Ako porozumieť euklidovskej geometrii?
Geometria bohužiaľ potrebuje čas, ale ak si dáte tú námahu, dokážete to pochopiť.
Euklidovská geometria je o tvaroch, líniách a uhloch a o tom, ako navzájom interagujú. Na začiatku je potrebné vykonať veľa práce, aby ste sa naučili jazyk geometrie. Keď sa naučíte základné postuláty a vlastnosti všetkých tvarov a čiar, môžete tieto informácie začať používať na riešenie problémov s geometriou. Geometria bohužiaľ potrebuje čas, ale ak si dáte tú námahu, dokážete to pochopiť.
Časť 1 z 3: Naučenie sa 5 postulátov euklida
- 1Naučte sa postulát 1- Čiarový segment môže byť vytvorený spojením akýchkoľvek dvoch bodov. Ak máte dva body, A a B, môžete nakresliť úsečku spájajúcu tieto dva body. Spojením dvoch bodov je možné vytvoriť iba jeden riadkový segment.
- 2Vedieť postulát 2- akýkoľvek segment čiary je možné predĺžiť smerom k nekonečnu v oboch smeroch. Keď ste vytvorili úsečku medzi dvoma bodmi, môžete ju predĺžiť na čiaru. Môžete to urobiť predĺžením ktoréhokoľvek konca segmentu nekonečne v rovnakom smere.
- 3Pochopte postulát 3- vzhľadom na akúkoľvek dĺžku a bod môže byť kruh nakreslený s jedným bodom ako stredom a s dĺžkou ako jeho polomerom. Kruh je možné zostrojiť z akéhokoľvek úsečky. Tento postulát platí bez ohľadu na dĺžku úsečky.
Na začiatku je potrebné vykonať veľa práce, aby ste sa naučili jazyk geometrie. - 4Identifikujte postulát 4- všetky pravé uhly sú zhodné. Pravý uhol sa rovná 90°. Každý jeden pravý uhol je zhodný alebo rovnaký. Ak uhol nie je rovný 90°, potom to nie je pravý uhol.
- 5Definujte postulát 5- vzhľadom na čiaru a bod, cez bod, ktorý je rovnobežný s prvým riadkom, je možné nakresliť iba jednu čiaru. Ďalším spôsobom uvedenia tohto postulátu je povedať, že ak sa dve čiary pretínajú s treťou čiarou tak, že súčet vnútorných uhlov jednej strany je menší ako dva pravé uhly, tieto dve čiary sa nakoniec pretnú. Tieto dve čiary nie sú navzájom rovnobežné.
- Tento posledný postulát nemožno dokázať ako vetu. V neeuklidovskej geometrii tento „paralelný“ postulát neplatí.
Časť 2 z 3: pochopenie tvarov, čiar a uhlov
- 1Poznať vlastnosti čiar. Čiara ďalej plynule v oboch smeroch a je označená šípkami na jeho koncoch, ktoré túto skutočnosť uviesť. Čiarový segment je konečný a existuje iba medzi dvoma bodmi. Lúč je hybrid medzi priamkou a úsečkou: od definovaného bodu sa nekonečne rozprestiera v jednom smere.
- Jeden riadok má vždy mierku 180°.
- Dve čiary sú rovnobežné, ak majú rovnaký sklon a nikdy sa nepretínajú.
- Kolmé čiary sú dve čiary, ktoré sa spoja a vytvoria uhol 90°.
- Pretínajúce sa čiary sú akékoľvek dve čiary, ktoré sa navzájom krížia v ktoromkoľvek bode. Rovnobežné čiary sa nikdy nemôžu pretínať, ale kolmé čiary áno.
- 2Naučte sa rôzne typy uhlov. Existujú tri typy uhlov: ostrý, tupý a pravý. Ostrý uhol je akýkoľvek uhol, ktorý meria menej ako 90°. Tupý uhol je široký uhol a je definovaný ako akýkoľvek uhol, ktorý meria viac ako 90°. Pravý uhol meria presne 90°.
- Schopnosť identifikovať rôzne typy uhlov je základnou súčasťou porozumenia geometrie.
- Dve čiary, ktoré zvierajú pravý uhol, sú tiež navzájom kolmé. Tvoria perfektný roh.
- Môžete tiež vidieť priamy uhol, ktorý je jednoducho priamkou. Miera tohto uhla je 180°.
- Napríklad: Štvorec alebo obdĺžnik má štyri uhly 90°, zatiaľ čo kruh nemá žiadne uhly.
