Ako riešiť matice?

Druhý riadok matice bude 2, -21, -3 a tretí riadok bude 11,17.

Matica je veľmi užitočný spôsob reprezentácie čísel v blokovom formáte, ktorý potom môžete použiť na riešenie sústavy lineárnych rovníc. Ak máte iba dve premenné, pravdepodobne použijete inú metódu. Príklady týchto ďalších metód nájdete v téme Riešenie sústavy dvoch lineárnych rovníc a Riešenie sústav rovníc. Ale keď máte tri alebo viac premenných, matica je ideálna. Použitím opakovaných kombinácií násobenia a sčítania môžete systematicky dospieť k riešeniu.

Časť 1 zo 4: Nastavenie matice na riešenie

1
Overte, či máte dostatok údajov. Aby ste získali jedinečné riešenie pre každú premennú v lineárnom systéme pomocou matice, musíte mať toľko rovníc, koľko premenných sa pokúšate vyriešiť. Napríklad s premennými x, y a z budete potrebovať tri rovnice. Ak máte štyri premenné, potrebujete štyri rovnice.
- Ak máte menej rovníc ako je počet premenných, budete sa môcť dozvedieť niekoľko obmedzujúcich informácií o premenných (napríklad x = 3y a y = 2z), ale nemôžete získať presné riešenie. V tomto článku sa budeme snažiť získať iba jedinečné riešenie.
2
Napíšte svoje rovnice v štandardnej forme. Predtým, ako budete môcť prenášať informácie z rovníc do maticovej formy, najskôr napíšte každú rovnicu v štandardnom formáte. Štandardný tvar lineárnej rovnice je Ax+By+Cz = D, kde veľké písmená sú koeficienty (čísla) a posledné číslo - v tomto prípade D - je na pravej strane znamienka rovnosti.
- Ak máte viac premenných, budete pokračovať v rade tak dlho, ako bude potrebné. Ak sa napríklad pokúšate vyriešiť systém so šiestimi premennými, váš štandardný tvar by vyzeral ako Au+Bv+Cw+Dx+Ey+Fz = G. V tomto článku sa zameriame na systémy iba s tromi premennými. Riešenie väčšieho systému je úplne rovnaké, vyžaduje si však viac času a viac krokov.
- Upozorňujeme, že v štandardnej forme sú operácie medzi výrazmi vždy doplnkové. Ak vaša rovnica má namiesto sčítania odčítanie, budete s tým musieť neskôr pracovať, aby bol váš koeficient záporný. Ak vám to pomôže spomenúť si, môžete rovnicu prepísať a doplniť operáciu a koeficient záporne. Rovnicu napríklad 3x-2y+4z = 1 môžete prepísať ako 3x+(-2y)+4z = 1.
3
Preneste čísla zo systému rovníc do matice. Matica je skupina čísiel usporiadaných do blokovo vyzerajúceho formátu, s ktorými budeme pracovať na vyriešení systému. V skutočnosti nesie rovnaké údaje ako samotné rovnice, ale v jednoduchšom formáte. Ak chcete vytvoriť maticu z vašich rovníc v štandardnej forme, skopírujte koeficienty a výsledok každej rovnice do jedného riadka a tieto riadky naukladajte na seba.
- Predpokladajme napríklad, že máte systém, ktorý pozostáva z troch rovníc 3x+yz = 9, 2x-2y+z = -3 a x+y+z = 7. Horný riadok vašej matice bude obsahovať čísla 31, -19, pretože to sú koeficienty a riešenie prvej rovnice. Všimnite si toho, že každá premenná, ktorá nemá žiadny koeficient, sa predpokladá, že má koeficient 1. Druhý riadok matice bude 2, -21, -3 a tretí riadok bude 11,17.
- Nezabudnite zarovnať koeficienty x v prvom stĺpci, koeficienty y v druhom, koeficienty z v treťom a podmienky riešenia vo štvrtom. Keď skončíte s prácou s maticou, tieto stĺpce budú dôležité pri písaní vášho riešenia.
4

Okolo celej matice nakreslite veľkú hranatú zátvorku. Podľa konvencie je matica označená dvojicou hranatých zátvoriek [] okolo celého bloku čísel. Zátvorky nijako nezohľadňujú riešenie, ale ilustrujú, že pracujete s maticami. Matica môže pozostávať z ľubovoľného počtu riadkov a stĺpcov. Ako budeme postupovať v tomto článku, použijeme zátvorky okolo výrazov v rade, aby sme im pomohli spojiť sa s nimi.

