Ako nájsť oblasť rovnoramenného trojuholníka?
Ak chcete zistiť oblasť rovnoramenného trojuholníka pomocou dĺžok strán, označte dĺžky každej strany, základňu a výšku, ak je poskytnutá. Potom pomocou rovnice Plocha = 0,5 základne krát výška nájdite oblasť. Ak dĺžka výšky nie je zadaná, rozdeľte trojuholník na 2 pravé trojuholníky a pomocou pytagorovej vety nájdite výšku. Akonáhle získate hodnotu výšky, zapojte ju do rovnice oblasti a označte svoju odpoveď správnymi jednotkami. Ak chcete získať ďalšie tipy, napríklad ako použiť trigonometriu na nájdenie oblasti, pokračujte v čítaní!
Ak rovnaké strany rovnoramenného trojuholníka majú dĺžku 13 cm a plocha je 60 cm štvorcových, ako nájdem základňu?
Rovnoramenný trojuholník je trojuholník s dvoma stranami rovnakej dĺžky. Tieto dve rovnaké strany sa vždy spájajú v rovnakom uhle so základňou (tretia strana) a stretávajú sa priamo nad stredom základne. Môžete to vyskúšať sami pomocou pravítka a dvoch rovnako dlhých ceruziek: ak sa pokúsite nakloniť trojuholník jedným alebo druhým smerom, nemôžete dosiahnuť, aby sa špičky ceruziek stretli. Tieto špeciálne vlastnosti rovnoramenného trojuholníka vám umožňujú vypočítať plochu iba z niekoľkých informácií.
Metóda 1 z 2: nájdenie oblasti z dĺžok strán
- 1Skontrolujte oblasť rovnobežníka. Štvorce a obdĺžniky sú rovnobežníky, rovnako ako každý štvorstranný tvar s dvoma sadami rovnobežných strán. Všetky rovnobežníky majú jednoduchý vzorec plochy: plocha sa rovná základu vynásobenému výškou alebo A = bh. Ak rovnobežník položíte naplocho na vodorovný povrch, základňa je dĺžka strany, na ktorej stojí. Výška (ako by ste čakali) je taká, aká je vysoká nad zemou: vzdialenosť od základne po opačnú stranu. Výšku vždy merajte v pravom (90 stupňov) uhle k základni.
- V štvorcoch a obdĺžnikoch sa výška rovná dĺžke zvislej strany, pretože tieto strany sú v pravom uhle k zemi.
- 2Porovnajte trojuholníky a rovnobežníky. Medzi týmito dvoma tvarmi existuje jednoduchý vzťah. Akýkoľvek rovnobežník rozrežte na polovicu pozdĺž uhlopriečky a rozdelí sa na dva rovnaké trojuholníky. Podobne, ak máte dva rovnaké trojuholníky, môžete ich vždy navzájom prelepiť páskou a vytvoriť rovnobežník. To znamená, že oblasť ľubovoľného trojuholníka sa dá zapísať ako A = 0,5 bh, čo je presne polovica veľkosti zodpovedajúceho rovnobežníka.
- 3Nájdite základňu rovnoramenného trojuholníka. Teraz máte vzorec, ale čo konkrétne znamená „základňa“ a „výška“ v rovnoramennom trojuholníku? Základňa je ľahká časť: stačí použiť tretiu, nerovnú stranu rovnoramenných častí.
- Ak má napríklad váš rovnoramenný trojuholník strany 5 centimetrov, 5 cm a 6 cm, použite ako základ 6 cm.
- Ak má váš trojuholník tri rovnaké strany (rovnostranné), môžete za základ vybrať ľubovoľnú. Rovnostranný trojuholník je špeciálny typ rovnoramenného, ale môžete nájsť jeho plocha rovnako.
- 4Nakreslite čiaru medzi základňou a opačným vrcholom. Uistite sa, že čiara zasahuje do základne v pravom uhle. Dĺžka tejto čiary je výška vášho trojuholníka, preto ho označte ako h. Keď vypočítate hodnotu h, budete schopní nájsť oblasť.
