Ako dokážeme vlastnosť súčtu uhlov trojuholníka?
Na dokázanie vlastnosti súčtu uhlov trojuholníka označte rohy trojuholníka písmenami A, B a C. Nakreslite čiaru rovnobežnú so stranou BC, ktorá prechádza vrcholom A, a označte čiaru PQ. Napíšte rovnicu uhol PAB + uhol BAC + uhol CAQ = 180°. Ďalej napíšte, že uhol PAB sa rovná uhlu ABC a uhol CAQ sa rovná uhlu ACB a nahraďte ich pôvodnou rovnicou. To dokazuje, že súčet všetkých uhlov je 180°. Ak chcete pochopiť, ako použiť túto vetu na vyriešenie neznámeho uhla, čítajte ďalej!
Inými slovami, v trojuholníku ABC je uhol B + uhol A + uhol C = 180°.
Je všeobecne známe, že súčet všetkých vnútorných uhlov trojuholníka je 180°, ale ako to vieme? Aby ste dokázali, že súčet všetkých uhlov trojuholníka je 180 stupňov, musíte porozumieť niektorým bežným geometrickým vetám. Použitím niekoľkých z týchto geometrických konceptov existuje jednoduchý dôkaz, ktorý je možné napísať.
Časť 1 z 2: preukázanie vlastnosti súčtu uhlov
- 1Nakreslite čiaru rovnobežnú so stranou BC trojuholníka, ktorá prechádza vrcholom A. Označte čiaru PQ. Zostrojte túto čiaru rovnobežne so spodkom trojuholníka.
- 2Napíšte rovnicu uhol PAB + uhol BAC + uhol CAQ = 180 stupňov. Nezabudnite, že všetky uhly, ktoré tvoria priamku, sa musia rovnať 180°. Pretože sa uhol PAB, uhol BAC a uhol CAQ spoja a vytvoria priamku PQ, ich uhly sa musia rovnať 180°. Nazvite túto rovnicu 1.
- 3Uveďte tento uhol PAB = uhol ABC a uhol CAQ = uhol ACB. Pretože ste zostrojili priamku PQ rovnobežnú so stranou BC trojuholníka, alternatívne vnútorné uhly (PAB a ABC) vytvorené priečnou čiarou (čiara AB) sú zhodné. Podobne sú zhodné aj alternatívne vnútorné uhly (CAQ a ACB) vytvorené priečnou čiarou AC.
- Rovnica 2: uhol PAB = uhol ABC
- Rovnica 3: uhol CAQ = uhol ACB
- Je to geometrická veta, že striedavé vnútorné uhly rovnobežných čiar sú zhodné.
- 4Náhradou uhla PAB a uhla CAQ v rovnici 1 sú uhol ABC a uhol ACB (ako je uvedené v rovnici 2 a rovnici 3). Vedieť, že alternatívne vnútorné uhly sú rovnaké, vám umožní nahradiť uhly trojuholníka uhlami čiary.
- Tak dostaneme, Uhol ABC + uhol BAC + uhol ACB = 180°.
- Inými slovami, v trojuholníku ABC je uhol B + uhol A + uhol C = 180°. Súčet všetkých uhlov trojuholníka je teda 180°.
Napríklad v trojuholníku ABC uhol A + uhol B + uhol C = 180°.
Časť 2 z 2: Pochopenie vlastnosti súčtu uhlov
- 1Definujte vlastnosť súčtu uhlov. Vlastnosť súčtu uhlov trojuholníka uvádza, že uhly trojuholníka sú vždy 180°. Každý trojuholník má tri uhly a či už ide o ostrý, tupý alebo pravouhlý trojuholník, sú uhly súčtom 180°.
- Napríklad v trojuholníku ABC uhol A + uhol B + uhol C = 180°.
- Táto veta je užitočná na nájdenie miery neznámeho uhla, keď poznáte ďalšie dva.
- 2Príklady štúdií. Aby ste tento koncept skutočne pochopili, môže byť užitočné preštudovať si niekoľko príkladov. Pozrite sa na pravý trojuholník, kde jeden z uhlov je 90° a ostatné uhly merajú 45°. Zhrnutie 90° + 45° + 45° = 180°. Študujte ďalšie trojuholníky rôznych tvarov a veľkostí a sčítajte ich uhly. Uvidíte, že sa vždy sčítajú až o 180°.
