Ako faktorovať binomické čísla?

Ďalej nájdite najväčší spoločný faktor oboch výrazov a potom rozdeľte najväčší spoločný faktor z každého výrazu.

V algebre sú binomické výrazy dvojčlenné výrazy spojené so znamienkom plus alebo mínus, ako napríklad $Sekera+b$ . Prvý výraz vždy obsahuje premennú, zatiaľ čo druhý výraz môže, ale nemusí. Faktor binárneho čísla znamená nájsť jednoduchšie výrazy, ktoré po znásobení vytvoria tento binomický výraz, ktorý vám pomôže vyriešiť ho alebo zjednodušiť pre ďalšiu prácu.

Časť 1 z 3: Faktory binomické

1
Zopakujte si základy faktoringu. Factoring je, keď sa zlomiť si veľké množstvo dole do Je to najjednoduchší deliteľný častí. Každá z týchto častí sa nazýva „faktor“. Napríklad číslo 6 môže byť rovnomerne delené štyrmi rôznymi číslami: 1, 2, 3 a 6. Faktory 6 sú teda 1, 2, 3 a 6.
- Faktory 32 sú 1, 2, 4, 8, 16 a 32
- Faktor „1“ aj číslo, ktoré určujete, sú vždy faktory. Faktory malého počtu, ako napríklad 3, by jednoducho boli 1 a 3.
- Faktory sú iba dokonale deliteľné čísla alebo „celé“ čísla. Môžete rozdeliť 32 na 3354 alebo 21 4952, ale to nepovedie k faktoru, iba k ďalšiemu desatinnému miestu.
2
Umiestnite binomické výrazy tak, aby boli čitateľnejšie. Binomická je jednoducho sčítanie alebo odčítanie dvoch čísel, z ktorých aspoň jedno obsahuje premennú. Niekedy majú tieto premenné exponenty, ako napríklad x2 {\ displaystyle x^{2}} $X^{2}$ alebo 5y4 {\ displaystyle 5y^{4}} $5 rokov^{4}$ . Pri prvom faktoringu binomických čísel môže pomôcť usporiadanie rovníc so vzostupnými premennými, čo znamená, že najväčší exponent je posledný. Napríklad:
- $3t+6$ → $6+3t$
- $3x^{4}+9x^{2}$ → $9x^{2}+3x^{4}$
- x2−2 {\ displaystyle x^{2} -2} $X^{2} -2$ → −2+x2 {\ displaystyle -2+x^{2}} $-2+x^{2}$
  - Všimnite si, ako sa záporné znamienko nachádza pred 2. Ak je výraz odpočítaný, ponechajte pred ním záporné znamienko.
3
Nájdite najväčší spoločný faktor oboch výrazov. To znamená, že nájdete najvyššie možné číslo, podľa ktorého sú obe časti binomického čísla deliteľné. Ak máte problémy, jednoducho vypočítajte obe čísla samy a potom zistite, aké je najvyššie zodpovedajúce číslo. Napríklad:
- Cvičný problém: 3t+6 {\ Displaystyle 3t+6} $3t+6$ .
  - Faktory 3: 1, 3
  - Faktory 6: 1, 2, 3, 6.
  - Najväčším spoločným faktorom sú 3.
4
Vydeľte najväčší spoločný faktor z každého výrazu. Keď poznáte spoločný faktor, musíte ho odstrániť z každého výrazu. Všimnite si však, že termíny jednoducho rozpisujete a z každého výrazu robíte problém s malým delením. Ak ste to urobili správne, obe rovnice budú zdieľať váš faktor:
- Cvičný problém: $3t+6$ .
- Nájdite najväčší spoločný faktor: 3
- Odstrániť faktor z oboch výrazov: ${\ frac {3t} {3}}+{\ frac {6} {3}} = t+2$
5
Dokončite vynásobením svojho faktora výsledným výrazom. V poslednom probléme ste odstránili číslicu 3, aby ste získali t+2 {\ Displaystyle t+2} $T+2$ . Ale nezbavili ste sa len týchto troch, jednoducho ste to rozdelili, aby ste veci zjednodušili. Čísla nemôžete len tak vymazať bez toho, aby ste ich vrátili späť! Nakoniec vynásobte svoj faktor výrazom. Napríklad:
- Cvičný problém: $3t+6$
- Nájdite najväčší spoločný faktor: 3
- Odstrániť faktor z oboch výrazov: ${\ frac {3t} {3}}+{\ frac {6} {3}} = t+2$
- Násobok podľa nového výrazu: $3 (t+2)$
- Konečná vecná odpoveď: $3 (t+2)$
6
Skontrolujte svoju prácu vynásobením všetkého späť k pôvodnej rovnici. Ak ste urobili všetko správne, kontrola, či ste to urobili správne, by mala byť jednoduchá vec. Jednoducho vynásobte svoj faktor oboma jednotlivými časťami v zátvorke. Ak sa zhoduje s pôvodným, nefaktorovým binomickým číslom, urobili ste všetko správne. Od začiatku do konca vyriešte precvičovanie výrazu 12t+18 {\ Displaystyle 12t+18} $12t+18$ :
- Reorganizácia výrazov: $18+12 t$
- Nájsť najväčšieho spoločného menovateľa: $6$
- Odstrániť faktor z oboch výrazov: ${\ frac {18t} {6}}+{\ frac {12t} {6}} = 3+2t$
- Násobený faktor novým výrazom: $6 (3+2t)$
- Skontrolovať odpoveď: $(6*3)+(6*2t) = 18+12t$

