Ako dokázať podobné trojuholníky?
Dva trojuholníky je možné dokázať podobné pomocou vety o uhloch, ktorá uvádza: ak dva trojuholníky majú dva zhodné uhly, potom sú tieto trojuholníky podobné.
Podobné trojuholníky sú dva trojuholníky, ktoré majú rovnaké uhly a zodpovedajúce strany majú rovnaké proporcie. Preukázanie podobné trojuholníky sa vzťahuje k geometrickému procesu, o ktorú poskytujú dôkazy pre stanovenie, že dva trojuholníky majú dosť spoločného, ktoré majú byť považované za podobné. Pomocou jednoduchých geometrických viet budete môcť ľahko dokázať, že dva trojuholníky sú podobné.
Časť 1 zo 4: Použitie vety o uhle
- 1Definujte vetu o uhol-uhol (AA). Dva trojuholníky je možné dokázať podobné pomocou vety o uhloch, ktorá uvádza: ak dva trojuholníky majú dva zhodné uhly, potom sú tieto trojuholníky podobné.
- Táto veta sa nazýva aj veta o uhloch, uhloch a uhloch (AAA), pretože ak sú dva uhly trojuholníka zhodné, musí byť zhodný aj tretí uhol. Dôvodom je, že uhly trojuholníka sa musia rovnať 180°.
- 2V jednom z trojuholníkov identifikujte mieru najmenej dvoch uhlov. Pomocou uhlomera zmerajte stupeň aspoň dvoch uhlov na prvom trojuholníku. Označte uhly na trojuholníku, aby ste ich mohli sledovať.
- Vyberte akékoľvek dva uhly na trojuholníku, ktoré chcete zmerať.
- Príklad: Trojuholník ABC má dva uhly, ktoré merajú 30° a 70°.
- 3Zmerajte najmenej dva uhly na druhom trojuholníku. Opäť platí, že pomocou uhlomera zmerajte dva uhly na druhom trojuholníku. Ak sú oba uhly na oboch trojuholníkoch identické, potom sú trojuholníky navzájom podobné.
- Pamätajte si, že ak sú dva uhly trojuholníka rovnaké, potom sú všetky tri rovnaké.
- Príklad: Druhý trojuholník DEF má tiež dva uhly, ktoré merajú 30° a 70°.
- 4Na podobnosť použite vetu o uhle uhla. Keď identifikujete zhodné uhly, môžete pomocou tejto vety dokázať, že trojuholníky sú podobné. Uveďte, že miery uhlov medzi týmito dvoma trojuholníkmi sú totožné, a ako dôkaz o ich podobnosti uvádzajte vetu o uhloch.
- Je možné, že trojuholník s tromi rovnakými uhlami je tiež zhodný, ale tiež by museli mať rovnaké dĺžky strán.
- Príklad: Pretože oba trojuholníky majú dva rovnaké uhly, sú si podobné.
- Poznámka: Ak by tieto tri trojuholníky nemali rovnaké uhly, neboli by podobné. Napríklad: Trojuholník ABC má uhly, ktoré merajú 30° a 70°, a trojuholník DEF má uhly, ktoré merajú 35° a 70°. Pretože 30° sa nerovná 35°, trojuholníky nie sú podobné.
Ak sú oba uhly na oboch trojuholníkoch identické, potom sú trojuholníky navzájom podobné.
Časť 2 zo 4: Použitie vety o bočných uhloch
- 1Definujte vetu o bočných uhloch (SAS) pre podobnosť. Keď má trojuholník dve strany, ktoré sú v rovnakom pomere k inému trojuholníku, a ich zahrnutý uhol je rovnaký, sú tieto trojuholníky podobné.
- Dávajte pozor, aby ste si túto vetu nezamenili s teorémou o bočných uhloch a bokoch kvôli zhode. Aby bola zhoda, obidve strany so zahrnutým uhlom musia byť zhodné; pre podobnosť musia byť pomery strán rovnaké a uhol musí byť totožný.
- Napríklad: Trojuholník ABC a DEF sú podobné, uhol A = uhol D a AB/DE = AC/DF.
