Ako nájsť ekvivalentné zlomky?

Ak chcete nájsť ekvivalentné zlomky, vynásobte alebo delte čitateľa a menovateľa zlomku ľubovoľným číslom, pokiaľ je rovnaké v hornej aj spodnej časti.

Dve zlomky sú ekvivalentné, ak majú rovnakú hodnotu. Vedieť, ako previesť zlomok na ekvivalentný, je základná matematická zručnosť, ktorá je potrebná pre všetko od základnej algebry po pokročilý počet. Tento článok sa bude zaoberať niekoľkými spôsobmi výpočtu ekvivalentných zlomkov od základného násobenia a delenia po zložitejšie metódy riešenia ekvivalentných zlomkových rovníc.

Metóda 1 z 5: tvorba ekvivalentných frakcií

1
Vynásobte čitateľa a menovateľa rovnakým číslom. Dve zlomky, ktoré sú odlišné, ale ekvivalentné, majú podľa definície čitateľov a menovateľov, ktoré sú navzájom násobkami. Inými slovami, vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom vznikne ekvivalentný zlomok. Hoci čísla v novom zlomku budú odlišné, zlomky budú mať rovnakú hodnotu.
- Ak napríklad vezmeme zlomok 0,5 a vynásobíme čitateľa aj menovateľa číslom 2, dostaneme (4 × 2)/(8 × 2) = 86. Tieto dve zlomky sú ekvivalentné.
- (4 × 2)/(8 × 2) je v zásade to isté ako 0,5 × 1 Pamätajte si, že pri násobení dvoch zlomkov násobíme naprieč, čo znamená čitateľ k čitateľovi a menovateľ k menovateľovi.
- Keď delíte, 1 sa rovná 1. Preto je ľahké pochopiť, prečo sú 0,5 a 86 ekvivalentné, pretože násobenie 0,5 × (1) = 0,5 je stále. Rovnakým spôsobom je spravodlivé povedať, že 0,5 = 86.
- Akýkoľvek daný zlomok má nekonečný počet ekvivalentných zlomkov. Čitateľa a menovateľa môžete vynásobiť akýmkoľvek celým číslom, bez ohľadu na to, aké veľké alebo malé je, aby ste získali ekvivalentný zlomok.
2
Rozdeľte čitateľa a menovateľa rovnakým číslom. Rovnako ako násobenie, delenie môže byť tiež použité na nájdenie nového zlomku, ktorý je ekvivalentný vášmu počiatočnému zlomku. Jednoducho vydeľte čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom, aby ste získali ekvivalentný zlomok. Tento proces má jednu výhradu - výsledný zlomok musí mať v čitateľovi aj v menovateli celé čísla, aby bol platný.
- Pozrime sa napríklad znova na 0,5. Ak namiesto násobenia vydelíme čitateľa a menovateľa 2, dostaneme (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 0,5. 2 a 4 sú celé čísla, takže tento ekvivalentný zlomok platí.

Metóda 2 z 5: Použitie základnej multiplikácie na určenie ekvivalencie

1
Nájdite číslo, ktoré treba vynásobiť menším menovateľom, aby sa stal väčším menovateľom. Mnoho problémov týkajúcich sa zlomkov zahŕňa určenie, či sú dve zlomky ekvivalentné. Vypočítaním tohto čísla môžete začať dávať zlomky rovnakými výrazmi, aby ste určili ekvivalenciu.
- Napríklad znova vezmite zlomky 0,5 a 86. Menší menovateľ je 8 a museli by sme ho vynásobiť x2, aby sme urobili väčšieho menovateľa, ktorý je 16. Preto je číslo v tomto prípade 2.
- V prípade ťažších čísel môžete väčšieho menovateľa jednoducho vydeliť menším menovateľom. V tomto prípade 16 delených 8, čo nás stále dostane 2.
- Číslo nemusí byť vždy celé číslo. Ak by napríklad boli menovatelia 2 a 7, číslo by bolo 3,5.
2
Vynásobte čitateľa a menovateľa zlomku vyjadreného nižšími číslami z prvého kroku. Dve zlomky, ktoré sú odlišné, ale ekvivalentné, majú podľa definície čitateľov a menovateľov, ktoré sú navzájom násobkami. Inými slovami, vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom vznikne ekvivalentný zlomok. Hoci čísla v tomto novom zlomku budú odlišné, zlomky budú mať rovnakú hodnotu.
- Ak napríklad vezmeme zlomok 0,5 z prvého kroku a vynásobíme čitateľa aj menovateľa naším vopred určeným číslom 2, dostaneme (4 × 2)/(8 × 2) = 86. Dokazuje to, že tieto dve frakcie sú ekvivalentné.