Ako faktorovať binomické čísla pri riešení rovníc — Ak sa chcete dozvedieť, ako faktorovať binomické čísla pri riešení rovníc a zložitejších úloh, čítajte ďalej!

Časť 2 z 3: Faktorovanie binomických čísel na riešenie rovníc

1
Na zjednodušenie rovníc a uľahčenie ich riešenia použite faktoring. Pri riešení rovnice s dvojčlenmi, obzvlášť s komplexnými, sa môže zdať, že neexistuje spôsob, akým sa bude všetko zhodovať. Skúste napríklad vyriešiť 5y − 2y2 = −3y {\ displaystyle 5y-2y^{2} =-3y} $5r-2r^{2} =-3r$ . Jeden spôsob, ako to vyriešiť, obzvlášť s exponentmi, je najskôr faktorizovať.
- Problém z praxe: 5 y $5r-2r^{2} =-3r$
- Pamätajte, že binomické čísla môžu mať iba dva výrazy. Ak existujú viac ako dva výrazy, môžete sa namiesto toho naučiť riešiť polynómy.
2
Sčítajte a odčítajte, aby sa jedna strana rovnice rovnala nule. Celá táto stratégia sa opiera o jeden z najzákladnejších faktov matematiky: čokoľvek vynásobené nulou sa musí rovnať nule. Ak sa teda rovnica rovná nule, potom sa jeden z vašich započítaných výrazov musí rovnať nule! Ak chcete začať, sčítajte a odčítajte, aby sa jedna strana rovnala nule.
- Problém z praxe: 5 y $5r-2r^{2} =-3r$
- Nastavené na nulu: 5r − 2y2+3y = −3y+3y {\ displaystyle 5y-2y^{2}+3y = -3y+3y} $5r-2r^{2}+3r = -3r+3r$
  - $8y-2y^{2} = 0$
3
Faktor s nenulovou stranou rozdeľte ako obvykle. V tomto mieste môžete predstierať, že druhá strana neexistuje ani na krok. Stačí nájsť najväčší spoločný faktor, rozdeliť ho a potom vytvoriť svoj faktorizovaný výraz.
- Problém z praxe: 5 y $5r-2r^{2} =-3r$
- Nastavené na nulu: $8y-2y^{2} = 0$
- Faktor: $2r (4-r) = 0$
4
Vnútornú aj vonkajšiu zátvorku nastavte na nulu. V cvičnom probléme vynásobíte 2 y 4 - y a musí sa rovnať nule. Pretože čokoľvek vynásobené nulou sa rovná nule, znamená to, že 2y alebo 4 - y musí byť 0. Vytvorte dve oddelené rovnice, aby ste zistili, aké y musí byť pre každú stranu rovnú nule.
- Problém z praxe: 5 y $5r-2r^{2} =-3r$
- Nastavené na nulu: $8r-2r^{2}+3r = 0$
- Faktor: $2r (4-r) = 0$
- Nastavte obe časti na 0:
  - $2y = 0$
  - $4-y = 0$
5
Vyriešte obe rovnice na nulu, aby ste získali konečnú odpoveď alebo odpovede. Môžete mať jednu odpoveď alebo viac odpovedí. Pamätajte si, že iba jedna strana sa musí rovnať nule, takže môžete získať niekoľko rôznych hodnôt y, ktoré vyriešia rovnakú rovnicu. Na záver problému z praxe:
- 2y = 0 {\ displaystyle 2y = 0} $2y = 0$
  - ${\ frac {2y} {2}} = {\ frac {0} {2}}$
  - y = 0
- 4 − y = 0 {\ Displaystyle 4-y = 0} $4-y = 0$
  - $4-y+y = 0+r$
  - y = 4
6
Pripojte svoje odpovede znova a uistite sa, že fungujú. Ak získate správne hodnoty pre y, mali by ste ich vedieť použiť na vyriešenie rovnice. Ako je znázornené na obrázku, je jednoduché vyskúšať každú hodnotu y namiesto premennej. Pretože odpoveď bola y = 0 a y = 4:
- 5 (0) −2 (0) 2 = −3 (0) {\ displaystyle 5 (0) -2 (0)^{2} =-3 (0)} $5 (0) -2 (0)^{2} =-3 (0)$
  - $0+0 = 0$
  - $0 = 0$ Táto odpoveď je správna
- 5 (4) −2 (4) 2 = −3 (4) {\ displaystyle 5 (4) -2 (4)^{2} =-3 (4)} $5 (4) -2 (4)^{2} =-3 (4)$
  - $20-32 = -12$
  - $-12 = -12$ Táto odpoveď je tiež správna.