- Pre príklad pravouhlého trojuholníka: uhol A = 90°, uhol B = 45° a uhol C = 45°. Veta hovorí, že uhol A + uhol B + uhol C = 180°. Sčítaním uhlov získate 90° + 45° + 45° = 180°. Ľavá strana (LHS) sa preto rovná pravej strane (RHS).
- 3Na vyriešenie neznámeho uhla použite vetu. Ak poznáte ďalšie dva uhly trojuholníka, pomocou jednoduchej algebry môžete použiť vetu o súčte na vyriešenie neznámeho uhla. Ak chcete vyriešiť neznámy uhol, usporiadajte základnú rovnicu.
- Napríklad v trojuholníku ABC je uhol A = 67° a uhol B = 43°, ale uhol C nie je známy.
- uhol A + uhol B + uhol C = 180°
- 67° + 43° + uhol C = 180°
- uhol C = 180° - 67° - 43°
- uhol C = 70°
Prečítajte si tiež: Ako porozumieť euklidovskej geometrii?
Otázky a odpovede
- Ako nájdem trojuholníkové vety?Pozrite sa do akejkoľvek učebnice geometrie.
- Aký je súčet v trojuholníku s uhlami 360?Ak sú uhly súčtom 360, potom to nie je trojuholník. Uhol trojuholníka je 180 stupňov.
- Čo tvoria vonkajšie uhly?Súčet vonkajších uhlov akéhokoľvek polygónu vrátane trojuholníka je 180 stupňov.
- Čo je mierou tretieho uhla uvedeného nižšie ako 9030?Tri uhly sa musia sčítať až do 180°. Sčítajte dva známe uhly. Odpočítajte ich súčet od 180°. 90° + 30° = 120°. 180° - 120° = 60°.
- Ako nájdem mieru všetkých uhlov v trojuholníku ABC, keď sú vonkajšie uhly 130 a 120?Vnútorné uhly, ktoré zodpovedajú týmto dvom vonkajším uhlom, sú 50° a 60°. 50° plus 60° sa rovná 110°, takže tretí vnútorný uhol je 180° - 110° = 70°.
- Ako môžem tiež dokázať, že používam metódu „alternatívneho opačného uhla“? (Súčet všetkých uhlov trojuholníka)Váš vonkajší uhol bude striedavo a opačne rovnaký ako vnútorný, pretože čiary, medzi ktorými trojuholník leží v skúšobnom diagrame, budú rovnobežné. Súčet uhlov dotýkajúcich sa čiary iba s jedným vrcholom bude 180, pretože všetky ležia na tej istej čiare. Striedavé opačné vonkajšie uhly sa budú rovnať striedavému opačnému vnútornému uhlu kvôli striedavému opačnému vnútornému uhlu. Vonkajší uhol A by bol rovný uhlu D, B až E a C až C. A + B + C = 180 (všetky ležia na tej istej čiare, 2 vonkajší 1 vnútorný uhol), A = D (striedavo protiľahlé vnútorné uhly), B = E (rovnaký dôvod). 4. C = C 5. preto C + D + E = 180 Preto sa dokázalo
- Ako zistím súčet uhlov trojuholníka?Súčet je vždy 180°.
- Ako dokážem, že uhly štvoruholníka sú 360°?Nakreslite svoje uhlopriečky. Zobrazia sa štyri trojuholníky, ktoré zvierajú 12 uhlov. Vieme, že súčet týchto uhlov bude 180 x 4, teda 720°. Uhly, ktoré sa spájajú v strede mnohouholníka, zvierajú celý uhol, 360°. Takže súčet ostatných uhlov, ktoré sa rovnajú súčtu uhlov štvoruholníkov, je 720-360°. Táto ukážka ukazuje, že ak pridáte stranu do mnohouholníka, pridáte trojuholník, takže 180° k súčtu súčtu, a stred zostane 360°. To vám dáva vzorec pre súčet uhlov na základe počtu strán N: 180 x N - 360. ktorý môžete činiť 180 (N -2).
- Ako to dokážem pomocou alternatívnych uhlov?Vezmite trojuholník ABC a nechajte čiaru rovnobežnú s BC prechádzajúcu A. Teraz máme čiaru DAE II BC. Preto uhol B = uhol DAB (alternatívne uhly) Uhol C = uhol EAC (alternatívne uhly) DAE je priamka, preto uhol DAB + A + EAC = 180 stupňov Ale uhol B = DAB a C = EAC je teda dokázaný, uhol A + B + C = 180 stupňov.