Správnym nastavením matice ich môžete použiť na riešenie sústavy lineárnych rovníc.
5
Používajte bežnú symboliku. Pri práci s maticami je bežnou zvyklosťou označovať riadky skratkou R a stĺpce so skratkou C. Na označenie konkrétneho riadka alebo stĺpca môžete použiť čísla spolu s týmito písmenami. Ak chcete napríklad označiť riadok 1 matice, môžete napísať R1. Riadok 2 bude R2.
- Môžete naznačiť akúkoľvek konkrétnu pozíciu v matici pomocou kombinácie R a C. Napríklad na určenie pojmu v druhom riadku, treťom stĺpci, ho môžete nazvať R2C3.

Časť 2 zo 4: naučenie sa operácií na riešenie systému s maticou

1
Rozpoznať formu matice roztoku. Predtým, ako začnete vykonávať akúkoľvek prácu na vyriešení systému rovníc, mali by ste pochopiť, čo sa pokúsite urobiť s maticou. Práve teraz máte maticu, ktorá vyzerá takto:
- 3 1 -1 9
- 2 -2 1 -3
- 1 1 1 7
- Budete pracovať s niektorými základnými operáciami na vytvorenie „matice riešenia“. Matica riešenia bude vyzerať takto:
- 1 0 0 x
- 0 1 0 r
- 0 0 1 z
- Všimnite si, že matica pozostáva z 1 v diagonálnom riadku s 0 vo všetkých ostatných priestoroch, okrem štvrtého stĺpca. Čísla vo štvrtom stĺpci budú vašim riešením pre premenné x, y a z.
2
Použite skalárne násobenie. Prvým nástrojom, ktorý máte k dispozícii na riešenie systému pomocou matice, je skalárne násobenie. Toto je jednoducho termín, ktorý znamená, že položky v riadku matice vynásobíte konštantným číslom (nie premennou). Keď používate skalárne násobenie, musíte pamätať na vynásobenie každého výrazu v celom riadku ľubovoľným číslom, ktoré vyberiete. Ak zabudnete a znásobíte iba prvý termín, zničíte celé riešenie. Nie je však potrebné, aby ste znásobili celú maticu súčasne. Súčasne pracujete iba na jednom riadku so skalárnym násobením.
- Je bežné používať zlomky v skalárnom násobení, pretože často chcete vytvoriť diagonálny rad 1 s. Zvyknite si pracovať so zlomkami. Pre väčšinu krokov pri riešení matice bude tiež jednoduchšie napísať zlomky v nevhodnej forme a potom ich previesť späť na zmiešané čísla pre konečné riešenie. S číslom 1,67 sa preto pracuje jednoduchšie, ak ho napíšete ako 1,67.
- Napríklad prvý riadok (R1) nášho vzorového problému začína výrazmi [31, -19]. Matica roztoku by mala obsahovať 1 v prvej polohe prvého radu. Aby sme „zmenili“ naše 3 na 1, môžeme celý riadok vynásobiť 0,33. Tým sa vytvorí nový R1 z [10,33, -0,333].
- Dávajte pozor, aby všetky negatívne znaky boli tam, kam patria.
3
Použite sčítanie riadkov alebo odčítanie riadkov. Druhý nástroj, ktorý môžete použiť, je sčítanie alebo odčítanie ľubovoľných dvoch riadkov matice. Na to, aby ste vo svojej matici riešení vytvorili 0 výrazov, budete musieť sčítať alebo odčítať čísla, ktoré vás dostanú na 0. Napríklad ak R1 matice je [14,32] a R2 je [13,58], budete môže odpočítať prvý riadok od druhého riadku a vytvoriť nový riadok [0, -12,6], pretože 1-1 = 0 (prvý stĺpec), 3-4 = -1 (druhý stĺpec), 5-3 = 2 (tretí stĺpec) a 8-2 = 6 (štvrtý stĺpec). Keď vykonáte sčítanie riadkov alebo odčítanie riadkov, prepíšte svoj nový výsledok na miesto v riadku, s ktorým ste začali. V takom prípade vytiahneme riadok 2 a vložíme nový riadok [0, -12,6].