Či sú dve zlomky ekvivalentné — Mnoho problémov týkajúcich sa zlomkov zahŕňa určenie, či sú dve zlomky ekvivalentné.

Metóda 3 z 5: Použitie základného delenia na určenie ekvivalencie

1
Vypočítajte každý zlomok ako desatinné číslo. V prípade jednoduchých zlomkov bez premenných môžete na určenie ekvivalencie jednoducho vyjadriť každý zlomok ako desatinné číslo. Pretože každá frakcia je na začiatku problémom s delením, je to najjednoduchší spôsob, ako určiť ekvivalenciu.
- Vezmite si napríklad náš predtým používaný 0,5. Zlomok 0,5 je ekvivalentom príslovia 4 deleného 8, ktoré 0,5 = 0,5. Môžete vyriešiť aj ďalší príklad, ktorý je 86 = 0,5. Bez ohľadu na podmienky zlomku sú ekvivalentné, ak sú tieto dve čísla vyjadrené ako desatinné čísla úplne rovnaké.
- Pamätajte si, že desatinný výraz môže mať niekoľko číslic, než sa prejaví nesúlad. Ako základný príklad je 0,33 = 0,333 opakovanie, zatiaľ čo 30 = 0,3. Použitím viac ako jednej číslice vidíme, že tieto dve zlomky nie sú ekvivalentné.
2
Rozdelením čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom získate ekvivalentný zlomok. Pri zložitejších zlomkoch vyžaduje metóda delenia ďalšie kroky. Rovnako ako pri metóde násobenia môžete čitateľa a menovateľa zlomku vydeliť rovnakým číslom, čím získate ekvivalentný zlomok. Tento proces má jednu výhradu. Výsledný zlomok musí mať v čitateľovi aj v menovateli celé čísla, aby bol platný.
- Pozrime sa napríklad znova na 0,5. Ak namiesto násobenia vydelíme čitateľa a menovateľa 2, dostaneme (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 0,5. 2 a 4 sú celé čísla, takže tento ekvivalentný zlomok platí.
3
Zredukujte zlomky na najnižšie hodnoty. Väčšina zlomkov by mala byť vyjadrená v najnižších termínoch a zlomky môžete previesť na ich najjednoduchšie výrazy vydelením ich najväčším spoločným faktorom (GCF). Tento krok funguje podľa rovnakej logiky vyjadrovania ekvivalentných zlomkov ich konverziou na rovnakého menovateľa, ale táto metóda sa snaží redukovať každý zlomok na najnižšie vyjadriteľné výrazy.
- Keď je zlomok najjednoduchší, jeho čitateľ a menovateľ sú tak malé, ako môžu byť. Ani jeden nemôže byť delený akýmkoľvek celým číslom, aby sa získalo niečo menšie. Pre konverziu frakcie, ktorá je nie v Jednoducho povedané, aby ekvivalentná forme, ktorá je, delíme čitateľa a menovateľa podľa ich najväčší spoločný faktor.
- Najväčší spoločný deliteľ (GCF) čitateľa a menovateľa je najväčšie číslo, ktoré sa delia na oba dať celé číslo výsledku. Takže v našom prípade 0,5, pretože 4 je najväčšie číslo, ktoré sa rovnomerne delí na 4 aj 8, vydelili by sme čitateľa a menovateľa nášho zlomku číslom 4, aby sme ho získali najjednoduchšie. (4 ÷ 4)/(8 ÷ 4) = 0,5. Pre náš ďalší príklad 86 je GCF 8, z čoho tiež vyplýva 0,5 ako najjednoduchšie vyjadrenie zlomku.

