Ako vypočítať koreň kocky ručne?

Pre odmocninu z 10 po prvom odčítaní bol váš kockový koreň iba 2, čo nie je veľmi presné.

Pri použití kalkulačiek môže byť nájdenie odmocniny ľubovoľného čísla vzdialené iba tlačidlá. Ale možno nemáte kalkulačku, alebo chcete na svojich priateľov zapôsobiť schopnosťou ručne vypočítať koreň kocky. Existuje proces, ktorý sa na prvý pohľad zdá byť trochu pracný, ale s praxou funguje celkom ľahko. Je užitočné, ak si zapamätáte niekoľko základných matematických zručností a algebru o číslach kociek.

Časť 1 z 3: Spracovanie problému so vzorovým koreňom kocky

1
Nastavte problém. Riešenie kocky odmocniny čísla bude vyzerať ako riešenie problému s dlhým delením s niekoľkými špeciálnymi rozdielmi. Prvým krokom je nastavenie problému v správnom formáte.
- Napíšte číslo, ktorého koreň kocky chcete nájsť. Číslice napíšte do skupín po troch a začiatočné miesto zadajte pomocou desatinnej čiarky. V tomto prípade nájdete kocku odmocniny z 10. Napíšte to ako 10000 000. Extra 0 znamenajú presnosť riešenia.
- K číslu nakreslite radikálny znak koreňa kocky. Slúži to rovnakému účelu ako dlhá deliaca čiara. Jediným rozdielom je tvar symbolu.
- Desatinnú čiarku umiestnite nad čiarový riadok, priamo nad desatinnú čiarku v pôvodnom čísle.
2
Spoznajte kocky jednociferných čísel. Tieto použijete pri výpočtoch. Tieto kocky sú nasledujúce:
- $1^{3} = 1*1*1 = 1$
- $2^{3} = 2*2*2 = 8$
- $3^{3} = 3*3*3 = 27$
- $4^{3} = 4*4*4 = 64$
- $5^{3} = 5*5*5 = 125$
- $63 = 6 ∗ 6 ∗ 6 = 216 {\ Displaystyle 6^{3} = 6*6*6 = 216}$
- $7^{3} = 7*7*7 = 343$
- $8^{3} = 8*8*8 = 512$
- $9^{3} = 9*9*9 = 729$
- $10^{3} = 10*10*10 = 1 000$
3
Nájdite prvú číslicu svojho riešenia. Vyberte číslo, ktoré po kocke poskytne najväčší možný výsledok menší ako prvá sada troch čísel.
- V tomto prípade je prvá množina troch čísel 10. Nájdite najväčšiu dokonalú kocku, ktorá je menšia ako 10. Toto číslo je 8 a koreň jej kocky je 2.
- Napíšte číslo 2 nad čiaru radikálu, nad číslo 10. Napíšte hodnotu $2^{3}$ , ktorá je 8, pod číslom 10 nakreslite čiaru a odčítajte, rovnako ako v dlhé rozdelenie. Výsledkom je 2.
- Po odčítaní máte prvú číslicu svojho riešenia. Musíte sa rozhodnúť, či je táto jedna číslica dostatočne presným výsledkom. Vo väčšine prípadov to nebude. Môžete to skontrolovať tak, že umiestnite jednu číslicu na kocky a rozhodnete sa, či je to dostatočne blízko k požadovanému výsledku. Tu, pretože $2^{3}$ je iba 8, nie veľmi blízko 10, mali by ste pokračovať.
4
Nastavte vyhľadanie ďalšej číslice. Skopírujte ďalšiu skupinu troch čísel do zvyšku a nakreslite malú zvislú čiaru naľavo od výsledného čísla. Toto bude základné číslo pre nájdenie ďalšej číslice v riešení vášho koreňa kocky. V tomto prípade by to malo byť číslo 2000, ktoré je vytvorené zo zvyšku 2 predchádzajúceho odčítania, so skupinou troch 0, ktoré stiahnete.
- Vľavo od zvislej čiary budete riešiť ďalšieho deliteľa ako súčet troch samostatných čísel. Medzery pre tieto čísla nakreslite tak, že urobíte tri prázdne podčiarknutia so symbolmi plus medzi nimi.
5

Nájdite začiatok ďalšieho deliteľa. Pre prvú časť deliteľa napíšte tristokrát väčší štvorec toho, čo je na radikálnom znaku. V tomto prípade je číslo hore 2, 2^2 je 4 a 4*300 = 1200. Napíšte teda 1200 do prvého priestoru. Deliteľ pre tento krok riešenia bude 1200 plus niečo, čo nájdete ďalej.