- 2Zmerajte rovnaké dve strany každého trojuholníka. Pomocou pravítka odmerajte dve strany trojuholníka ABC a označte ich touto mierkou. Zaistite, aby bol trojuholník DEF orientovaný rovnakým smerom a zmerajte rovnaké dve strany. Označte aj tieto strany.
- Príklad: Opatrenia trojuholníka ABC; strana AB = 4 cm a strana AC = 8 cm. Opatrenia trojuholníka DEF; strana DE = 2 cm a strana DF = 4 cm.
- 3Identifikujte mieru uhla medzi týmito dvoma stranami. Pomocou uhlomera zmerajte zahrnutý uhol alebo uhol medzi dvoma stranami, ktorý ste už zmerali. Pre túto vetu by mala byť miera uhla v oboch trojuholníkoch rovnaká.
- Príklad: Uhol A v trojuholníku ABC je 26°. Uhol D v trojuholníku DEF je tiež 26°.
- 4Vypočítajte podiel dĺžok strán medzi dvoma trojuholníkmi. Ak chcete použiť vetu SAS, strany trojuholníkov musia byť navzájom proporcionálne. Ak to chcete vypočítať, jednoducho použite vzorec AB/DE = AC/DF.
- Príklad: AB/DE = AC/DF; 2 = 2; 2 = 2. Pomery týchto dvoch trojuholníkov sú rovnaké.
- 5Na preukázanie podobnosti použite vetu o bočných uhloch. Keď určíte, že pomery dvoch strán trojuholníka a ich zahrnutého uhla sú rovnaké, môžete vo svojom dôkaze použiť vetu SAS.
- Príklad: Pretože AB/DE = AC/DF a uhol A = uhol D, je trojuholník ABC podobný trojuholníku DEF.
- Poznámka: Ak by uhol A nebol rovnaký ako uhol D, trojuholníky by neboli podobné. Tiež, ak by proporcie neboli rovnaké, trojuholníky by neboli podobné.
Keď identifikujete zhodné uhly, môžete pomocou tejto vety dokázať, že trojuholníky sú podobné.
Časť 3 zo 4: Použitie vety o bočných stranách
- 1Definujte vetu o bočných stranách (SSS) pre podobnosť. Dva trojuholníky by sa považovali za podobné, ak by tri strany oboch trojuholníkov mali rovnaký pomer. Strany s rozmermi 2: 4: 6 a 4: 8: 12 by poskytli dôkaz podobnosti.
- Dávajte si pozor, aby ste si túto vetu nezamenili s vetou o bočných stranách a zhodách: keď dva trojuholníky majú tri rovnaké strany, sú zhodné. Veta o podobnosti sa striktne zaoberá proporciami týchto troch strán.
- Napríklad: V trojuholníku ABC a DEF sú trojuholníky podobné, ak AB/DE = AC/DF = BC/EF.
- 2Zmerajte strany každého trojuholníka. Pomocou pravítka zmerajte všetky tri strany každého trojuholníka. Označte každú stranu, aby ste mali prehľad o všetkých meraniach. Pri každom meraní strán trojuholníka používajte rovnaké jednotky.
- Príklad: trojuholník ABC má strany AB = 10 cm, BC = 15 cm, AC = 20 cm a trojuholník DEF má strany DE = 2 cm, EF = 3 cm a DF = 4 cm.
- 3Vypočítajte pomery medzi stranami každého trojuholníka. Aby bola veta SSS použiteľná, tri strany každého trojuholníka musia byť navzájom proporcionálne. Pomocou bočných meraní vypočítajte pomery podľa vzorca AB/DE = AC/DF = BC/EF.
- Príklad: AB/DE = AC/DF = BC/EF; 10/2 = 20/4 = 11,67; 5 = 5 = 5.
- 4Na preukázanie podobnosti použite vetu o bočných stranách. Ak ste určili, že pomery všetkých troch strán trojuholníkov sú si navzájom rovnaké, môžete pomocou vety SSS dokázať, že tieto trojuholníky sú podobné.
- Príklad: Pretože AB/DE = AC/DF = BC/EF, trojuholník ABC a trojuholník DEF sú podobné.
- Poznámka: Ak AB/DE ≠ AC/DF ≠ BC/EF, potom trojuholníky nebudú podobné.