- V rovnoramennom trojuholníku táto čiara vždy zasiahne základňu v presnom strede.
Ako nájdem oblasť rovnoramenného trojuholníka, keď je daný dvomi stranami? - 5Pozrite sa na jednu polovicu svojho rovnoramenného trojuholníka. Všimnite si, že výšková čiara rozdelila váš rovnoramenný trojuholník na dva rovnaké pravé trojuholníky. Pozrite sa na jednu z nich a identifikujte tri strany:
- Jedna z krátkych strán sa rovná polovici základne: b2 {\ displaystyle {\ frac {b} {2}}} .
- Druhá krátka strana je výška, h.
- Přepona pravouhlého trojuholníka je jednou z dvoch rovnakých strán rovnoramenných. Hovorme tomu s.
- 6Nastavte pythagorovu vetu. Kedykoľvek poznáte dve strany pravouhlého trojuholníka a chcete nájsť tretiu, môžete použiť Pytagorovu vetu: (strana 1) 2 + (strana 2) 2 = (prepona) 2 Nahraďte premenné, ktoré na tento problém používame, get (b2) 2 + h2 = s2 {\ displaystyle ({\ frac {b} {2}}) ^ {2} + h ^ {2} = s ^ {2}} .
- Pravdepodobne ste sa naučil na Pytagorovej vety ako a2 + b2 = c2 {\ displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} = c ^ {2}} . Písanie ako „strany“ a „prepona“ zabraňuje zámene s premennými vášho trojuholníka.
- 7Riešiť h. Pamätajte si, že vzorec oblasti používa b a h, ale ešte nepoznáte hodnotu h. Preusporiadajte vzorec, ktorý chcete vyriešiť pre h:
- (b2) 2+h2 = s2 {\ displaystyle ({\ frac {b} {2}})^{2}+h^{2} = s^{2}}
h2 = s2− (b2) 2 {\ displaystyle h ^ {2} = s ^ {2} - ({\ frac {b} {2}}) ^ {2}}
h = (s2− (b2) 2) {\ displaystyle h = {\ sqrt {(}} s ^ {2} - ({\ frac {b} {2}}) ^ {2})} .
- (b2) 2+h2 = s2 {\ displaystyle ({\ frac {b} {2}})^{2}+h^{2} = s^{2}}
- 8Pripojte hodnoty trojuholníka a nájdite h. Teraz, keď tento vzorec poznáte, môžete ho použiť pre akýkoľvek rovnoramenný trojuholník, kde poznáte strany. Stačí zapojiť dĺžku základne pre b a dĺžku jednej z rovnakých strán pre s, potom vypočítať hodnotu h.
- Napríklad máte rovnoramenný trojuholník so stranami 5 cm, 5 cm a 6 cm. b = 6 a s = 5.
- Nahraďte ich do svojho vzorca:
h = (s2− (b2) 2) {\ displaystyle h = {\ sqrt {(}} s ^ {2} - ({\ frac {b} {2}}) ^ {2}]}
h = (52− (62) 2) {\ displaystyle h = {\ sqrt {(}} 5^{2}-({\ frac {6} {2}})^{2})}
h = (25−32) {\ displaystyle h = {\ sqrt {(}} 25-3 ^ {2})}
h = (25−9) {\ displaystyle h = {\ sqrt {(}} 25-9)}
h = (16) {\ displaystyle h = {\ sqrt {(}} 16)}
h = 4 {\ displaystyle h = 4} cm.
- 9Pripojte základňu a výšku k vášmu vzorcu oblasti. Teraz máte to, čo potrebujete na použitie vzorca zo začiatku tejto časti: Plocha = 0,5 bh. Stačí vložiť hodnoty, ktoré ste našli pre b a h, do tohto vzorca a vypočítať odpoveď. Nezabudnite svoju odpoveď napísať v štvorcových jednotkách.
- Pre pokračovanie príkladu mal trojuholník 5-5-6 základňu 6 cm a výšku 4 cm.
- A =
0,5 bh A = 0,5 (6 cm) (4 cm)
A = 12 cm2.
- 10Skúste zložitejší príklad. S väčšinou rovnoramenných trojuholníkov je ťažšie pracovať ako s posledným príkladom. Výška často obsahuje odmocninu, ktorá sa nezjednodušuje na celé číslo. Ak sa to stane, nechajte výšku ako druhá odmocnina v najjednoduchšej forme. Tu je príklad:
- Aká je plocha trojuholníka so stranami 8 cm, 8 cm a 4 cm?
- Nerovnú stranu, 4 cm, nechajte základnou b.
- Výška h = 82− (42) 2 {\ displaystyle h = {\ sqrt {8 ^ {2} - ({\ frac {4} {2}}) ^ {2}}}}
= 64−4 {\ displaystyle = {\ sqrt {64-4}}}
= 60 {\ displaystyle = {\ sqrt {60}}} - Zjednodušte druhú odmocninu nájdením faktorov: h = 60 = 4 ∗ 15 = 415 = 215. {\ Displaystyle h = {\ sqrt {60}} = {\ sqrt {4*15}} = {\ sqrt {4}} {\ sqrt {15}} = 2 {\ sqrt {15}}.}
- Plocha = 12bh {\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} bh}
= 12 (4) (215) {\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} (4) (2 {\ sqrt { 15}})}
= 415 {\ displaystyle = 4 {\ sqrt {15}}} - Nechajte túto odpoveď napísanú alebo ju zadajte do kalkulačky, aby ste našli desatinný odhad (asi 15,49 centimetrov štvorcových).
Ako zistím plochu rovnoramenného trojuholníka, ak je základňa 10 cm a výška 8 cm?
Metóda 2 z 2: použitie trigonometrie
- 1Začnite stranou a uhlom. Ak viete nejakú trigonometriu, môžete nájsť oblasť rovnoramenného trojuholníka, aj keď neviete dĺžku jednej z jeho strán. Tu je príklad problému, v ktorom poznáte iba nasledujúce:
- Dĺžka s dvoch rovnakých strán je 10 cm.
- Uhol θ medzi dvoma rovnakými stranami je 120 stupňov.
- 2Rovnomerné obrazce rozdeľte na dva pravé trojuholníky. Z vrcholu medzi dvoma rovnakými stranami nakreslite čiaru, ktorá dopadá na základňu v pravom uhle. Teraz máte dva rovnaké pravé trojuholníky.
- Táto čiara rozdeľuje θ dokonale na polovicu. Každý pravouhlý trojuholník má uhol 0,5θ, alebo v tomto prípade (0,5) (120) = 60 stupňov.
- 3Pomocou trigonometrie nájdite hodnotu h. Teraz, keď máte pravý trojuholník, môžete použiť trigonometrické funkcie sínus, kosínus a tangens. V príkladovej úlohe poznáte preponu a chcete nájsť hodnotu h, strana susediaca so známym uhlom. Využite skutočnosť, že kosínus = susedný / prepona, na vyriešenie h:
- cos (θ / 2) = h / s
- cos (60°) = h / 10
- h = 10°C (60°)
- 4Nájdite hodnotu zvyšnej strany. Zostáva neznáma strana pravého trojuholníka, ktorú môžete nazvať x. Vyriešte to pomocou definície sínus = opak / prepona:
- hriech (θ / 2) = x / s
- hriech (60°) = x / 10
- x = 10 sín (60°)
- 5Vzťahujte x k základni rovnoramenného trojuholníka. Teraz môžete „oddialiť“ hlavný rovnoramenný trojuholník. Jeho celková báza b sa rovná 2 x, pretože bola rozdelená do dvoch segmentov, z ktorých každý mal dĺžku x.
- 6Pripojte svoje hodnoty pre h a b do vzorca základnej oblasti. Teraz, keď poznáte základňu a výšku, môžete sa spoľahnúť na štandardný vzorec A = 0,5 bh:
- A = 12bh {\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} bh}
= 12 (2x) (10cos60) {\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} (2x) (10cos60)}
= (10sin60) (10cos60) {\ displaystyle = (10sin60) (10cos60)}
= 100sin (60) cos (60) {\ displaystyle = 100sin (60) cos (60)} - Toto môžete zadať do kalkulačky (nastavenej na stupne), ktorá vám poskytne odpoveď približne 43,3 centimetrov štvorcových. Prípadne použite vlastnosti trigonometrie na ich zjednodušenie na A = 50 sin (120°).
Ako môžem nájsť stranu rovnoramenného trojuholníka, keď je daná iba plocha a dĺžka rovnakých strán? - A = 12bh {\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} bh}
- 7Urobte z toho univerzálny vzorec. Teraz, keď viete, ako je to vyriešené, sa môžete spoľahnúť na všeobecný vzorec bez toho, aby ste zakaždým prešli celým procesom. Tu skončíte, ak tento postup zopakujete bez použitia konkrétnych hodnôt (a zjednodušenia pomocou vlastností trigonometrie):
- A = 12s2sinθ {\ displaystyle A = {\ frac {1} {2}} s ^ {2} sin \ theta}
- s je dĺžka jednej z dvoch rovnakých strán.
- θ je uhol medzi dvoma rovnakými stranami.
- Ak máte rovnoramenný pravouhlý trojuholník (dve rovnaké strany a 90 stupňový uhol), je oveľa jednoduchšie nájsť oblasť. Ak použijete jednu z krátkych strán ako základňu, druhou krátkou stranou je výška. Teraz sa vzorec A = 0,5 b * h zjednodušuje na 0,5 s 2, kde s je dĺžka krátkej strany.
- Odmocniny majú dve riešenia, jedno pozitívne a jedno negatívne, ale negatívne môžete v geometrii ignorovať. Nemôžete mať napríklad trojuholník s „zápornou výškou“.
- Niektoré problémy s trigonometriou vám môžu poskytnúť ďalšie východiskové informácie, ako napríklad dĺžku základne a jeden uhol (a skutočnosť, že trojuholník je rovnoramenný). Základná stratégia je rovnaký: rozdeliť rovnoramenného do pravouhlé trojuholníky a riešení pre výšku za použitia goniometrické funkcie.
Prečítajte si tiež: Ako vyriešiť desatinné exponenty?
Otázky a odpovede
- Ako nájdem základňu trojuholníka, ak nie je výška a plocha?Ty nie. Musíte dostať určité informácie: obvod, ďalšie strany, plochu alebo výšku.
- Základňa rovnoramenného trojuholníka je 5 cm a dĺžka každej rovnakej strany je označená s. Ho vyjadrím obvod tohto trojuholníka z hľadiska s?Obvod sa rovná súčtu všetkých dĺžok strán. Pretože existujú dve strany s dĺžkou s, obvod tohto trojuholníka je 5 + s + s, čo sa zjednodušuje na 2s + 5 cm.
- Ako môžem ukázať, že trojuholník je izoceles?Dôkaz súradníc: Vzhľadom na súradnice vrcholov trojuholníka na dokázanie, že trojuholník je rovnoramenný, nakreslite 3 body (voliteľné). Na výpočet dĺžky strán každej strany trojuholníka použite vzorec vzdialenosti. Ak majú akékoľvek dve strany rovnakú dĺžku strán, potom je trojuholník rovnoramenný.
- Ako zistím plochu rovnoramenného trojuholníka, ak je základňa 10 cm a výška 8 cm?Plocha trojuholníka je základná krát výška delená dvoma (bh/2). Stačí pripojiť čísla: (10) (8) / 2 = 80/2 = 40. Plocha vášho trojuholníka je 40 cm².
- Aká bude plocha rovnoramenného trojuholníka s obvodom 42 ma základňou 20 m?Nech je každá z dvoch rovnakých strán trojuholníka x metrov. Potom je obvod 2x + 20 = 42. Takže x = 11. Plocha trojuholníka je potom 0,5*20*koreň (11^2 - 10 ^2) = 10 koreňov (21)
- Ak má trojuholník rovnaké uhly 60 stupňov, aká je hodnota uhla A?Pretože uhly trojuholníka sa sčítajú až do 180 stupňov, môžete nájsť odpoveď tak, že pridáte dva známe uhly (60 a 60) a odčítate tento súčet od 180. V takom prípade sa 60 plus 60 rovná 120 a 180 mínus 120 sa rovná 60, takže tretí uhol má tiež 60 stupňov.
- Ako nájdem plochu a obvod rovnoramenného trojuholníka?V rovnoramennom trojuholníku majú dve rovnaké strany pravý uhol. To znamená, že môžete použiť jednu rovnakú stranu ako základňu a druhú ako výšku. Ak majú tieto strany dĺžku s, potom je plocha (0,5) s^2. Ak chcete zistiť obvod, pomocou Pytagorovej vety nájdite dĺžku prepony a pridajte ju k dĺžkam ostatných strán.
- Ako zistím plochu rovnoramenného trojuholníka, ktorého jedna strana je o 10 cm väčšia ako dve ďalšie rovnaké strany s obvodom 100 cm?Obvodom nájdite strany trojuholníka (3x + 10 = 100). Potom pomocou polovice najväčšej strany a jednej z rovnakých strán nájdite výšku prostredníctvom Pytagorovej vety. Nakoniec použite novo nájdenú výšku a najväčšiu stranu trojuholníka ako jeho základňu vo vzorci na nájdenie oblasti trojuholníka.
- Ako nájdem oblasť rovnoramenného trojuholníka, keď je daný dvomi stranami?Ak sa dozviete dĺžku základne (nerovná strana), potom viete, že ďalšie dve strany sú si rovné, takže poznáte všetky tri dĺžky strán a môžete použiť štandardnú metódu. Ak poznáte iba dĺžky dvoch rovnakých strán, nemôžete bez ďalších informácií (napríklad o obvode alebo uhle) nájsť oblasť.
- Ako nájdem stranu rovnoramenného trojuholníka, keď je uvedená iba plocha a dĺžka rovnakých strán?A = plocha, L = dĺžka 1 rovnakej strany, b = základňa, θ = POLOVINA uhla medzi 2 rovnakými stranami. Trojuholník rozdelíme na polovicu do stredu. Stredná čiara je h, výška. Analyzujte ľavý trojuholník, kde L je prepona a najmenší uhol je θ. Najmenšia strana je b/2 a posledná strana je h. sinθ = (b / 2) / L -> b / 2 = Lsinθ. cosθ = h/L -> h = Lcosθ. A = (0,5) bh = (b/2) h = (Lsinθ) (Lcosθ) = (L^2) sinθcosθ. sin (2θ) = 2sinθcosθ (podľa totožnosti trig) -> sinθcosθ = (0,5) sin (2θ). -> A = (L^2) sinθcosθ = (0,5) (L^2) sin (2θ). Pretože A a L sú známe, vyššie uvedená rovnica sa dá použiť na nájdenie hriechu (29). Arcsin of sin (2θ) dáva 2θ, čo vám umožní nájsť θ. Potom nájdete b z rovnice: b / 2 = Lsinθ.
Nezodpovedané otázky
- Ak rovnaké strany rovnoramenného trojuholníka majú dĺžku 13 cm a plocha je 60 cm štvorcových, ako nájdem základňu?
- Ako dokážem všeobecný vzorec pre oblasť rovnoramenného trojuholníka?
