Ako racionalizovať menovateľa?
Ak chcete racionalizovať menovateľa, začnite vynásobením čitateľa a menovateľa radikálom v menovateli. Potom v prípade potreby zlomok zjednodušte. Ak pracujete so zlomkom, ktorý má binomický menovateľ alebo dva výrazy v menovateli, vynásobte čitateľa a menovateľa konjugátom menovateľa. Ak chcete získať konjugát, otočte znamienko vo výraze. Potom svoju odpoveď podľa potreby zjednodušte. Ak sa chcete dozvedieť, ako racionalizovať menovateľa pomocou koreňa kocky, posuňte sa nadol!
Ak pracujete so zlomkom, ktorý má binomický menovateľ alebo dva výrazy v menovateli, vynásobte čitateľa a menovateľa konjugátom menovateľa.
Radikálne alebo iracionálne číslo nemožno tradične ponechať v menovateli (spodnej časti) zlomku. Keď sa radikál objaví v menovateli, musíte zlomok vynásobiť výrazom alebo skupinou výrazov, ktoré môžu tento radikálny výraz odstrániť. Aj keď používanie kalkulačiek spôsobuje, že racionalizačné zlomky sú už trochu zastarané, táto technika môže byť stále testovaná v triede.
Časť 1 zo 4: racionalizácia monomického menovateľa
- 1Preskúmajte zlomok. Zlomok je napísaný správne, ak v menovateli nie je žiadny radikál. Ak menovateľ obsahuje odmocninu alebo iný radikál, musíte vynásobiť hornú aj dolnú časť číslom, ktoré ho môže zbaviť tohto radikálu. Všimnite si toho, že čitateľ môže obsahovať radikál. S čitateľom si nerobte starosti.
- Nepodarilo sa analyzovať (chyba syntaxe): {\ displaystyle \ frac {7 \ sqrt {3}} {2 \ sqrt {7}}
- Vidíme, že v menovateli je 7 {\ Displaystyle {\ sqrt {7}}} .
- 2Vynásobte čitateľa a menovateľa radikálom v menovateli. Najľahšie sa racionalizuje zlomok s monomickým výrazom v menovateli. Horná aj dolná časť zlomku musí byť vynásobené rovnakým výrazom, pretože to, čo skutočne robíte, je násobenie 1.
- 7327⋅77 {\ displaystyle {\ frac {7 {\ sqrt {3}}} {2 {\ sqrt {7}}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {7}} {\ sqrt {7}}} }
- 3Zjednodušte podľa potreby. Podiel je teraz racionalizovaný.
- 7327⋅77 = 72114 = 212 {\ displaystyle {\ frac {7 {\ sqrt {3}}} {2 {\ sqrt {7}}}} \ cdot {\ frac {\ sqrt {7}} {\ sqrt { 7}}} = {\ frac {7 {\ sqrt {21}}} {14}} = {\ frac {\ sqrt {21}} {2}}}
Ako môžem racionalizovať menovateľa pomocou koreňa kocky, ktorý má premennú?
Časť 2 zo 4: racionalizácia binomického menovateľa
- 1Preskúmajte zlomok. Ak váš zlomok obsahuje v menovateli súčet dvoch výrazov, z ktorých aspoň jeden je iracionálny, potom zlomok v čitateľovi a menovateli nemôžete vynásobiť.
- 42+2 {\ displaystyle {\ frac {4} {2+{\ sqrt {2}}}}}
- Ak chcete zistiť, prečo je to tak, napíšte ľubovoľný zlomok 1a+b, {\ Displaystyle {\ frac {1} {a+b}},} kde sú iracionálne {\ Displaystyle a} a b {\ Displaystyle b} Potom výraz (a+b) (a+b) = a2+2ab+b2 {\ displaystyle (a+b) (a+b) = a^{2}+2ab+b^{2}} obsahuje kríž -term 2ab. {\ displaystyle 2ab.} Ak je aspoň jeden z {\ Displaystyle a} a b {\ Displaystyle b} iracionálnych, potom bude krížový termín obsahovať radikál.
- Pozrime sa, ako to funguje na našom príklade.