Ako vypočítam odmocninu z trojciferného alebo vyššieho čísla?
6

Nájdite ďalšie číslo v riešení svojej kocky. Nájdite ďalšiu číslicu svojho riešenia tak, že vyberiete, čo môžete vynásobiť deliteľom 1 200, a potom odpočítate od zvyšku roku 2000. To môže byť iba 1, pretože 2 krát 1200 bude 2 400, čo je viac ako 2 000. Napíšte číslo 1 do nasledujúceho priestoru nad znamienko radikálu.
7
Určte zvyšok deliteľa. Deliteľ pre tento krok riešenia sa skladá z troch častí. Prvá časť je 1200, ktoré už máte. Na doplnenie deliteľa musíte k tomu pridať ďalšie dva výrazy.
- Teraz vypočítajte 3 -krát 10 -krát každú z dvoch číslic, ktoré sú vo vašom riešení nad znamienkom radikálu. Pre tento ukážkový problém to znamená 3*10*2*1, čo je 60. Pridajte to k 1200, ktoré už musíte urobiť 1260.
- Nakoniec pridajte štvorec poslednej číslice. V tomto prípade je 1 a 1^2 stále 1. Celkový deliteľ je teda 1200+60+1 alebo 1261. Napíšte to naľavo od zvislej čiary.
8

Násobiť a odčítať. Dokončite toto kolo riešenia vynásobením poslednej číslice svojho riešenia - v tomto prípade číslom 1 - násobok deliteľa, ktorý ste práve vypočítali, 1261. 1*1261 = 1261. Napíšte to do roku 2000 a odčítajte, aby ste získali 739.
9
Pre väčšiu presnosť sa rozhodnite, či budete pokračovať. Keď dokončíte časť odčítania každého kroku, musíte zvážiť, či je vaša odpoveď dostatočne presná. Pre odmocninu z 10 po prvom odčítaní bol váš kockový koreň iba 2, čo nie je veľmi presné. Teraz, po druhom kole, je riešením 2,1.
- Presnosť tohto výsledku môžete skontrolovať kockovaním 2,1*2,1*2,1. Výsledkom je 9 261.
- Ak si myslíte, že váš výsledok je dostatočne presný, môžete prestať. Ak chcete presnejšiu odpoveď, musíte pokračovať ďalším kolom.
10
Nájdite deliteľa pre ďalšie kolo. V takom prípade zopakujte kroky pre ďalšie kolo a precvičte si tak presnejšiu odpoveď:
- Rozbaľte ďalšiu skupinu troch číslic. V tomto prípade ide o tri nuly, ktoré budú nasledovať po zvyšku 739, čím sa získa 739000.
- Deliteľ začnite 300 -násobkom štvorca čísla, ktoré je aktuálne nad radikálnou čiarou. Toto je $300*21^{2}$ , čo je 132300.
- Vyberte ďalšiu číslicu svojho riešenia, aby ste ho mohli vynásobiť 132300 a mať menej ako 739000 zvyšku. Dobrá voľba by bola 5, pretože 5 * 132300 = 661500. Napíšte číslicu 5 do nasledujúceho priestoru nad radikálnu čiaru.
- Nájdite 3 -násobok predchádzajúceho čísla nad radikálnou čiarou, 21 -násobok poslednej číslice, ktorú ste práve napísali, 5 -krát 10. To dáva $3*21*5*10 = 3150$ .
- Nakoniec vycentrujte poslednú číslicu. Toto je $5^{2} = 25.$
- Pridajte diely svojho deliteľa a získate 132300+3150+25 = 135475.
11
Vynásobte deliteľ delením čísla vášho riešenia. Potom, čo ste vypočítali deliteľa pre toto ďalšie kolo a svoje riešenie ste rozšírili o jednu číslicu, postupujte nasledovne:
- Vynásobte deliteľ poslednou číslicou vášho riešenia. 135475*5 = 677375.
- Odčítať. 739000-677375 = 61625.
- Zvážte, či je riešenie 2,15 dostatočne presné. Kockujte a získajte $2,15*2,15*2,15 = 9,94$ .
12

Napíšte svoju konečnú odpoveď. Výsledkom nad radikálom je koreň kocky s presnosťou v tomto bode na tri významné číslice. V tomto prípade je odmocnina z kocky 10 2,15. Overte si to výpočtom 2,15^3 = 9,94, čo je približne 10. Ak potrebujete väčšiu presnosť, jednoducho pokračujte v procese tak dlho, ako chcete.