Metóda 4 z 5: Použitie krížového násobenia na riešenie premennej

1

Nastavte dve frakcie na seba rovno. Krížové násobenie používame pre matematické úlohy, kde vieme, že zlomky sú ekvivalentné, ale jedno z čísel bolo nahradené premennou (spravidla x), pre ktorú musíme vyriešiť. V takýchto prípadoch vieme, že tieto zlomky sú ekvivalentné, pretože sú to jediné výrazy na opačných stranách znamienka rovnosti, ale často nie je zrejmé, ako vyriešiť premennú. Našťastie s krížovým násobením je riešenie týchto typov problémov jednoduché.
2
Vezmite dve ekvivalentné zlomky a vynásobte znamienko rovnosti v tvare „x“. Inými slovami, vynásobíte čitateľa jedného zlomku menovateľom druhého a naopak, potom nastavíte tieto dve odpovede ako rovnaké a vyriešite.
- Vezmite si naše dva príklady 0,5 a 86. Tieto dva neobsahujú premennú, ale môžeme tento koncept dokázať, pretože už vieme, že sú ekvivalentné. Krížovým násobením dostaneme 4 x 16 = 8 x 8 alebo 64 = 64, čo je očividne pravda. Ak tieto dve čísla nie sú rovnaké, potom zlomky nie sú ekvivalentné.
3
Zadajte premennú. Pretože krížové násobenie je najľahší spôsob určenia ekvivalentných zlomkov, keď musíte vyriešiť premennú, pridajme premennú.
- Uvažujme napríklad o rovnici 2/x = 10/13. Aby sme sa násobili, vynásobíme 2 x 13 a 10 x, potom nastavíme odpovede navzájom rovnako:
  - 2 × 13 = 26
  - 10 × x = 10x
  - 10x = 26. Odtiaľto je získanie odpovede na našu premennú záležitosťou jednoduchej algebry. x = 260 = 2,6, pričom počiatočné ekvivalentné zlomky 1,6 = 10/13.
4
Krížové násobenie používajte pre rovnice s viacerými premennými alebo výrazmi premenných. Jedna z najlepších vecí na krížovom násobení je, že funguje v podstate rovnakým spôsobom bez ohľadu na to, či máte do činenia s dvoma jednoduchými zlomkami (ako je uvedené vyššie) alebo so zložitejšími zlomkami. Ak napríklad obe zlomky obsahujú premenné, stačí ich na konci procesu riešenia tieto premenné odstrániť. Podobne, ak čitatelia alebo menovatelia vašich zlomkov obsahujú variabilné výrazy (napríklad x + 1), jednoducho sa „vynásobte“ pomocou distribučnej vlastnosti a vyriešte to obvyklým spôsobom.
- Uvažujme napríklad o rovnici ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). V tomto prípade, ako je uvedené vyššie, vyriešime krížovým násobením:
  - (x + 3) × 4 = 4x + 12
  - (x + 1) × 2 = 2x + 2
  - 2x + 2 = 4x + 12, potom môžeme rovnicu zjednodušiť odčítaním 2x z oboch strán
  - 2 = 2x + 12, potom by sme mali izolovať premennú odčítaním 12 z oboch strán
  - -10 = 2x a delením 2 vyriešime x
  - -5 = x

Menovateľa môžete vynásobiť akýmkoľvek celým číslom — Čitateľa a menovateľa môžete vynásobiť akýmkoľvek celým číslom, bez ohľadu na to, aké veľké alebo malé je, aby ste získali ekvivalentný zlomok.

Metóda 5 z 5: Použitie kvadratického vzorca na riešenie premenných

1
Krížkom vynásobte dve zlomky. Pri problémoch ekvivalencie, ktoré vyžadujú kvadratický vzorec, stále začíname pomocou krížového násobenia. Akákoľvek krížová multiplikácia, ktorá zahŕňa násobenie variabilných výrazov inými premennými, však pravdepodobne povedie k výrazu, ktorý nie je možné ľahko vyriešiť pomocou algebry. V takýchto prípadoch možno budete musieť použiť techniky ako faktoring a/alebo kvadratický vzorec.
- Pozrime sa napríklad na rovnicu ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Najprv sa poďme krížiť:
  - (x + 1) × (2x - 2) = 2x ² + 2x -2x - 2 = 2x ² - 2
  - 4 × 3 = 12
  - 2x ² - 2 = 12.
2
Vyjadrite rovnicu ako kvadratickú rovnicu. V tomto mieste chceme túto rovnicu vyjadriť v kvadratickej forme (os ² + bx + c = 0), čo urobíme tak, že rovnicu nastavíme na nulu. V tomto prípade odčítame 12 z oboch strán a dostaneme 2x ² - 14 = 0.
- Niektoré hodnoty sa môžu rovnať 0. Aj keď 2x ² - 14 = 0 je najjednoduchšia forma našej rovnice, skutočná kvadratická rovnica je 2x ² + 0x + (-14) = 0. Pravdepodobne vám na začiatku pomôže zrkadlenie tvaru kvadratická rovnica, aj keď sú niektoré hodnoty 0.
3
Vyriešte to tak, že čísla zo svojej kvadratickej rovnice zapojíte do kvadratického vzorca. Kvadratický vzorec (x = (-b +/- √ (b ^2- 4ac))/2a) nám v tomto bode pomôže vyriešiť našu hodnotu x. Nenechajte sa zastrašiť dĺžkou formuly. Jednoducho vezmite hodnoty zo svojej kvadratickej rovnice v kroku dva a zapojte ich na príslušné miesta pred riešením.
- x = (-b +/- √ (b ^2- 4ac))/2a. V našej rovnici platí, že 2x ² - 14 = 0, a = 2, b = 0 a c = -14.
- x = (-0 +/- √ (0^2- 4 (2) (- 14)))/2 (2)
- x = (+/- √ (0 - -112))/2 (2)
- x = (+/- √ (112))/2 (2)
- x = (+/- 10,52)
- x = +/- 2,64
4