Ak chcete zahrnúť binomické čísla, začnite tým, že binomické výrazy umiestnite vzostupne, aby boli čitateľnejšie.

Časť 3 z 3: Riešenie zložitejších problémov

1
Nezabudnite, že premenné sa tiež počítajú ako faktory, dokonca aj s exponentmi. Pamätajte si, že faktoring je zisťovanie, ktoré čísla je možné rozdeliť na celok. Výraz x4 {\ displaystyle x ^ {4}} $X^{4}$ je ďalší spôsob, ako hovoriť x * x * x * x {\ displaystyle x * x * x * x} $X*x*x*x$ . To znamená, že môžete vylúčiť každé x, ak aj druhý výraz má jeden. Zaobchádzajte s premennými, ktoré sa nelíšia od normálneho čísla. Napríklad:
- $2t+t^{2}$ je možné započítať, pretože oba výrazy obsahujú a t. Vaša konečná odpoveď by bola $T (2+t)$
- Môžete dokonca vytiahnuť viac premenných naraz. Napríklad v $X^{2}+x^{4}$ oba výrazy obsahujú to isté $X^{2}$ . Môžete faktorovať $X^{2} (1+x^{2})$
2
Rozpoznajte nezjednodušené binomické výrazy kombináciou podobných výrazov. Zoberme si napríklad výraz 6+2x+14+3x {\ Displaystyle 6+2x+14+3x} $6+2x+14+3x$ . Zdá sa, že to má štyri pojmy, ale pozrite sa pozorne a zistíte, že existujú iba dva. Môžete pridať podobné výrazy a pretože 6 a 14 nemajú žiadnu premennú a 2x a 3x zdieľajú rovnakú premennú, je možné tieto dve kombinovať. Faktorizácia je potom jednoduchá:
- Pôvodný problém: $6+2x+14+3x$
- Reorganizujte výrazy: $2x+3x+14+6$
- Skombinujte podobné výrazy: $5x+20$
- Nájdite najväčší spoločný faktor: $5 (x) +5 (4)$
- Faktor: $5 (x+4)$
3
Rozpoznajte zvláštny „rozdiel dokonalých štvorcov.“ Dokonalý štvorec je číslo, ktorého druhá odmocnina je celé číslo, napríklad 9 {\ Displaystyle 9} $9$ (3 ∗ 3) {\ displaystyle (3*3)} $(3*3)$ , x2 {\ displaystyle x ^ {2}} $X^{2}$ (x * x) {\ displaystyle (x * x)} $(x*x)$ , alebo dokonca 144t2 {\ displaystyle 144t ^ {2}} $144 t^{2}$ (12 t * 12 t), {\ displaystyle (12 t * 12 t)} $(12t*12t)$ Ak sa binomickej je problém s odčítaním dvoch dokonalých štvorcov, ako napríklad a2 − b2 {\ displaystyle a^{2} -b^{2}} $A^{2} -b^{2}$ , môžete ich jednoducho zapojiť do tohto vzorca:
- Rozdiel vo vzorci dokonalých štvorcov: $A^{2} -b^{2} = (a+b) (ab)$
- $Cvičný$ problém: $4x^{2} -9$
- Nájdite odmocniny:
  - ${\ sqrt {4x^{2}}} = 2x$
  - ${\ sqrt {9}} = 3$
- Zapojte štvorce do vzorca: $4x^{2} -9 = (2x+3) (2x-3)$
4
Naučte sa rozpisovať „rozdiel dokonalých kociek.“ Rovnako ako perfektné štvorce, aj toto je jednoduchý vzorec, keď máte dva kocky odvodené výrazy navzájom odpočítané. Napríklad a3 − b3 {\ displaystyle a^{3} -b^{3}} $A^{3} -b^{3}$ . Rovnako ako predtým, jednoducho nájdete kocky každého z nich a spojíte ich do vzorca:
- Vzorec rozdielu dokonalých kociek: $A^{3} -b^{3} = (ab) (a^{2}+ab+b^{2})$
- $Cvičný$ problém: $8x^{3} -27$
- Nájdite kockové korene:
  - ${\ sqrt [{3}] {8x^{3}}} = 2x$
  - ${\ sqrt [{3}] {27}} = 3$
- Pripojte kocky do vzorca: $8x^{3} -27 = (2x-3) (4x^{2}+6x+9)$
5
Vedzte, že súčet dokonalých kociek tiež zapadá do vzorca. Na rozdiel od rozdielu dokonalých štvorcov môžete ľahko nájsť aj pridané kocky, napríklad a3+b3 {\ displaystyle a^{3}+b^{3}} $A^{3}+b^{3}$ , pomocou jednoduchého vzorca. Je to takmer rovnaké ako vyššie, iba s preklopením niektorých plusov a mínusov. Vzorec je rovnako jednoduchý ako ostatné dva a stačí, ak rozpoznáte dve kocky v probléme, aby ste ho mohli použiť:
- Súčet vzorcov dokonalých kociek: $A^{3}+b^{3} = (a+b) (a^{2} -ab+b^{2})$
- $Cvičný$ problém: $8x^{3} -27$
- Nájdite kockové korene:
  - ${\ sqrt [{3}] {8x^{3}}} = 2x$
  - ${\ sqrt [{3}] {27}} = 3$
- Pripojte kocky do vzorca: $8x^{3} -27 = (2x+3) (4x^{2} -6x+9)$