Časť 2 z 3: Hľadanie koreňov kocky opakovaným odhadom

1
Pomocou čísel kocky nastavte horné a dolné limity. Ak sa zobrazí výzva na zadanie odmocniny takmer akéhokoľvek čísla, začnite výberom perfektnej kocky, ktorá je čo najbližšie, bez prekročenia cieľového počtu.
- Ak napríklad chcete nájsť koreň kocky 600, zapamätajte si (alebo použite tabuľku čísel kociek), že $8^{3} = 512$ a $9^{3} = 729$ . Preto riešenie pre kocku odmocniny 600 musí byť niečo medzi 8 až 9. Ako hornú a dolnú hranicu svojho riešenia použijete čísla 512 a 729.
Ako je určenie druhej odmocniny čísla podobné určovaniu jeho odmocniny?
2
Odhadnite ďalšiu číslicu. Prvá číslica pochádza z vašej znalosti určitých čísel kociek. Pri ďalšej číslici odhadnite nejaké číslo medzi 0 a 9 podľa toho, kde sa vaše cieľové číslo nachádza medzi dvoma hraničnými číslami.
- V pracovnom príklade sa cieľ 600 nachádza zhruba na polceste medzi hraničnými číslami 512 a 729. Takže pre ďalšiu číslicu vyberte 5.
3
Otestujte svoj odhad tak, že ho kockujete. Skúste znásobiť odhad, s ktorým aktuálne pracujete, aby ste zistili, ako blízko sa dostanete k cieľovému číslu.
- V tomto prípade vynásobte $8,5*8,5*8,5 = 614,1.$
4
Upravte svoj odhad podľa potreby. Po kockovaní posledného odhadu skontrolujte, kam patrí výsledok v porovnaní s vašim cieľovým číslom. Ak je výsledok nad cieľom, budete musieť svoj odhad znížiť o jednu alebo viac. Ak je výsledok pod cieľom, možno budete musieť upraviť nahor, kým cieľ neprekročíte.
- Napríklad pri tomto probléme je hodnota $8,5^{3}$ väčšia ako cieľ 600. Odhad by ste preto mali znížiť na 8,4. Vytvorte toto číslo a porovnajte ho so svojim cieľom. Zistíte, že $8,4*8,4*8,4 = 592,7$ . Teraz je to nižšie ako váš cieľ. Preto viete, že koreň kostičky 600 musí byť najmenej 8,4, ale menej ako 8,5.
5
Odhadnite ďalšiu číslicu pre väčšiu presnosť. V tomto procese odhadovania číslic od 0 do 9 budete pokračovať, kým nebude vaša odpoveď taká presná, ako by ste chceli. Pri každom kole odhadovania začnite tým, že si všimnete, ako sa váš posledný výpočet pohybuje medzi hraničnými číslami.
- V tomto pracovnom príklade vaše posledné kolo výpočtov ukazuje, že $8,4^{3} = 592,7$ , zatiaľ čo $8,5^{3} = 614,1$ . Cieľ 600 je o niečo bližšie k 592, ako je k 614. Takže pre váš ďalší odhad začnite výberom čísla o niečo menej ako na polceste medzi 0 a 9. Dobrý odhad by bol 4, pre odhad odmocniny 8, 44.
6
Pokračujte v testovaní svojho odhadu a úprave. Odhadujte, koľkokrát je to potrebné, svoj odhad a uvidíte, ako sa vyrovná vášmu cieľu. Chcete nájsť čísla, ktoré sú tesne pod a tesne nad cieľovým číslom.
- Pre tento pracovný príklad začnite zistením, že $8,44*8,44*8,44 = 601,2$ . To je tesne nad cieľom, takže zostúpte a vyskúšajte 8,43. To vám poskytne $8,43*8,43*8,43 = 599,07$ . Preto viete, že koreň kocky 600 je niečo viac ako 8,43 a menej ako 8,44.
7
Pokračujte tak dlho, ako je to potrebné pre presnosť. Pokračujte v krokoch odhadovania, porovnávania a opätovného odhadovania tak dlho, ako je to potrebné, kým nebude vaše riešenie také presné, ako si želáte. Všimnite si, že s každým desatinným miestom budú vaše cieľové čísla stále bližšie k skutočnému číslu.
- Napríklad pre koreň kocky 600, keď ste použili dve desatinné miesta 8,43, boli ste od cieľa vzdialení menej ako 1. Ak budete pokračovať na tretie desatinné miesto, zistíte, že 8 $8 434^{3} = 599,93$ , menej ako 0,1 od skutočnej odpovede.

