Ako zjednodušiť algebraické výrazy?

Ako zjednodušiť výrazy odstránením faktorov — Faktoring je spôsob, ako zjednodušiť výrazy odstránením faktorov, ktoré sú spoločné pre všetky výrazy vo výraze.

Naučiť sa zjednodušovať algebraické výrazy je kľúčovou súčasťou zvládnutia základnej algebry a mimoriadne cenným nástrojom, ktorý by mali mať všetci matematici pod palcom. Zjednodušenie umožňuje matematikovi zmeniť zložitý, dlhý a/alebo trápny výraz na jednoduchší alebo pohodlnejší, ktorý je ekvivalentný. Naučiť sa základné zjednodušovacie schopnosti je celkom jednoduché - aj pre matematických averzantov. Nasledovaním niekoľkých jednoduchých krokov je možné zjednodušiť mnohé z najbežnejších typov algebraických výrazov bez akýchkoľvek špeciálnych matematických znalostí. Začnite podľa kroku 1 nižšie!

Kroky

Pochopenie dôležitých pojmov

1
Definujte „podobné výrazy“ podľa ich premenných a právomocí. V algebre majú „podobné výrazy“ rovnakú konfiguráciu premenných, zvýšenú na rovnaké mocniny. Inými slovami, aby boli dva výrazy „podobné“, musia mať rovnakú premennú alebo premenné alebo vôbec žiadne a každá premenná musí byť zvýšená na rovnakú alebo žiadnu mocninu. Na poradí premenných v rámci výrazu nezáleží.
- Napríklad 3x ² a 4x ² sú ako pojmy, pretože každý obsahuje premennú x zvýšenú na druhú mocninu. Avšak x a x ² nie sú ako pojmy, pretože každý výraz má x zvýšenú na inú moc. Podobne -3yx a 5xz nie sú ako pojmy, pretože každý výraz má inú sadu premenných.
2
Faktor by písanie čísel ako súčin dvoch faktorov. Faktoring je koncept reprezentácie daného čísla ako súčinu dvoch faktorov vynásobených spoločne. Čísla môžu mať viac ako jednu sadu faktorov - napríklad číslo 12 môže byť tvorené 1 × 12, 2 × 6 a 3 × 4, takže môžeme povedať, že 1, 2, 3, 4, 6 a 12 sú všetky faktory 12. Ďalším spôsobom uvažovania o tomto je, že faktormi čísla sú čísla, pomocou ktorých je rovnomerne deliteľné.
- Ak by sme napríklad chceli faktor 20, mohli by sme ho napísať ako 4 × 5.
- Všimnite si, že variabilné výrazy je možné tiež započítať - napríklad 20x je možné zapísať ako 4 (5x).
- Prvočísla nie je možné započítať, pretože sú deliteľné iba rovnomerne a 1.
3
Skratkou PEMDAS si zapamätajte poradie operácií. Zjednodušenie výrazu niekedy neznamená nič iné ako vykonávanie operácií vo výraze, kým sa už nedá urobiť nič. V týchto prípadoch je dôležité zapamätať si poradie operácií, aby nedošlo k žiadnym aritmetickým chybám. Skratka PEMDAS vám môže pomôcť zapamätať si poradie operácií - písmená zodpovedajú typom operácií, ktoré by ste mali v uvedenom poradí vykonávať. Ak v tom istom probléme dochádza k násobeniu a deleniu, musíte tieto operácie vykonať zľava doprava, keď sa dostanete do tohto bodu. To isté platí pre sčítanie a odčítanie. Vyššie uvedený obrázok dáva nesprávnu odpoveď. Posledný krok nefungoval sčítanie a odčítanie zľava doprava. Urobilo to najskôr pridanie. Malo by ukazovať 25-20 = 5 a potom 5 + 6 = 11.
- P arentézy
- E xponenty
- M ultiplikácia
- D videnie
- oplnění
- S ubrakcia

Na zjednodušenie algebraických výrazov začnite identifikáciou podobných výrazov, ktoré sú výrazmi s rovnakými premennými a exponentmi.