Dokazovanie podobných trojuholníkov sa týka geometrického procesu, pomocou ktorého poskytujete dôkazy na určenie, že dva trojuholníky majú dosť spoločného na to, aby sa mohli považovať za podobné.
Časť 4 zo 4: napísanie dôkazu
- 1Študujte formát formálneho dôkazu. Dôkaz začína s uvedením uvedených informácií, ktorá je známa ako hypotéza vyhlásenie. Na podporu každého tvrdenia budete musieť poskytnúť zoznam relevantných informácií a dôkazy.
- 2Na vyriešenie problému vytvorte hypotézu alebo doplňte dôkaz. Budete musieť vytvoriť graf, ktorý má spravidla dva stĺpce. Tento prvý stĺpec bude obsahovať vaše vyhlásenia, zatiaľ čo druhý poskytne vaše dôkazy.
- Uistite sa, že posledný riadok v stĺpci výpisu sa vždy zhoduje s tvrdením hypotézy. Stredné rady budú miestom, kde pri riešení problému ukážete svoju prácu. Všetky tvrdenia, ktoré poskytnete, ako aj podporné dôkazy, by sa mali vždy odvolávať na čísla, ktoré sú popísané vo vyhlásení o hypotéze.
- 3Ak ešte nebola poskytnutá ilustrácia, nakreslite diagram obrázkov, ktoré sú popísané v hypotéze. Použite všetky podrobnosti, ktoré sú uvedené v hypotéze. Postavu nakreslite dostatočne veľkú, aby ste tieto detaily ľahko rozoznali. Označte všetky body, ktoré sú popísané, a nezabudnite zahrnúť všetky informácie z tvrdenia týkajúce sa rovnobežných čiar alebo zhodných uhlov.
- 4Zapíšte si uvedené informácie. Pri každom probléme dostanete niekoľko informácií o mierach uhlov a stranách dvoch trojuholníkov, ktoré sa pokúšate dokázať podobne. Prvým krokom pri identifikácii správnej vety, ktorú chcete použiť, je zapísať si informácie, ktoré už poznáte.
- Ak nie je k dispozícii žiadny diagram, nakreslite trojuholníky a potom označte ich uhly a strany danými informáciami.
- 5Vyberte vetu, ktorá vyhovuje daným informáciám. Potom, čo ste si zapísali svoje dané informácie a naučili sa tri možné vety, ktoré by mohli platiť, vyberte si tú, ktorá zodpovedá uvedeným informáciám. Je v poriadku, ak platí viac viet, na dôkaz stačí vybrať jednu.
- Ak žiadna z týchto viet neodpovedá uvedeným informáciám, trojuholníky nie sú podobné.
- 6Napíšte dôkaz. Navrhnite stratégiu na vyriešenie dôkazu. Na podobné trojuholníky platia tri rôzne postuláty alebo matematické teórie. Každý z nich poskytne dostatočný dôkaz na preukázanie toho, že predmetné trojuholníky sú podobné.
- Zhromaždite svoje danosti a príslušné vety a napíšte dôkaz krok za krokom.
- Bočný uhol (SSA) a uhol-uhol-uhol (AAA) sú dve bežne používané „vety“, ktoré v skutočnosti nenaznačujú podobnosť. Pozor na tieto.
Prečítajte si tiež: Ako kúpiť kyselinu citrónovú?
Otázky a odpovede
- Ako vypočítam chýbajúcu stranu?V prípade podobných trojuholníkov má jeden pár zodpovedajúcich strán rovnaký pomer dĺžok ako ostatné dva páry. Ak označíme tri strany jedného trojuholníka a, b, c a označíme zodpovedajúce strany podobného trojuholníka a ', b' a c ', vieme, že a je b alebo c ako a' je b 'alebo c', a tiež, že a je pre 'ako b je pre b' a ako c je pre c '. Ktorýkoľvek z týchto vzťahov môžete ukázať na zlomkových rovniciach, pomocou známych strán v troch zlomkových polohách a riešením pre neznámu („chýbajúcu“) štvrtú stranu. Ak napríklad nie je a = 3, a '= 4, b = 6 a b' neznáme, nastavte rovnicu ako a/a '= b/b' alebo 0,75 = 6/b '. Riešením pre b 'dostaneme neznámu stranu ako 8.