Časť 3 z 3: pochopenie toho, ako tento výpočet funguje

1
Skontrolujte binomické rozšírenie. Aby ste pochopili, prečo tento algoritmus funguje pri hľadaní koreňov kocky, musíte si najskôr pripomenúť, ako vyzerá kubická expanzia pre binomickú. Pravdepodobne ste sa to naučili v Algebre alebo Algebre II na strednej škole (a ak ste ako väčšina ľudí, pravdepodobne ste na to čoskoro zabudli). Vyberte dve premenné A {\ displaystyle A} $A$ a B {\ displaystyle B}, $B$ ktoré budú reprezentovať jednociferné čísla. Potom vytvorte binomické číslo (10A+B) {\ displaystyle (10A+B)}, $(10a+b)$ ktoré bude predstavovať dvojciferné číslo.
- Použitím výrazu $10a$ sa vytvorí dvojciferné číslo. Bez ohľadu na to, ktorú číslicu vyberiete, $A$ , $10a$ sa táto číslica vloží do stĺpca desiatok. Ak je napríklad $A$ 2 a $B$ 6, potom $(10a+b)$ bude 26.
Ak chcete vypočítať koreň kocky ručne, vyberte dokonalú kocku, ktorá je najbližšie k odpovedi, napíšte ju a odpočítajte svoj odhad od pôvodného čísla.
2
Roztiahnite binomiu na kocku. Tu pracujeme pozadu, najskôr vytvorením kocky, aby sme potom zistili, prečo riešenie pre korene kocky funguje. Musíme nájsť hodnotu (10A+B) 3 {\ displaystyle (10A+B)^{3}} $(10a+b)^{3}$ . Urobíte to vynásobením (10A+B) ∗ (10A+B) ∗ (10A+B) {\ displaystyle (10A+B)*(10A+B)*(10A+B)} $(10a+b)*(10a+b)*(10a+b)$ . Je to príliš dlhé na to, aby sa to tu zobrazovalo, ale konečný výsledok je 1000A3+300A2B+30AB2+B3 {\ displaystyle 1000A^{3}+300A^{2} B+30AB^{2}+B^{3}} $1000a^{3}+300a^{2} b+30ab^{2}+b^{3}$ .
- Ak chcete získať ďalšie informácie o rozšírení dvojčlenu, pozrite si článok Násobenie dvojčlenov. Pokročilejšiu, skrátenú verziu nájdete v článku Vypočítať (x+y)^n pomocou Pascalovho trojuholníka.
3

Rozpoznať význam algoritmu s dlhým delením. Všimnite si, že metóda na výpočet koreňa kocky funguje ako dlhé delenie. Pri delení na dlhé delenie nájdete dva faktory, ktoré sa znásobia a dajú súčin čísla, s ktorým začínate. Vo výpočte je číslo, ktoré riešite (číslo, ktoré sa vinie navrchu radikálneho znaku), koreň kocky. To znamená, že predstavuje výraz (10A+B). Skutočné A a B sú nateraz irelevantné, pokiaľ iba poznáte vzťah k odpovedi.
4
Skontrolujte rozšírenú verziu. Keď sa pozriete na rozšírený polynóm, vidíte, prečo algoritmus koreňa kocky funguje. Uvedomte si, že deliteľ každého kroku algoritmu je súčtom štyroch pojmov, ktoré musíte vypočítať a sčítať. Tieto výrazy vznikajú nasledovne:
- Prvý výraz obsahuje násobok 1000. Najprv zadajte číslo, ktoré je možné uložiť na kocky, a zostaňte v rozsahu dlhého delenia pre prvú číslicu. To poskytuje termín 1000A^3 v binomickej expanzii.
- Druhý člen binomickej expanzie má koeficient 300. (V skutočnosti pochádza z $3*10^{2}$ .) Pripomeňme, že pri výpočte odmocniny sa vynásobí prvá číslica v každom kroku. o 300.
- Druhá číslica v každom kroku výpočtu koreňa kocky pochádza z tretieho členu binomickej expanzie. V binomickej expanzii môžete vidieť výraz 30AB^2.
- Poslednou číslicou každého kroku je výraz B^3.
5

Pozrite sa, ako rastie presnosť. Pri vykonávaní algoritmu dlhého delenia poskytuje každý krok, ktorý dokončíte, väčšiu presnosť vašej odpovede. Príkladom problému, ktorý sme v tomto článku vyriešili, je nájsť odmocninu z kocky 10. V prvom kroku je riešením iba 2, pretože $2^{3}$ je blízko, ale menej ako 10. V fakt, $2^{3} = 8$ . Po druhom kole získate riešenie 2,1. Keď to vypracujete, $2,1^{3} = 9 261$ , čo je oveľa bližšie k požadovanej hodnote 10. Po treťom kole máte 2,15, čo dáva 2 $2,15^{3} = 9,94$ . Môžete pokračovať v práci v skupinách pozostávajúcich z troch číslic, aby ste získali presnú odpoveď tak, ako potrebujete.