- 3Identifikujte typy trojuholníkov. Existujú dva spôsoby identifikácie trojuholníka: podľa veľkosti jeho uhlov (ostrý, tupý a pravý) alebo podľa toho, koľko strán a uhlov je rovnakých (rovnostranné, rovnoramenné a skalénové). V ostrom trojuholníku majú všetky uhly mieru menšiu ako 90°; tupé trojuholníky majú jeden uhol väčší ako 90°; a pravouhlý trojuholník má jeden 90° uhol.
- Rovnostranné trojuholníky majú tri rovnaké strany a tri uhly, ktoré všetky merajú presne 60°.
- Rovnomerné trojuholníky majú dve rovnaké strany a dva rovnaké uhly.
- Scalene trojuholníky nemajú rovnaké strany ani uhly.
Euklidovská geometria je o tvaroch, líniách a uhloch a o tom, ako navzájom interagujú. - 4Naučte sa určiť obvod a plochu 2d tvarov. Štvorce, obdĺžniky, kruhy, trojuholníky atď. Sú všetky tvary, pre ktoré budete potrebovať vedieť vypočítať obvod a plochu. Obvod objektu je mierou všetkých strán objektu, zatiaľ čo plocha je mierou priestoru, ktorý predmet zaberá. Rovnice pre obvod a plochu pre najbežnejšie tvary sú:
- Obvod kruhu sa nazýva obvod a rovná sa 2πr, kde „r“ je polomer.
- Plocha kruhu je πr 2, kde „r“ je polomer.
- Obvod obdĺžnika je 2l + 2w, kde „l“ je dĺžka a „w“ je šírka.
- Plocha obdĺžnika je dxš, kde „l“ je dĺžka a „w“ je šírka.
- Obvod trojuholníka je a + b + c, kde každá premenná označuje jednu stranu trojuholníka.
- Plocha trojuholníka je 0,5 bh, kde „b“ je základňa trojuholníka a „h“ je zvislá výška.
- 5Vypočítajte povrchovú plochu a objem 3D objektov. Rovnako ako môžete vypočítať obvod a plochu 2D objektu, môžete nájsť aj celkový povrch a objem 3D objektu. Objekty, ako sú gule, obdĺžnikové hranoly, pyramídy a valce, majú na to špeciálne rovnice. Plocha povrchu je celková plocha každého povrchu objektu, zatiaľ čo objem je celkové množstvo priestoru, ktoré predmet zaberá.
- Povrch gule je rovný 4πr 2, kde "R" je polomer gule.
- Objem gule sa rovná (1,33) πr 3, kde „r“ je polomer gule.
- Povrch obdĺžnikového hranola je 2 lw + 2lh + 2hw, kde „l“ je dĺžka, „w“ je šírka a „h“ je výška.
- Objem obdĺžnikového hranola je dxšxv, kde „l“ je dĺžka, „w“ je šírka a „h“ je výška.
- 6Identifikujte páry uhlov. Keď priamka pretína ďalšie dve čiary, nazýva sa to priečna. Tieto čiary tvoria dvojice uhlov. Zodpovedajúce uhly sú dva uhly v zodpovedajúcich rohoch voči priečnemu. Alternatívne vnútorné uhly sú dva uhly, ktoré sú vnútri dvoch čiar, ale na opačných stranách priečneho. Alternatívne vonkajšie uhly sú dva uhly, ktoré sú mimo dvoch čiar, ale na opačných stranách priečneho.
- Páry uhlov sú si navzájom rovnaké, ak sú dve priamky rovnobežné.
- Existuje štvrtý pár uhlov: po sebe idúce vnútorné uhly. Toto sú dva uhly na vnútornej strane čiar a na tej istej strane priečnika. Keď sú tieto dve čiary rovnobežné, vnútorné po sebe idúce uhly sa vždy sčítajú až do 180°.
- 7Definujte pytagorovu vetu. Pytagorova veta je praktický spôsob, ako určiť dĺžky strán pravouhlého trojuholníka. Je definovaná ako a 2 + b 2 = c 2, kde „a“ a „b“ sú dĺžka a výška (rovné čiary) trojuholníka a „c“ je prepona (uhlová čiara). Ak poznáte akékoľvek dve strany trojuholníka, môžete pomocou tejto rovnice vypočítať tretiu stranu.
- Napríklad: Ak máte pravouhlý trojuholník so stranou a = 3 a b = 4, môžete nájsť preponu:
- a 2 + b 2 = c 2
- 32 + 42 = c 2
- 9 + 16 = c 2
- 25 = c 2
- c = √25
- c = 25; prepona trojuholnika je 5.