- Môžete použiť skratku a označiť túto operáciu ako R2-R1 = [0, -12,6].
- Uvedomte si, že sčítanie a odčítanie sú iba opačné formy tej istej operácie. Buď môžete uvažovať o sčítaní dvoch čísel alebo o odpočítaní opaku. Ak napríklad začnete jednoduchou rovnicou 3-3 = 0, môžete to namiesto toho považovať za problém sčítania 3+(-3) = 0. Výsledok je rovnaký. Zdá sa to základné, ale niekedy je jednoduchšie myslieť na problém v jednej alebo druhej forme. Sledujte iba svoje negatívne znaky.
4
Skombinujte sčítanie riadkov a skalárne násobenie v jednom kroku. Nemôžete očakávať, že sa výrazy vždy budú zhodovať, takže na vytvorenie 0 s v matici môžete použiť jednoduché sčítanie alebo odčítanie. Častejšie budete musieť pridať (alebo odčítať) násobok iného riadka. Za týmto účelom najskôr vykonajte skalárne násobenie a potom výsledok pridajte do cieľového riadka, ktorý sa pokúšate zmeniť.
- Predpokladajme, že máte riadok 1 z [11,26] a riadok 2 z [23,11]. V prvom stĺpci R2 chcete vytvoriť 0 výrazov. To znamená, že chcete zmeniť 2 na 0. Na to musíte odčítať 2. Ak chcete získať 2, najskôr vynásobte riadok 1 skalárnym násobením 2 a potom odčítajte prvý riadok z druhého radu.. V skratke si to môžete predstaviť ako R2-2*R1. Najprv vynásobte R1 dvoma a získajte [22,412]. Potom to odpočítajte od R2, aby ste získali [(2-2), (3-2), (1-4), (1-12)]. Zjednodušte to a váš nový R2 bude [01, -3, -11].
5
Skopírujte riadky, ktoré sa pri práci nezmenia, nadol. Pri práci s maticou budete meniť jeden riadok naraz, a to buď skalárnym násobením, sčítaním riadkov alebo odčítaním riadkov, alebo kombinovaným krokom. Keď zmeníte jeden riadok, skopírujte ostatné riadky matice v pôvodnom tvare.
- Spoločná chyba dochádza pri vykonávaní kombinovaného násobenie a adičné krok v jednom ťahu. Predpokladajme napríklad, že musíte odpočítať dvojnásobok R1 od R2. Keď v tomto kroku vynásobíte R1 číslom 2, nezabudnite, že R1 v matici nemeníte. Násobením robíte iba zmenu R2. Skopírujte najskôr R1 v pôvodnom formáte a potom urobte zmenu na R2.
6
Pracujte najskôr zhora nadol. Aby ste vyriešili svoj systém, budete pracovať vo veľmi organizovanom vzore, v zásade „riešiť“ jeden termín matice naraz. Poradie matice s tromi premennými začne takto:
- 1. Vytvorte 1 v prvom riadku, prvom stĺpci (R1C1).
- 2. Vytvorte 0 v druhom riadku, prvom stĺpci (R2C1).
- 3. Vytvorte 1 v druhom riadku, druhom stĺpci (R2C2).
- 4. V treťom riadku, prvom stĺpci (R3C1), vytvorte 0.
- 5. V treťom riadku, druhom stĺpci (R3C2) vytvorte 0.
- 6. Vytvorte 1 v treťom riadku, treťom stĺpci (R3C3).
Matica je skupina čísiel usporiadaných do blokovo vyzerajúceho formátu, s ktorými budeme pracovať na vyriešení systému.
7
Pracujte späť zdola nahor. V tomto mieste, ak ste urobili všetky kroky správne, ste na pol ceste k riešeniu. Mali by ste mať uhlopriečku 1 s, 0 pod nimi. Čísla vo štvrtom stĺpci sú v tomto bode skutočne irelevantné. Teraz sa budete vracať na vrchol takto:
- V druhom riadku, treťom stĺpci (R2C3) vytvorte 0.
- V prvom riadku, treťom stĺpci (R1C3) vytvorte 0.
- V prvom riadku, druhom stĺpci (R1C2) vytvorte 0.
8

