nájdite ich najväčší spoločný faktor: Primárna faktorizácia 8 je 2 x 2 x 2 x 2.
- Každé číslo má jednu jedinečnú primárnu faktorizáciu. Bez ohľadu na to, aké faktory si na ceste vyberiete, dosiahnete tento jedinečný výsledok. Toto sa nazýva základná teória aritmetiky.
- Namiesto toho, aby ste pripravili prvočísla na každý nový riadok stromu faktorov, môžete ich nechať na mieste a namiesto toho ich zakrúžkovať. Keď skončíte s faktoringom, všetky zakrúžkované čísla budú hlavnými faktormi.
- Vždy si skontrolujte svoju prácu. Môžete robiť jednoduché chyby a nevidieť ich.
- Dávajte si pozor na trikové otázky. Ak sa zobrazí výzva na nájdenie primárnej faktorizácie prvočísla, nemusíte vykonávať žiadnu prácu. Primárna faktorizácia 17 je 17; neexistuje spôsob, ako to ďalej rozoberať.
- Môžete nájsť najväčší spoločný faktor a najmenej spoločný multiplikátor troch alebo viacerých čísel.
- Strom faktorov vám nehovorí všetky možné faktory, iba prvočísla.
Prečítajte si tiež: Ako rýchlo množiť až 20 x 20?
Otázky a odpovede
- Aký je hlavný faktor 32?32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2. 2 je prvočíslo. 2 je hlavný faktor 32.
- Aký je hlavný faktor 60?60 má tri hlavné faktory: 2, 3 a 5. 60 = (2²) (3) (5).
- Aký je faktor 63 v strome faktorov?63 = 3² x 7.
- Ako zistím LCM 60, 84 a 96 podľa hlavnej faktorizácie?60 = 2 x 2 x 3 x 5 = (2²) (3) (5). 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = (2²) (3) (7). 96 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 3 = (2^5) (3). LCM by teda malo ako faktory päť 2 (z 96), jeden 3 (z každého z čísel), jeden 5 (zo 60) a jeden 7 (z 84). LCM je teda (2^5) (3) (5) (7) = 3360. Na kontrolu odpovede je 3360 60 x 56, 84 x 40 a 96 x 35. Žiadne číslo menšie ako 3360 nie je presne deliteľné 60, 84 a 96.
- Aký je hlavný faktor 47?Je to prvočíslo. Nemá primárnu faktorizáciu. Prvotnú faktorizáciu majú iba zložené čísla (prvočísla).
- Aké sú hlavné faktory 1296?Prvotnými faktormi sú 2 a 3. Konkrétne ide o 2^4 vynásobené 3^4.
- Aká je hlavná faktorizácia 42?42 = (2) (3) (7).