- 42+2⋅2+22+2 = 4 (2+2) 4+42+2 {\ displaystyle {\ frac {4} {2+{\ sqrt {2}}}} \ cdot {\ frac {2+ {\ sqrt {2}}} {2+{\ sqrt {2}}}} = {\ frac {4 (2+{\ sqrt {2}})}} {4+4 {\ sqrt {2}}+ 2}}}
- Ako vidíte, neexistuje žiadny spôsob, ako by sme sa mohli zbaviť menovateľa 42 {\ Displaystyle 4 {\ sqrt {2}}} v menovateli.
- 2Vynásobte zlomok konjugátom menovateľa. Konjugát výrazu je rovnaký výraz s obráteným znamienkom. Napríklad konjugát 2+2 {\ Displaystyle 2+{\ sqrt {2}}} je 2–2. {\ Displaystyle 2-{\ sqrt {2}}.}
- 42+2⋅2−22−2 {\ displaystyle {\ frac {4} {2+{\ sqrt {2}}}} \ cdot {\ frac {2-{\ sqrt {2}}} {2- { \ sqrt {2}}}}}
- Prečo konjugát funguje? Keď sa vrátime k nášmu ľubovoľnému zlomku 1a+b, {\ Displaystyle {\ frac {1} {a+b}},} vynásobením konjugátu v čitateľovi a menovateli dôjde k menovateli (a+b) (a − b) = a2 − b2. {\ Displaystyle (a+b) (ab) = a^{2} -b^{2}.} Kľúčom je, že neexistujú žiadne krížové výrazy. Pretože sa obidva tieto výrazy zarovnávajú na druhú, budú odstránené všetky odmocniny.
- 3Zjednodušte podľa potreby.
- 42+2⋅2−22−2 = 4 (2−2) 4−2 = 4−22 {\ displaystyle {\ frac {4} {2+{\ sqrt {2}}}} \ cdot {\ frac { 2-{\ sqrt {2}}} {2-{\ sqrt {2}}}} = {\ frac {4 (2-{\ sqrt {2}})} {4-2}} = 4-2 {\ sqrt {2}}}
Ako racionalizujete koreň kocky v menovateli pre otázku ako 1/(koreň kocky 5- kocka 3)?
Časť 3 zo 4: práca s recipročnými znamienkami
- 1Preskúmajte problém. Ak sa zobrazí výzva na napísanie recipročného súboru množiny výrazov obsahujúcich radikál, pred zjednodušením budete musieť racionalizovať. Metódu použite pre monomické alebo binomické menovatele v závislosti od toho, čo sa na problém vzťahuje.
- 2−3 {\ displaystyle 2-{\ sqrt {3}}}
- 2Napíšte vzájomné slovo, ako by sa zvyčajne zdalo. Pri prevrátení zlomku sa vytvorí recipročné. Náš výraz 2−3 {\ displaystyle 2-{\ sqrt {3}}} je v skutočnosti zlomok. Je to len delené 1.
- 12−3 {\ displaystyle {\ frac {1} {2-{\ sqrt {3}}}}}
- 3Vynásobte niečo, čo vás môže zbaviť radikálov na dne. Pamätajte si, že v skutočnosti násobíte 1, takže musíte vynásobiť čitateľa aj menovateľa. Náš príklad je binomický, takže vynásobte hornú a dolnú časť konjugátom.
- 12−3⋅2+32+3 {\ displaystyle {\ frac {1} {2-{\ sqrt {3}}}} \ cdot {\ frac {2+{\ sqrt {3}}} {2+ { \ sqrt {3}}}}}
- 4Zjednodušte podľa potreby.
- 12−3⋅2+32+3 = 2+34−3 = 2+3 {\ displaystyle {\ frac {1} {2-{\ sqrt {3}}}} \ cdot {\ frac {2+{\ sqrt {3}}} {2+{\ sqrt {3}}}} = {\ frac {2+{\ sqrt {3}}} {4-3}} = 2+{\ sqrt {3}}}
- Nenechajte sa zmiasť skutočnosťou, že recipročné je konjugát. Je to len náhoda.
Ak chcete racionalizovať menovateľa, začnite vynásobením čitateľa a menovateľa radikálom v menovateli.
Časť 4 zo 4: racionalizácia menovateľov s koreňom kocky
- 1Preskúmajte zlomok. Môžete tiež očakávať, že v určitom bode budete čeliť koreňom kocky v menovateli, aj keď sú vzácnejšie. Táto metóda tiež zovšeobecňuje na korene akéhokoľvek indexu.