Skontrolujte, či ste vytvorili maticu riešení. Ak je vaša práca správna, vytvoríte maticu riešenia s 1 v diagonálnom riadku R1C1, R2C2, R3C3 a 0 v ostatných polohách prvých troch stĺpcov. Čísla vo štvrtom stĺpci predstavujú riešenia vášho lineárneho systému.

Časť 3 zo 4: zostavenie krokov na vyriešenie systému

1

Začnite so vzorovým systémom lineárnych rovníc. Na precvičenie týchto krokov začnite so vzorkou, ktorú sme použili predtým: 3x+yz = 9, 2x-2y+z = -3 a x+y+z = 7. Keď to napíšete do matice, budete mať R1 = [31, -19], R2 = [2, -21, -3] a R3 = [11,17].
2
Vytvorte 1 na prvej pozícii r1c1. Všimnite si, že R1 v súčasnosti začína na 3. Musíte to zmeniť na 1. Môžete to urobiť skalárnym násobením, vynásobením všetkých štyroch výrazov R1 0,33. V skratke to môžete označiť ako R1*0,33. To poskytne nový výsledok pre R1 ako R1 = [10,33, -0,333]. Skopírujte R2 a R2 v nezmenenej podobe ako R2 = [2, -21, -3] a R3 = [11,17].
- Všimnite si, že násobenie a delenie sú navzájom len inverzné funkcie. Môžeme povedať, že vynásobíme 0,33 alebo delíme 3 a výsledok je rovnaký.
3
V druhom riadku, prvom stĺpci (r2c1) vytvorte 0. Aktuálne R2 = [2, -21, -3]. Ak sa chcete priblížiť k matici riešenia, musíte zmeniť prvý výraz z 2 na 0. To môžete urobiť odčítaním dvojnásobku hodnoty R1, pretože R1 začína číslom 1. V skratke je operácia R2-2 *R1. Pamätajte si, že nemeníte R1, ale iba s ním pracujete. Najprv teda skopírujte R1 ako R1 = [10,33, -0,333]. Potom, keď zdvojnásobíte každý výraz R1, získate 2*R1 = [20,67, -0,676]. Nakoniec tento výsledok odpočítajte od pôvodného R2, aby ste získali nový R2. Pri prepočítavaní od výrazu k tomuto odčítaniu je (2-2), (-2,67), (1-(-0,67)), (-3-6). Tieto zjednodušia a dajú nový R2 = [0, -2 671,67, -9]. Všimnite si, že prvý výraz je 0, čo bolo vašim cieľom.
- Skopírujte neovplyvnený riadok 3 ako R3 = [11,17].
- Pri odčítavaní záporných čísel buďte veľmi opatrní, aby ste zachovali správne znamienka.
- Zatiaľ nechajte zlomky v ich nevhodných formách. To uľahčí neskoršie kroky riešenia. V poslednom kroku problému môžete zjednodušiť zlomky.
4
V druhom riadku, druhom stĺpci (r2c2) vytvorte 1. Ak chcete pokračovať v vytváraní uhlopriečky 1, musíte druhý výraz -2,67 transformovať na 1. Vykonajte to vynásobením celého riadka recipročnou hodnotou tohto čísla, ktorá je -0,38. Symbolicky je tento krok R2*(-0,38). Výsledný druhý riadok je R2 = [01, -0,6320,88].
- Všimnite si, že ako ľavá polovica riadku začne vyzerať ako riešenie s 0 a 1, pravá polovica môže začať vyzerať škaredo s nevhodnými zlomkami. Zatiaľ ich noste so sebou.
- Nezabudnite pokračovať v kopírovaní neovplyvnených riadkov, takže R1 = [10,33, -0,333] a R3 = [11,17].
5
V treťom riadku, prvom stĺpci (r3c1), vytvorte 0. Vaše zameranie sa teraz presunie do tretieho radu, R3 = [11,17]. Aby ste vytvorili 0 na prvej pozícii, budete musieť odpočítať 1 od 1, ktorá je v danej pozícii aktuálne. Keď sa pozriete hore, na prvej pozícii R1 je 1. Preto jednoducho musíte odpočítať R3-R1, aby ste dosiahli požadovaný výsledok. Pracovné obdobie za termínom bude (1-1), (1,33), (1-(-0,33)), (7-3). Tieto štyri miniproblémy zjednodušene poskytujú nový R3 = [00,671,334].
- Pokračujte v kopírovaní pozdĺž R1 = [10,33, -0,333] a R2 = [01, -0,6320,88]. Nezabudnite, že naraz zmeníte iba jeden riadok.
Zátvorky nijako nezohľadňujú riešenie, ale ilustrujú, že pracujete s maticami.
6