Časť 3 z 3: Riešenie problémov s geometriou
- 1Nakreslite figúrky. Prečítajte si problém a nakreslite ho na ilustráciu. Označte všetky uvedené informácie vrátane všetkých uhlov, čiar, ktoré sú rovnobežné alebo kolmé, a priamok, ktoré sa pretínajú. Potom, čo budete mať základný náčrt problému, možno budete musieť všetko nakresliť druhýkrát. Druhý výkres môže opraviť mierku všetkého a uistiť sa, že všetky uhly sú nakreslené približne správne.
- Označte aj všetkých neznámych.
- Zrozumiteľne nakreslený diagram je najľahší spôsob, ako porozumieť problému.
Mnoho problémov v geometrii bude mať trojuholníky a znalosť vlastností trojuholníkov vám pomôže ich vyriešiť. - 2Vykonávajte pozorovania na základe daností. Ak dostanete úsečku, ale z čiary vychádzajú uhly, viete, že mierka všetkých uhlov sa musí rovnať 180°. Tieto informácie napíšte na diagram alebo na okraje. Je to dobrý spôsob, ako sa zamyslieť nad tým, čo sa otázka pýta.
- Napríklad: Uhol ABC a uhol DBE tvoria priamku, ABE. Uhol ABC = 120°. Aká je miera uhla DBE?
- Pretože súčet uhla ABC a DBE sa musí rovnať 180°, potom uhol DBE = 180° - uhol ABC.
- Uhol DBE = 180° - 120° = 60°.
- 3Na zodpovedanie otázok použite základné vety. Existuje mnoho individuálnych viet, ktoré opisujú vlastnosti trojuholníkov, pretínajúcich sa a rovnobežných čiar a kružníc, ktoré je možné použiť na vyriešenie problému. Identifikujte geometrické tvary v probléme a nájdite vety, ktoré platia. Použite staré dôkazy a problémy ako sprievodcu, aby ste zistili, či medzi nimi existujú podobnosti. Tu sú niektoré zo všeobecných geometrických viet, ktoré budete potrebovať:
- Reflexívna vlastnosť: Premenná je sama osebe rovnaká. x = x.
- Postulát sčítania: Keď sa k rovnakým premenným pripočítajú rovnaké premenné, všetky sumy sú rovnaké. A + B + C = A + C + B.
- Postulát odčítania: Je to podobné ako postulát sčítania, všetky premenné odčítané od rovnakých premenných majú rovnaké rozdiely. A - B - C = A - C - B.
- Náhradný postulát: Ak sú dve veličiny rovnaké, môžete jedno nahradiť druhým v ľubovoľnom výraze.
- Postulát rozdelenia: akýkoľvek celok sa rovná súčtu všetkých jeho častí. Riadok ABC = AB + BC.
- 4Naučte sa vety, ktoré platia pre trojuholníky. Mnoho problémov v geometrii bude mať trojuholníky a znalosť vlastností trojuholníkov vám pomôže ich vyriešiť. Tieto vety používajte na vytváranie geometrických dôkazov. Tu je niekoľko najdôležitejších pre trojuholníky:
- CPCTC: zodpovedajúce časti zhodného trojuholníka sú zhodné
- SSS: strana-strana-strana: ak tri strany jedného trojuholníka sú zhodné s tromi stranami druhého trojuholníka, potom sú trojuholníky zhodné
- SAS: strana-uholník-strana: ak dva trojuholníky majú zhodnú stranu-uhla, potom sú tieto dva trojuholníky zhodné
- ASA: uhol-bočný uhol: ak dva trojuholníky majú zhodný uhol-bočný uhol, potom sú tieto dva trojuholníky zhodné
- AAA: uhol-uhol-uhol: trojuholníky so zhodnými uhlami sú podobné, ale nie nevyhnutne zhodné
Prečítajte si tiež: Ako pripraviť zmrzlinu so snehom?
Otázky a odpovede
- Ako dokážem postulát 2?Postuláty nepodliehajú dôkazu v žiadnom praktickom zmysle. Sú to len bežne dohodnuté vyhlásenia.
- Ako dokážem, že tvar je rovnobežník?Predpokladajme, že postava má štyri strany. Existuje niekoľko spôsobov, ako dokázať, že ide o rovnobežník. Tri najjednoduchšie spôsoby sú: (1) dokázať, že každá strana má rovnakú dĺžku ako jej opačná strana; (2) dokázať, že každý uhol sa rovná jeho opačnému uhlu; a (3) dokázali, že protiľahlé strany sú navzájom rovnobežné.
Komentáre (2)
- Naučil som sa vety, ktoré sa vzťahujú na trojuholníky, niečo, o čo som sa snažil vedieť.
- Kroky a tipy týkajúce sa geometrie boli užitočné.