Metóda 1 z 3: Kombinácia podobných výrazov

1
Napíšte svoju rovnicu. Medzi najjednoduchšie algebraické rovnice, tie, ktoré zahŕňajú len pár variabilný podmienky s celými počet koeficientov a bez zlomkov, zvyškov a pod môže byť často riešené v niekoľkých málo krokoch. Ako pri väčšine matematických úloh, prvým krokom k zjednodušeniu vašej rovnice je napísať ju!
- Ako príklad problému v nasledujúcich niekoľkých krokoch považujme výraz 1 + 2x - 3 + 4x.
2
Identifikujte podobné výrazy. Ďalej vyhľadajte vo svojej rovnici podobné výrazy. Nezabudnite, že podobné výrazy majú rovnaké premenné aj exponenty.
- Identifikujme napríklad podobné výrazy v našej rovnici 1 + 2x - 3 + 4x. 2x a 4x majú rovnakú premennú zvýšenú na rovnaký exponent (v tomto prípade x nie sú zvýšené na žiadny exponent). Navyše 1 a -3 sú podobné výrazom, pretože ani jeden nemá žiadne premenné. V našej rovnici sú teda 2x a 4x a 1 a -3 ako pojmy.
3
Skombinujte podobné výrazy. Teraz, keď ste identifikovali podobné výrazy, môžete ich skombinovať a zjednodušiť tak svoju rovnicu. Sčítaním výrazov (alebo odčítaním v prípade záporných výrazov) zredukujete každú množinu výrazov s rovnakými premennými a exponentmi na jeden singulárny výraz.
- Pridajte podobné výrazy do nášho príkladu.
  - 2x + 4x = 6x
  - 1 + -3 = -2
4
Vytvorte zjednodušený výraz zo svojich zjednodušených výrazov. Po skombinovaní podobných výrazov vytvorte výraz z novej menšej množiny výrazov. Mali by ste získať jednoduchší výraz, ktorý má jeden výraz pre každú inú množinu premenných a exponentov v pôvodnom výraze. Tento nový výraz sa rovná prvému.
- V našom prípade sú naše zjednodušené výrazy 6x a -2, takže náš nový výraz je 6x - 2. Tento zjednodušený výraz je rovnaký ako originál (1 + 2x - 3 + 4x), ale je kratší a jednoduchšie spravovateľný. Je tiež jednoduchšie faktorizovať, čo, ako uvidíme nižšie, je ďalšou dôležitou zjednodušujúcou zručnosťou.
5
Pri kombinovaní podobných výrazov dodržte poradie prevádzky. V extrémne jednoduchých výrazoch, ako sú tie, ktorými sa zaoberajú vyššie uvedené príklady problémov, je identifikácia podobných výrazov jednoduchá. V zložitejších výrazoch, ako sú výrazy, ktoré obsahujú výrazy v zátvorkách, zlomky a radikály, však podobné výrazy, ktoré je možné kombinovať, nemusia byť okamžite zrejmé. V týchto prípadoch postupujte podľa poradia operácií a podľa potreby vykonávajte operácie s výrazmi vo svojom vyjadrení, kým nezostanú iba operácie sčítania a odčítania.
- Uvažujme napríklad o rovnici 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x. Nebolo by správne okamžite identifikovať 3x a 2x ako podobné termíny a kombinovať ich, pretože zátvorky vo výraze diktujú, že máme najskôr vykonať iné operácie. Najprv vykonajme aritmetické operácie vo výraze v súlade s poradím operácií, aby sme získali termíny, ktoré môžeme použiť. Pozri nižšie:
  - 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  - 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  - 15x - 5 + x ² + 8 - 3x. Pretože teraz zostávajú iba operácie na sčítanie a odčítanie, môžeme kombinovať podobné výrazy.
  - x ² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  - x ² + 12x + 3

Ako môžete zjednodušiť algebraické výrazy — Ak sa chcete dozvedieť viac o tom, ako môžete zjednodušiť algebraické výrazy, posuňte sa nadol!