V treťom riadku, druhom stĺpci (r3c2) vytvorte 0. Táto hodnota je v súčasnej dobe 0,67, ale je potrebné ju transformovať na 0. Na prvý pohľad to vyzerá, že by ste mohli odpočítať dvojnásobok hodnôt R1, pretože zodpovedajúci stĺpec R1 obsahuje 0,33. Ak však zdvojnásobíte všetky hodnoty R1 a odčítate ich, ovplyvníte 0 v prvom stĺpci R3, čo nechcete. Vo vašom riešení by to znamenalo krok späť. Takže musíte pracovať s nejakou kombináciou R2. Ak odčítate 0,67 z R2, v druhom stĺpci vytvoríte 0, bez toho, aby to malo vplyv na prvý stĺpec. V skrátenom zápise je to R3- 0,67*R2. Jednotlivé výrazy sa stávajú (0-0), (0,67,67), (1,33-(-1,67*0,67)), (4-20,88*0,67). Zjednodušením sa získa výsledok R3 = [00,414414].
7
V treťom riadku, treťom stĺpci (r3c3) vytvorte 1. Toto je jednoduchý krok vynásobenia recipročným číslom čísla, ktoré tam je. Aktuálna hodnota je 414, takže vynásobením číslom 212 vytvoríte požadovanú hodnotu 1. Všimnite si, že prvé dva výrazy sú 0, takže akékoľvek násobenie zostane 0. Nová hodnota R3 = [00,11].
- Všimnite si, že zlomky, ktoré sa v predchádzajúcom kroku javili ako dosť komplikované, sa už začali samy riešiť.
- Pokračujte v ceste R1 = [10,33, -0,333] a R2 = [01, -0,6320,88].
- Všimnite si, že v tomto mieste máte uhlopriečku 1 pre maticu vášho riešenia. Na vyriešenie problému stačí transformovať ďalšie tri položky matice na 0.
8
V druhom riadku, treťom stĺpci vytvorte 0. R2 je v súčasnosti [01, -0,6320,88], s hodnotou -0,63 v treťom stĺpci. Musíte ho transformovať na 0. To znamená vykonať nejakú operáciu zahŕňajúcu R3, ktorá bude pozostávať z pridania 0,63. Pretože zodpovedajúci tretí stĺpec R3 je 1, musíte vynásobiť všetky R3 číslom 0,63 a výsledok pripočítať k R2. V skratke je to R2+0,63*R3. Pracovný termín za termínom je R2 = (0+0), (1+0), (-0,63+0,63), (20,88+0,63). Tieto sa zjednodušujú na R2 = [01,04].
- Kopírujte pozdĺž R1 = [10,33, -0,333] a R3 = [00,11].
9
V prvom riadku, treťom stĺpci (r1c3) vytvorte 0. Prvý riadok je aktuálne R1 = [10,33, -0,333]. Musíte transformovať -0,33 v treťom stĺpci na 0 pomocou určitej kombinácie R3. Nechcete používať R2, pretože 1 v druhom stĺpci R2 by ovplyvnila R1 nesprávnym spôsobom. Takže vynásobíte R3*0,33 a výsledok pripočítate k R1. Označenie je R1+0,33*R3. Vypracovanie termín po termíne má za následok R1 = (1+0), (0,33+0), (-0,33+0,33), (3+0,33). Tieto zjednodušujú a poskytujú nový R1 = [10,330,10/3].
- Skopírujte nezmenené R2 = [01,04] a R3 = [00,11].
10