Skontrolujte svoju odpoveď zapojením hodnoty x späť do svojej kvadratickej rovnice. Pripojením vypočítanej hodnoty x späť do kvadratickej rovnice z kroku dva môžete ľahko určiť, či ste dosiahli správnu odpoveď. V tomto prípade by ste do pôvodnej kvadratickej rovnice zapojili 2,64 aj -2,64.

Prečítajte si tiež: Ako previesť celé číslo na nesprávny zlomok?

Tipy

Konvertovanie zlomkov na ekvivalentné tvary je vlastne forma ich vynásobenia 1. Pri prevode 0,5 na 0,5 je vynásobenie čitateľa a menovateľa 2 rovnaké ako vynásobenie 0,5 násobkom 1, čo sa rovná 1.
Ak je to žiaduce, konvertujte zmiešané čísla na nesprávne zlomky, aby ste prevod uľahčili. Je zrejmé, že nie každý zlomok, s ktorým sa stretnete, bude možné tak ľahko previesť ako náš príklad 0,5 vyššie. Napríklad zmiešané čísla (napr. 1,75, 2,63, 5,67 atď.) Môžu proces prevodu trochu skomplikovať. Ak potrebujete previesť zmiešané číslo na ekvivalentný zlomok, môžete to urobiť dvoma spôsobmi: zmenou zmiešaného čísla na nesprávny zlomok, následným prevodom ako obvykle alebo zachovaním zmiešaného čísla a prijatím zmiešaného čísla ako odpovede.
- Ak chcete previesť na nesprávny zlomok, vynásobte celú číselnú zložku zmiešaného čísla menovateľom zlomkovej zložky a potom ju pridajte do čitateľa. Napríklad 1,67 = ((1 × 3) + 2)/3 = 1,67. Potom, ak je to žiaduce, môžete podľa potreby prevádzať. Napríklad 1,67 × 1 = 10/6, čo je stále ekvivalent 1,67.
- Avšak, nebudeme musieť previesť na nepravý zlomok ako vyššie. Ak to neurobíme, budeme ignorovať celú číselnú zložku, previesť zlomkovú zložku samotnú a potom pridať celú číselnú zložku späť v nezmenenej podobe. Napríklad pre 3 46 sa pozrieme na 46. 46 ÷ 1 = 0,25. Keď teda znova pridáme celú našu číselnú zložku, dostaneme nové zmiešané číslo 3,25.

Tento článok sa bude zaoberať niekoľkými spôsobmi výpočtu ekvivalentných zlomkov od základného násobenia a delenia po zložitejšie metódy riešenia ekvivalentných zlomkových rovníc.

Varovania

Násobenie a delenie funguje na získanie ekvivalentných zlomkov, pretože násobenie a delenie zlomkovými formami čísla 1 (1, 1 atď.) Dáva odpovede, ktoré sú podľa definície ekvivalentné počiatočnému zlomku. Sčítanie a odčítanie túto možnosť neumožňuje.
Pri násobení zlomkov síce znásobíte čitateľov a menovateľov dohromady, ale pri sčítaní alebo odčítaní zlomkov menovatele nepridáte ani neodčítate.
- Napríklad vyššie sme zistili, že 0,5 ÷ 1 = 0,5. Ak by sme namiesto toho pridali o 1, dostali by sme úplne inú odpoveď. 0,5 + 1 = 0,5 + 1 = 10,25 = 1,5 alebo 1,5, pričom žiadne z nich sa nerovná 0,5.