- 333 {\ displaystyle {\ frac {3} {\ sqrt [{3}] {3}}}}
- 2Prepíšte menovateľ v zmysle exponentov. Nájdenie výrazu, ktorý tu racionalizuje menovateľa, bude trochu iné, pretože sa nemôžeme jednoducho vynásobiť radikálom.
- 330,33 {\ displaystyle {\ frac {3} {3^{0,33}}}}
- 3Vynásobte hornú a dolnú časť niečím, čo robí exponent v menovateli 1. V našom prípade ide o koreň kocky, takže vynásobte 30 6 730,67. {\ Displaystyle {\ frac {3^{0,67}} {3^{0,67}}}.}} Pamätajte si, že exponenty premieňajú problém násobenia na problém sčítania pomocou vlastnosti abac = ab+c. {\ Displaystyle a^{b} a^{c} = a^{b +c}.}
- 330,33⋅30,6730,67 {\ displaystyle {\ frac {3} {3^{0,33}}} \ cdot {\ frac {3^{0,67}} {3^{0,67}}} }
- To sa dá zovšeobecniť na n -té korene v menovateli. Ak máme 1a1/n, {\ displaystyle {\ frac {1} {a^{1/n}}}},} vynásobíme hornú a dolnú časť číslom a1−1n. {\ Displaystyle a^{1-{\ frac {1} {n}}}.} Tým sa stane exponent v menovateli 1.
- 4Zjednodušte podľa potreby.
- 330,33⋅30,6730,67 = 30,67 {\ Displaystyle {\ frac {3} {3^{0,33}}} \ cdot {\ frac {3^{0,67}} {3^{0, 67}}} = 3^{0,67}}
- Ak to chcete napísať radikálnym spôsobom, odpočítajte 0,33. {\ Displaystyle 0,33.}
- 30,67 = (32) 0,33 = 93 {\ Displaystyle 3^{0,67} = (3^{2})^{0,33} = {\ sqrt [{3}] {9}}}
![{\ frac {3} {{\ sqrt [{3}] {3}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a37ab9394065e1be3dca1eeb4e96021d86c08a2)
![3^{{0,67}} = (3^{{2}})^{{0,33}} = {\ sqrt [{3}] {9}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e059be31ff9a14ad50f7f395de6079811267a674)
Prečítajte si tiež: Ako sa správať v školskom vedeckom laboratóriu?
Otázky a odpovede
- Ako racionalizujete koreň kocky v menovateli pre otázku ako 1/(koreň kocky 5- kocka 3)?Je to trochu zložitejšie, ale dá sa to zvládnuť. Vynásobte hornú a dolnú časť (kubotom 25 + kubotom 15 + kubotom 9) a menovateľ sa zjednoduší na 2. Tento trik je analogický s kvadratickým prípadom, pretože používa faktorizáciu rozdielu kociek 5-3, zatiaľ čo kvadratiky používajú rozdiel faktorizácia štvorcov.
- Ako racionalizujem pomocou troch výrazov?Niečo ako 1/(1 + root2 + root3)? Ak je to tak, zoskupte ako 1+ (root2 + root3) a vynásobte „rozdielom konjugátu štvorcov“ 1- (root2 + root3). Vďaka tomu je menovateľ -4 - root6, ktorý je stále iracionálny, ale zlepšil sa z dvoch iracionálnych výrazov na iba jeden. Opakujte teda ten istý trik vynásobením -4+root6 a menovateľ sa racionalizuje.
- Čo na vašich obrázkoch znamená bod?Ak sa pýtate na body, ktoré sú umiestnené medzi rôznymi zlomkami, sú to znaky násobenia. Na druhom obrázku článku napríklad vidíme (7√3) / (2√7), potom bodku a potom (√7 / √7). To znamená, že vynásobíme prvý zlomok druhým zlomkom (čitateľ krát čitateľ a menovateľ krát menovateľ), čím dostaneme (7√21) / 14, čo zjednoduší na √21 / 2. (Mimochodom, článok ukazuje niektoré ďalšie bodky, ktoré nie sú medzi zlomkami. Sú to iba „odrážky“.)
- Ako môžem racionalizovať menovateľa pomocou koreňa kocky, ktorý má premennú?Ak ide o binomický výraz, postupujte podľa krokov uvedených v metóde 2.