Pri riešení rovnice s dvojčlenmi, obzvlášť s komplexnými, sa môže zdať, že neexistuje spôsob, akým sa bude všetko zhodovať.

Tipy

Nie všetky dvojčleny majú spoločné faktory! Niektoré sú už čo najviac zjednodušené.
Ak si nie ste istí, či existuje spoločný faktor, rozdeľte ho na menšie časti. Ak napríklad nerozpoznáte, že 16 je spoločný faktor medzi 32 a 16, začnite vydelením obidvoch čísel číslom 2. Zostane vám 16 a 8, ktoré je možné tiež rozdeliť na 8. Teraz máte 2 a 1, najmenšie faktory. Očividne existuje niečo väčšie ako 8 aj 2, čo je spoločný faktor.
Všimnite si, že šiesta mocnina (x ⁶) je perfektný štvorec a dokonalá kocka. Ako taký môžete použiť oba špeciálne vzorce uvedené vyššie v ľubovoľnom poradí na binomické číslo, v ktorom je rozdiel dokonalých šiestych mocní, napríklad x ⁶ - 64. Avšak môže byť jednoduchšie použiť rozdiel vo vzorci dokonalých štvorcov Po prvé, aby ste mohli kompletnejšie faktorizovať binomiu.

Varovania

Binomickú hodnotu, ktorá je súčtom dokonalých štvorcov, nemožno započítať.

Prečítajte si tiež: Ako vyhodnotiť algebraický výraz?

Ako faktorovať binomické čísla?

Kroky

Časť 1 z 3: Faktory binomické

Časť 2 z 3: Faktorovanie binomických čísel na riešenie rovníc

Časť 3 z 3: Riešenie zložitejších problémov

Tipy

Varovania

Otázky a odpovede

Prečítajte si tiež: