Ako nájsť oblasť pravidelného päťuholníka?

Ak chcete nájsť oblasť pravidelného päťuholníka s 5 rovnakými stranami, najskôr získajte dĺžku strany a apothem, čo je čiara od stredu päťuholníka k strane, ktorá pretína stranu v 90-stupňovom uhle. Potom nakreslite 5 riadkov od stredu, 1 do každého rohu, aby ste mali 5 trojuholníkov. Ďalej nájdite oblasť 1 trojuholníka pomocou vzorca plocha = 0,5 × základňa × výška, kde základňa je stranou päťuholníka a výška je apotéma. Nakoniec tento výsledok vynásobte číslom 5, čím získate plochu päťuholníka. Viac informácií o hľadaní oblasti pravidelného päťuholníka, vrátane použitia vzorcov, ak poznáte iba dĺžku strany alebo polomer, čítajte ďalej!

Viktor Stodola
Viktor Stodola
• 9 min čítanie
Ako zistím plochu pravidelného päťuholníka s veľkosťou 30 centimetrov
Ako zistím plochu pravidelného päťuholníka s veľkosťou 30 centimetrov?

Päťuholník je mnohouholník s piatimi rovnými stranami. Takmer všetky problémy, s ktorými sa stretnete na hodine matematiky, sa budú týkať pravidelných päťuholníkov s piatimi rovnakými stranami. Existujú dva bežné spôsoby, ako nájsť oblasť, v závislosti od toho, koľko informácií máte.

Metóda 1 z 3: nájdenie oblasti z dĺžky strany a apothem

  1. 1
    Začnite s dĺžkou strany a apotémom. Táto metóda funguje pre pravidelné päťuholníky s piatimi rovnakými stranami. Okrem bočnej dĺžky budete potrebovať „apotém“ päťuholníka. Apotéma je čiara od stredu päťuholníka k jednej strane, pretínajúca stranu v 90° pravom uhle.
    • Nezamieňajte apotém s polomerom, ktorý sa dotýka rohu (vrcholu) namiesto stredného bodu. Ak poznáte iba dĺžku a polomer strany, preskočte radšej na nasledujúcu metódu.
    • Použijeme príklad päťuholníka s bočnou dĺžkou 3 jednotky a s 2 jednotkami.
  2. 2
    Rozdeľte päťuholník na päť trojuholníkov. Zo stredu päťuholníka nakreslite päť čiar vedúcich do každého vrcholu (rohu). Teraz máte päť trojuholníkov.
  3. 3
    Vypočítajte plochu trojuholníka. Každý trojuholník má základňu rovnajúcu sa strane päťuholníka. Má tiež výšku rovnajúcu sa päťuholníkovému apotému. (Nezabudnite, že výška trojuholníka prebieha z vrcholu na opačnú stranu v pravom uhle.) Ak chcete nájsť plochu akéhokoľvek trojuholníka, vypočítajte 0,5 x základňa x výška.
    • V našom príklade je plocha trojuholníka = 0,5 x 3 x 2 = 3 štvorcové jednotky.
  4. 4
    Vynásobte piatimi a nájdite celkovú plochu. Päťuholník sme rozdelili na päť rovnakých trojuholníkov. Ak chcete zistiť celkovú plochu, stačí vynásobiť plochu jedného trojuholníka piatimi.
    • V našom príklade A (celkový päťuholník) = 5 x A (trojuholník) = 5 x 3 = 15 štvorcových jednotiek.
Ako nájdem stranu pravidelného päťuholníka
Ako nájdem stranu pravidelného päťuholníka, ak mi bude daná oblasť?

Metóda 2 z 3: nájdenie oblasti z dĺžky strany

  1. 1
    Začnite iba s dĺžkou strany. Táto metóda funguje iba pre bežné päťuholníky, ktoré majú päť strán rovnakej dĺžky.
    • V tomto prípade použijeme päťuholník s dĺžkou strany 7 jednotiek.
  2. 2
    Rozdeľte päťuholník na päť trojuholníkov. Nakreslite čiaru od stredu päťuholníka k ľubovoľnému vrcholu. Opakujte to pre každý vrchol. Teraz máte päť trojuholníkov, každý rovnako veľký.
  3. 3
    Rozdeľte trojuholník na polovicu. Nakreslite čiaru od stredu päťuholníka k základni jedného trojuholníka. Táto čiara by mala dopadnúť na základňu v pravom uhle 90° a rozdeliť trojuholník na dva rovnaké menšie trojuholníky.
  4. 4
    Označte jeden z menších trojuholníkov. Už môžeme označiť jednu stranu a jeden uhol menšieho trojuholníka:
    • Základňa trojuholníka je 0,5 strana päťuholníka. V našom prípade je to 0,5 x 7 = 3,5 jednotiek.
    • Uhol v strede päťuholníka je vždy 36°. (Počnúc úplným stredom 360° by ste ho mohli rozdeliť na 10 z týchto menších trojuholníkov. 360 ÷ 10 = 36, takže uhol v jednom trojuholníku je 36°.)
  5. 5
    Vypočítajte výšku trojuholníka. Výšky tohto trojuholníka je strana v pravých uhloch do Pentagonu v kraji, vedúce do centra. Pomocou počiatočnej trigonometrie môžeme zistiť dĺžku tejto strany:
    • V pravouhlom trojuholníku sa dotyčnica uhla rovná dĺžke opačnej strany vydelenej dĺžkou susednej strany.
    • Strana oproti uhlu 36° je základňou trojuholníka (polovica strany päťuholníka). Strana susediaca s uhlom 36° je výška trojuholníka.
    • tan (36°) = opačný / susedný
    • V našom príklade je opálenie (36°) = 3,5 / výška
    • výška x opálenie (36°) = 3,5
    • výška = 3,5 / tan (36°)
    • výška = (asi) 4,8 jednotiek.
  6. 6
    Nájdite oblasť trojuholníka. Plocha trojuholníka sa rovná 0,5 základne x výške. (A = 0,5 bh.) Teraz, keď poznáte výšku, pripojte tieto hodnoty, aby ste našli oblasť vášho malého trojuholníka.
    • V našom príklade Plocha malého trojuholníka = 0,5bh = 0,5 (3,5) (4,8) = 8,4 štvorcových jednotiek.
  7. 7
    Vynásobením nájdite oblasť päťuholníka. Jeden z týchto menších trojuholníkov pokrýva 10 plochy päťuholníka. Ak chcete zistiť celkovú plochu, vynásobte plochu menšieho trojuholníka číslom 10.
    • V našom príklade je plocha celého päťuholníka = 8,4 x 10 = 84 štvorcových jednotiek.
Môžete použiť tento ľahký vzorec Plocha pravidelného päťuholníka = pa / 2
Ak dostanete jej dĺžku, môžete použiť tento ľahký vzorec Plocha pravidelného päťuholníka = pa / 2, kde p = obvod a a = apotém.

Metóda 3 z 3: použitie vzorca

  1. 1
    Použite obvod a apotém. Apotéma je čiara od stredu päťuholníka, ktorá naráža na stranu v pravom uhle. Ak máte uvedenú dĺžku, môžete použiť tento jednoduchý vzorec
    • Plocha pravidelného päťuholníka = pa /2, kde p = obvod a a = apothem.
    • Ak nepoznáte obvod, vypočítajte ho z dĺžky strany: p = 5 s, kde s je dĺžka strany.
  2. 2
    Použite dĺžku strany. Ak poznáte iba dĺžku strany, použite nasledujúci vzorec:
    • Plocha pravidelného päťuholníka = (5 s 2) / (4tan (36°)), kde s = dĺžka strany.
    • tan (36°) = √ (5-2√5). Pokiaľ teda vaša kalkulačka nemá funkciu „opálenia“, použite vzorec Plocha = (5 s 2) / (4√ (5-2√5)).
  3. 3
    Vyberte vzorec, ktorý používa iba polomer. Môžete dokonca nájsť oblasť, ak poznáte iba polomer. Použite tento vzorec:
    • Plocha pravidelného päťuholníka = (2,5) r 2 sin (72°), kde r je polomer.
Ďalej nájdite oblasť 1 trojuholníka pomocou vzorca plocha = 0,5 × základňa × výška
Ďalej nájdite oblasť 1 trojuholníka pomocou vzorca plocha = 0,5 × základňa × výška, kde základňa je strana päťuholníka a výška je apotém.

Tipy

  • Tu uvedené príklady používajú zaokrúhlené hodnoty na zjednodušenie matematiky. Ak zmeriate skutočný polygón s danou dĺžkou strany, získate mierne odlišné výsledky pre ostatné dĺžky a plochu.
  • Nepravidelné päťuholníky alebo päťuholníky s nerovnými stranami sa študujú ťažšie. Najlepší prístup je zvyčajne rozdeliť päťuholník na trojuholníky a spočítať plochu každého trojuholníka. Možno bude tiež potrebné okolo päťuholníka nakresliť väčší tvar, vypočítať jeho plochu a odčítať plochu extra priestoru.
  • Ak je to možné, použite geometrickú aj vzorcovú metódu a porovnajte výsledky, aby ste potvrdili, že máte správnu odpoveď. Môže sa stať, že dostanete trochu odlišné odpovede, ak zadáte vzorec naraz (pretože nebudete zaokrúhľovať), ale mali by byť veľmi blízko.
  • Vzorce sú odvodené z geometrických metód, podobných tým, ktoré sú tu popísané. Skúste, či prídete na to, ako ich vymyslieť. Vzorec z polomeru sa odvodzuje ťažšie ako ostatné (nápoveda: budete potrebovať identitu s dvojitým uhlom).

Prečítajte si tiež: Ako určiť rovnaký povrch kocky a gule?

Otázky a odpovede

  • Ak máme dva päťuholníky, plocha pre malý je 29 a dĺžka 4, ako potom nájdeme plochu pre najväčší, ak je dĺžka 12?
    Za predpokladu, že máte do činenia s „bežnými“ päťuholníkmi, nastavili by ste si dva rovnaké pomery. Jeden pomer by bol z oblastí dvoch päťuholníkov (z ktorých jeden je neznámy) a druhý pomer by bol z dvoch dĺžok strán (obidve sú známe). Vyriešte rovnicu pre neznámu oblasť krížením. Teda 29 / x = 4/12, kde x je neznáma oblasť. Krížové násobenie: (29) (12) = 4x. 348 = 4x, a x = 87.
  • Ako nájdem oblasť päťuholníka, ak je nepravidelný?
    Rozdeľte na trojuholníky a potom pridajte. Polygón je možné rozdeliť na trojuholníky nakreslením všetkých uhlopriečok z jedného z vrcholov. Ak poznáte dostatok strán a uhlov na to, aby ste našli plochu každého z nich, môžete ich jednoducho spočítať a nájsť tak celkový súčet. Nebojte sa nakresliť kdekoľvek ďalšie čiary, ak pomôžu nájsť tvary, ktoré môžete vyriešiť.
  • Keď rozdelím päťuholník na päť trojuholníkov, sú trojuholníky rovnostranné trojuholníky?
    Nie. Sú rovnoramenné, ale nie rovnostranné.
  • Ako nájdem stranu pravidelného päťuholníka, ak mi bude daná oblasť?
    Použite vzorec uvedený v metóde 3 vyššie a pri riešení úlohy s postupujte späť.
  • Snažím sa nájsť dĺžku jednej strany päťuholníka; dve strany sú 0,9 metra, 2 ďalšie strany po 0,53 metra.
    Nie je k dispozícii žiadny vzorec na hľadanie strany nepravidelného päťuholníka.
  • Existuje nejaký vzorec, ktorý používa iba algebraické premenné na nájdenie oblasti pravidelného päťuholníka, kde je uvedená iba dĺžka strany? Vzorec by nemal používať trigonometriu.
    Nie, jediný spôsob, ako to urobiť, je metóda 2 vyššie.
  • Ako zistím obvod päťuholníka, keď dostanem iba apothem?
    Obvod pravidelného päťuholníka je apothem vynásobený 7 267.
  • Aká by bola dĺžka strany pravidelného päťuholníka s obvodom 12,5?
    Každá strana pravidelného päťuholníka je pätinou obvodu. V tomto prípade teda každá strana meria 12,5 / 5 = 2,5.
  • Ak je povrch 32, potom aká je dĺžka strán?
    Ak máte na mysli pravidelný päťuholník s obvodom 32, dĺžka každej strany je 32/5.
  • Ako zistím plochu pravidelného päťuholníka s veľkosťou 30 centimetrov?
    Ako je vysvetlené v predchádzajúcom článku, dĺžka strany je potrebná, aby sa zistila pravidelná plocha päťuholníka.
Nezodpovedané otázky
  • Ako vypočítam plochu päťuholníka s apotémom 7,04?

Prečítajte si tiež:

  1. Ako nájsť oblasť polkruhu?
  2. Ako vypočítať plochu kruhu?
  3. Ako vypočítať plochu trojuholníka?
Súvisiace články
  1. Ako nájsť oblasť rovnoramenného trojuholníka?Vojtech Riszdorfer
  2. Ako nájsť oblasť pravidelných polygónov?Amália Fingerlandová
  3. Ako vypočítať plochu kosoštvorca?Perla Nemcová
  4. Ako vypočítať plochu objektu?Vojtech Riszdorfer
  5. Ako zistiť obvod a plochu kruhu?Pavol Kučera
  6. Ako nájsť oblasť?Zlatko Romančík
FacebookTwitterInstagramPinterestLinkedInGoogle+YoutubeRedditDribbbleBehanceGithubCodePenWhatsappEmail