Metóda 2 z 3: faktoring

1
Identifikujte najväčší spoločný faktor vo výraze. Faktoring je spôsob, ako zjednodušiť výrazy odstránením faktorov, ktoré sú spoločné pre všetky výrazy vo výraze. Na začiatok nájdite najväčší spoločný faktor, ktorý zdieľajú všetky výrazy vo výraze - inými slovami najväčšie číslo, pomocou ktorého sú všetky výrazy vo výraze rovnomerne deliteľné.
- Použime rovnicu 9x ² + 27x - 3. Všimnite si, že každý výraz v tejto rovnici je deliteľný číslom 3. Pretože termíny nie sú všetky rovnomerne deliteľné žiadnym väčším číslom, môžeme povedať, že 3 je najväčší spoločný faktor nášho výrazu.
2
Rozdeľte výrazy vo výraze najväčším spoločným činiteľom. Ďalej rozdeľte každý výraz vo svojej rovnici najväčším spoločným faktorom, ktorý ste práve našli. Výsledné výrazy budú mať všetky menšie koeficienty ako v pôvodnom výraze.
- Rozdeľme svoju rovnicu na najväčší spoločný faktor 3. Na to rozdelíme každý člen 3.
  - 9x ² /3 = 3x ²
  - 27x/3 = 9x
  - -1 = -1
  - Náš nový výraz je teda 3x ² + 9x - 1.
3
Reprezentujte svoj výraz ako súčin najväčšieho spoločného faktora a zostávajúcich výrazov. Váš nový výraz sa nerovná vášmu starému, takže nie je presné povedať, že je zjednodušený. Aby bol náš nový výraz rovnaký ako starý, budeme musieť brať do úvahy skutočnosť, že bol rozdelený najväčším spoločným faktorom. Nový výraz uzatvorte do zátvoriek a ako koeficient pre výraz v zátvorkách nastavte najväčší spoločný faktor pôvodnej rovnice.
- Pre náš príklad výrazu 3x ² + 9x - 1 by sme výraz uzavreli do zátvoriek a vynásobili ho najväčším spoločným faktorom pôvodnej rovnice, aby sme dostali 3 (3x ² + 9x - 1). Táto rovnica sa rovná originálu, 9x ² + 27x - 3.
4
Na zjednodušenie zlomkov použite faktoring. Teraz sa môžete čudovať, prečo je faktoring užitočný, ak po odstránení najväčšieho spoločného faktora musí byť nový výraz ním znova znásobený. Faktoring v skutočnosti umožňuje matematikovi vykonávať rôzne triky na zjednodušenie výrazu. Jeden z najľahších z nich zahŕňa využitie výhody skutočnosti, že vynásobením čitateľa a menovateľa zlomku rovnakým číslom získate ekvivalentný zlomok. Pozri nižšie:
- Povedzme, že náš pôvodný ukážkový výraz 9x ² + 27x - 3 je čitateľom väčšieho zlomku s 3 v menovateli. Tento zlomok by vyzeral takto: (9x ² + 27x - 3)/3. Na zjednodušenie tejto frakcie môžeme použiť faktoring.
  - Nahraďme výrazový faktor nášho pôvodného výrazu za výraz v čitateľovi: (3 (3x ² + 9x - 1))/3
  - Všimnite si, že teraz čitateľ aj menovateľ zdieľajú koeficient 3. Rozdelením čitateľa a menovateľa o 3 dostaneme: (3x ² + 9x - 1)/1.
  - Pretože akýkoľvek zlomok s „1“ v menovateli sa rovná výrazom v čitateľovi, môžeme povedať, že náš pôvodný zlomok je možné zjednodušiť na 3x ² + 9x - 1.

(+-/*) Na zjednodušenie algebraických výrazov sa bežne používa skratka PEMDAS.