V prvom riadku, druhom stĺpci (r1c2) vytvorte 0. Ak je všetko vykonané správne, mal by to byť váš posledný krok. Musíte transformovať 0,33 v druhom stĺpci na 0. To dosiahnete vynásobením R2*0,33 a odčítaním. V skratke je to R1,33*R2. Výsledkom je R1 = (1-0), (0,33,33), (0-0), (10/3 1,33). Zjednodušením získate výsledok R1 = [10,02].
11
Hľadaj maticu riešenia. V tomto okamihu, ak všetko pôjde dobre, mali by ste mať tri riadky R1 = [10,02], R2 = [01,04] a R3 = [00,11]. Všimnite si toho, ak to napíšete vo forme blokovej matice s riadkami nad sebou, budete mať uhlopriečku 1 s 0 všade inde a vaše riešenia vo štvrtom stĺpci. Matica riešenia by mala vyzerať takto:
- 1 0 0 2
- 0 1 0 4
- 0 0 1 1
12

Dajte svojmu riešeniu zmysel. Keď ste preložili svoje lineárne rovnice do matice, vložíte koeficienty x do prvého stĺpca, koeficienty y do druhého stĺpca a koeficienty z do tretieho stĺpca. Na prepísanie vašej matice späť do tvaru rovnice teda tieto tri riadky matice skutočne znamenajú tri rovnice 1x+0y+0z = 2, 0x+1y+0z = 4 a 0x+0y+1z = 1. Pretože môžeme vypustiť 0-členné členy a nepotrebujeme písať 1 koeficienty, tieto tri rovnice sa zjednodušia a poskytnú vám riešenie, x = 2, y = 4 az = 1. Toto je riešenie pre váš systém lineárnych rovníc.

Matica roztoku by mala obsahovať 1 v prvej polohe prvého radu.

Časť 4 zo 4: overenie vášho riešenia

1
Vymeňte hodnoty roztoku za každú premennú v každej rovnici. Vždy je dobré skontrolovať, či je vaše riešenie skutočne správne. Vykonáte to testovaním svojich výsledkov v pôvodných rovniciach.
- Pripomeňme si, že pôvodné rovnice pre tento problém boli 3x+yz = 9, 2x-2y+z = -3 a x+y+z = 7. Keď nahradíte premenné ich vyriešenými hodnotami, získate 3*2+4-1 = 9, 2*2-2*4+1 = -3 a 2+4+1 = 7.
2
Zjednodušte každú rovnicu. Vykonajte operácie v každej rovnici podľa základných pravidiel operácií. Prvá rovnica sa zjednodušuje na 6+4-1 = 9 alebo 9 = 9. Druhá rovnica sa zjednodušuje ako 4-8+1 = -3 alebo -3 = -3. Konečná rovnica je jednoducho 7 = 7.
- Pretože každá rovnica zjednodušuje pravdivé matematické tvrdenie, vaše riešenia sú správne. Ak sa niektorý z nich nevyriešil správne, museli by ste sa vrátiť k práci a hľadať prípadné chyby. Niektoré bežné chyby sa vyskytujú pri vypúšťaní negatívnych znakov na ceste alebo pri zamieňaní násobenia a sčítavania zlomkov.
3

Napíšte svoje konečné riešenia. Pre tento daný problém je konečné riešenie x = 2, y = 4 a z = 1.

Tipy

Ak je váš systém rovníc veľmi komplikovaný a obsahuje veľa premenných, môžete namiesto ručnej práce použiť grafickú kalkulačku. Informácie o tom nájdete v časti Použitie grafovej kalkulačky na riešenie sústavy rovníc.

Prečítajte si tiež: Ako študovať chémiu prvku fosfor a jeho priemyselné využitie?