Metóda 3 z 3: uplatňovanie ďalších zručností zjednodušovania

1
Zjednodušte zlomky delením spoločnými faktormi. Ako je uvedené vyššie, ak čitateľ a menovateľ výrazu zdieľajú faktory, tieto faktory je možné zo zlomku úplne odstrániť. Niekedy to bude vyžadovať faktorizáciu čitateľa, menovateľa alebo oboch (ako tomu bolo v prípade príkladu vyššie), zatiaľ čo inokedy sú zdieľané faktory zrejmé okamžite. Všimnite si toho, že je tiež možné rozdeliť čitateľské výrazy na výraz v menovateli jednotlivo, aby sa získal zjednodušený výraz.
- Ukážme sa na príklade, ktorý nevyhnutne nevyžaduje predĺžený faktoring. Pre zlomok (5x ² + 10x + 20)/10 môžeme pre zjednodušenie chcieť rozdeliť každý člen v čitateľovi na 10 v menovateli, aj keď koeficient „5“ v 5x ² nie je väčší ako 10 a nemôže preto mať 10 ako faktor.
  - Ak to urobíme, dostaneme ((5x ²)/10) + x + 2. Ak chceme, môžeme prvý výraz prepísať ako (0,5) x ^2, aby sme dostali (0,5) x ² + x + 2.
2
Na zjednodušenie radikálov použite štvorcové faktory. Výrazy pod druhou odmocninou sa nazývajú radikálne výrazy. Tieto je možné zjednodušiť identifikáciou druhých mocninových činiteľov (faktorov, ktoré sú samy osebe druhými mocninami celého čísla) a vykonaním operácie na druhej odmocnine na týchto oddelených miestach ich odstránením zo znamienka druhej odmocniny.
- Ukážme si jednoduchý príklad - √ (90). Ak uvažujeme o čísle 90 ako súčinu dvoch jeho faktorov, 9 a 10, môžeme vziať odmocninu z 9, aby sme dostali celé číslo 3 a odstránili ho z radikálu. Inými slovami:
  - √ (90)
  - √ (9 × 10)
  - (√ (9) × √ (10))
  - 3 × √ (10)
  - 3√ (10)
3
Pri násobení dvoch exponenciálnych výrazov pridajte exponenty; pri delení odčítať. Niektoré algebraické výrazy vyžadujú násobenie alebo delenie exponenciálnych výrazov. Namiesto počítania každého exponenciálneho výrazu a násobenia alebo delenia ručne jednoducho pri násobení pripočítajte exponenty a pri delení odpočítajte, aby ste ušetrili čas. Tento koncept je možné použiť aj na zjednodušenie variabilných výrazov.
- Uvažujme napríklad o výraze 6x ³ × 8x ⁴ + (x ¹⁷ /x ¹⁵). Vždy, keď je potrebné násobiť alebo deliť exponentmi, odčítame alebo pridáme exponenty, aby sme rýchlo našli zjednodušený výraz. Pozri nižšie:
  - 6x ³ × 8x ⁴ + (x ¹⁷ /x ¹⁵)
  - (6 × 8) x ^{3 + 4} + (x ^{17 - 15})
  - 48 x ⁷ + x ²
- Vysvetlenie, prečo to funguje, nájdete nižšie:
  - Násobenie exponenciálnych výrazov je v podstate ako násobenie dlhých reťazcov neexponenciálnych výrazov. Napríklad, pretože x ³ = x × x × x a x ⁵ = x × x × x × x × x x, x ³ × x ⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × × x × x x) alebo x ⁸.
  - Podobne je delenie exponenciálnych výrazov ako delenie dlhých reťazcov neexponenciálnych výrazov. x ⁵ /x ³ = (x × x × x × × x × x) /(x × x × x x). Pretože každý výraz v čitateľovi môže byť zrušený zhodným výrazom v menovateli, zostanú nám v čitateľovi dve x a žiadne v spodnej časti, čo nám poskytne odpoveď x ^2.

Tipy

Vždy si pamätajte, že musíte o týchto číslach myslieť ako o pozitívnych a negatívnych znakoch. Mnoho ľudí uviazne v myšlienke „Aké znamenie tu mám dať?“
V prípade potreby požiadajte o pomoc!
Zjednodušenie algebraických výrazov nie je nič jednoduché, ale akonáhle sa v tom zorientujete, budete ho používať celý život.

Varovania

Uistite sa, že ste omylom nepridali nejaké číslo, zástupcu alebo operáciu, ktorá nepatrí.
Vždy hľadajte podobné výrazy a nenechajte sa oklamať exponentmi.

Prečítajte si tiež: Ako sa stať lepším v algebre?